中考圆的综合题训练(含答案).pdf

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1、1 圆综合复习 1、 （12 分） （2014?攀枝花 ,23 ）如图，以点P（ 1，0）为圆心的圆，交x 轴于 B、C 两点（ B 在 C 的左侧），交 y 轴于 A、 D 两点（ A 在 D 的下方），AD=2，将 ABC 绕点 P 旋转 180 ，得到 MCB （1）求 B、C 两点的坐标； （2）请在图中画出线段MB 、MC ，并判断四边形ACMB 的形状（不必证明） ，求出点M 的坐标； （3）动直线l 从与 BM 重合的位置开始绕点B 顺时针旋转，到与BC 重合时停止，设直线l 与 CM 交点为 E，点 Q 为 BE 的 中点，过点E 作 EGBC 于 G，连接 MQ 、QG请问在

2、旋转过程中MQG 的大小是否变化？若不变，求出MQG 的度数； 若变化，请说明理由 2 （8 分） （2014?苏州 27）如图，已知O 上依次有A、B、C、D 四个点，=，连接 AB、 AD 、BD ，弦 AB 不经过圆 心 O，延长 AB 到 E，使 BE=AB ，连接 EC，F 是 EC 的中点，连接BF （1）若 O 的半径为3， DAB=120 ，求劣弧的长； （2）求证： BF=BD； （3）设 G 是 BD 的中点，探索：在O 上是否存在点P（不同于点B） ，使得 PG=PF？并说明PB 与 AE 的位置关系 3 （9 分） （2014?苏州 28）如图，已知l1l2， O 与

3、l1，l2都相切， O 的半径为2cm，矩形 ABCD 的边 AD 、AB 分别与 l1，l2重合， AB=4cm，AD=4cm ，若 O 与矩形 ABCD 沿 l1同时向右移动，O 的移动速度为3cm，矩形 ABCD 的移动 速度为 4cm/s，设移动时间为t（s） （1）如图，连接OA 、AC，则 OAC 的度数为 ； （2）如图，两个图形移动一段时间后，O 到达 O1的位置，矩形 ABCD 到达 A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰 好在同一直线上，求圆心O 移动的距离（即OO1的长）； （3）在移动过程中，圆心O 到矩形对角线AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为d（c

4、m） ，当 d2 时，求 t 的取值 范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图） 2 4.（2014 上海 25本题满分14 分，第（ 1）小题满分3 分，第（ 1）小题满分5 分，第（ 1）小题满分6 分） 如图 1，已知在平行四边形ABCD中， AB5，BC8，cosB 4 5 ，点 P 是边 BC上的动点，以CP为半径的圆C 与边 AD 交于点 E、F（点 F在点 E的右侧），射线 CE与射线 BA 交于点 G （1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP的长； （2）联结 AP，当 AP/ CG时，求弦EF的长； （3）当 AGE是等腰三角形时，求圆C 的半径长 图 1 备用图 5. （2

5、014 成都 27 本小题满分10分） 如图，在 O的内接 ABC中， ACB=90 ， AC=2BC ，过 C作 AB的垂线l交 O于另一点 D，垂足为 E.设 P是 AC上异 于 A,C 的一个动点，射线AP交l于点 F，连接 PC与 PD，PD交 AB于点 G. （1）求证： PAC PDF ； （2）若 AB=5， AP = BP ，求 PD的长； （3）在点 P 运动过程中，设 x BG AG ， yAFDtan ，求y与x之间的函数关系式. （不要求写出x的取值范围） tan AE AFD FE ， 6 （9 分） （2014?淄博 24）如图，点A 与点 B 的坐标分别是（1，0

6、） ， （5，0） ，点 P 是该直角坐标系内的一个动点 （1）使 APB=30 的点 P 有个； （2）若点 P 在 y 轴上，且 APB=30 ，求满足条件的点P 的坐标； （3）当点 P 在 y 轴上移动时，APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时APB 最大的理由；若没有，也请 说明理由 3 7、 （10 分） （2014?襄阳 25 ）如图， A，P，B，C 是 O 上的四个点，APC= BPC=60 ，过点 A 作 O 的切线交BP 的延 长线于点D （1）求证：ADP BDA ； （2）试探究线段PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若 AD=2

7、 ，PD=1，求线段BC 的长 8、（10 分） （2014?南宁 25 ）如图 1， 四边形 ABCD 是正方形， 点 E 是边 BC 上一点， 点 F 在射线 CM 上，AEF=90 ， AE=EF ， 过点 F 作射线 BC 的垂线，垂足为H，连接 AC （1）试判断BE 与 FH 的数量关系，并说明理由； （2）求证： ACF=90 ； （3）连接 AF，过 A、E、F 三点作圆，如图2，若 EC=4 ，CEF=15 ，求的长 9、 （12 分） （2014?泰州 25 ）如图，平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x+b（b 为常数， b0）的图象与x 轴、 y 轴分 别相交于点A、

8、B，半径为4 的 O 与 x 轴正半轴相交于点C，与 y 轴相交于点D、E，点 D 在点 E 上方 （1）若直线AB 与有两个交点F、G 求CFE 的度数； 用含 b 的代数式表示FG 2，并直接写出 b 的取值范围； （2） 设 b 5，在线段AB 上是否存在点P，使 CPE=45 ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由 4 10、 （2014?湖州 24 ）已知在平面直角坐标系xOy 中， O 是坐标原点，以P（1，1）为圆心的 P 与 x 轴， y 轴分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，连接PF，过点 PEPF 交

9、 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是t 秒（ t 0） （1）若点 E 在 y 轴的负半轴上（如图所示），求证： PE=PF； （2）在点 F 运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a 的代数式表示b； （3）作点 F 关于点 M 的对称点F ，经过 M 、 E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q，连接 QE在点 F 运动过程中， 是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E 为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t 的值； 若不存在，请说明理由 11、 （2014 徐州 28.本题 10 分）如图，矩形ABCD的边 AB=3cm，AD=4cm，点 E从

10、点 A 出发，沿射线AD移动，以CE为直径 作圆 O，点 F为圆 O 与射线 BD的公共点，连接EF 、 CF，过点 E作 EGEF ，EG与圆 O 相交于点G，连接 CG . （1）试说明四边形EFCG是矩形； （2）当圆 O 与射线 BD 相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中， 矩形 EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由； 求点 G 移动路线的长. 12、 （12 分） （2014?荆州 25 ）如图 ，已知：在矩形ABCD 的边 AD 上有一点O，OA=，以 O 为圆心， OA 长为半径 作圆，交 AD 于 M ，恰好与 BD 相切

11、于 H，过 H 作弦 HPAB ，弦 HP=3若点 E 是 CD 边上一动点（点E 与 C，D 不重合）， 过 E 作直线 EFBD 交 BC 于 F，再把 CEF 沿着动直线EF 对折，点C 的对应点为G设 CE=x ， EFG 与矩形 ABCD 重 叠部分的面积为S （1）求证：四边形ABHP 是菱形； （2）问 EFG 的直角顶点G 能落在 O 上吗？若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由； （3）求 S 与 x 之间的函数关系式，并直接写出FG 与 O 相切时， S的值 5 13、 （2014 日照本小题满分14 分 21 ） 阅读资料： 小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关

12、圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题： 如图 l，已知 PC 是 O 的切线， AB 是 O 的直径，延长刚交切线PC 于点 P连接 AC，BC，OC 因为 PC 是 O 的切线， AB 是 O 的直径，所以OCP=ACB=90 ，所以 1=2 又因为 B= 1， 所以 B=2 在 PAC 与 PCB 中， 又因为 P= P， 所以 PAC PCB， 所以 PC PA = PB PC ，即 PC2=PA PB 问题拓展： （1）如果 PB 不经过 O 的圆心 O（如图 2） ，等式 PC2=PA PB，还成立吗 ?请证明你的结论 综合应用： （2）如图 3， O 是 A

13、BC 的外接圆， PC 是 O 的切线， C 是切点， BA 的延长线交PC 于点 P 当 AB=PA ，且 PC=12 时，求 PA 的值； D 是 BC 的中点， PD 交 AC 于点 E求证： AE CE PA PC 2 2 图1 图2 图3 14、 （11 分） （2014?河北 25 ）图 1 和图 2 中，优弧所在 O 的半径为2，AB=2点 P 为优弧上一点（点P 不与 A， B 重合） ，将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点 A （1）点 O 到弦 AB 的距离是，当 BP 经过点 O 时， ABA = ； （2）当 BA 与 O 相切时，如图2，求折痕的长： （3）若线段B

14、A 与优弧只有一个公共点B，设 ABP= 确定 的取值范围 15、 （12 分） （2014?漳州 24 ） 阅读材料： 如图 1，在AOB 中，O=90 ，OA=OB ， 点 P 在 AB 边上，PEOA 于点 E， PFOB 于点 F，则 PE+PF=OA （此结论不必证明，可直接应用） （1） 【理解与应用】 6 如图 2，正方形ABCD 的边长为2，对角线 AC ，BD 相交于点 O，点 P在 AB 边上， PEOA 于点 E，PFOB 于点 F，则 PE+PF 的值为_ （2） 【类比与推理】 如图 3，矩形 ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O，AB=4 ，AD=3 ，点 P

15、 在 AB 边上， PEOB 交 AC 于点 E，PFOA 交 BD 于点 F，求 PE+PF 的值； （3） 【拓展与延伸】 如图 4， O 的半径为 4，A，B，C，D 是O 上的四点， 过点 C，D 的切线 CH，DG 相交于点 M ，点 P 在弦 AB 上，PEBC 交 AC 于点 E，PFAD 于点 F，当 ADG= BCH=30 时， PE+PF 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理 由 16、 （10 分） （2014?常州 28 ）在平面直角坐标系xOy 中，点 M（，） ，以点 M 为圆心， OM 长为半径作 M 使 M 与直线 OM 的另一交点为点B，与 x

16、轴， y 轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接 AM 点 P 是上的动点 （1）写出 AMB 的度数； （2）点 Q 在射线 OP 上，且 OP?OQ=20 ，过点 Q 作 QC 垂直于直线OM ，垂足为C，直线 QC 交 x 轴于点 E 当动点 P与点 B 重合时，求点E 的坐标； 连接 QD ，设点 Q 的纵坐标为t， QOD 的面积为 S求 S 与 t 的函数关系式及S 的取值范围 17、 （9 分） （2014 年云南省23 ）已知如图平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，矩形ABCD 是顶点坐标分别为A（3，0） 、 B（3，4） 、C（0， 4） 点 D 在 y 轴上，且点D 的

17、坐标为（ 0， 5） ，点 P 是直线 AC 上的一动点 （1）当点 P 运动到线段AC 的中点时，求直线DP 的解析式（关系式） ； 7 （2）当点 P 沿直线 AC 移动时，过点D、 P 的直线与x 轴交于点M问在 x 轴的正半轴上是否存在使DOM 与 ABC 相似 的点 M？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点 P 沿直线 AC 移动时， 以点 P 为圆心、 R （R0）为半径长画圆得到的圆称为动圆P若设动圆P 的半径长为， 过点 D 作动圆 P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E、F请探求在动圆P 中是否存在面积最小的四边形DEPF ？若存在， 请求出最小面积

18、S的值；若不存在，请说明理由 18、 （2014 ?江西，第22 题 8 分）如图1， AB是圆 O的直径，点C 在 AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是圆 O上半部分的一个 动点，连接OP ，CP。 （1）求 OPC的最大面积； （2）求 OCP的最大度数； （3）如图 2，延长 PO交圆 O于点 D，连接 DB ，当 CP=DB ，求证： CP是圆 O的切线 . 19. （ 2014?株洲，第23 题， 8 分）如图， PQ 为圆 O 的直径，点B 在线段 PQ 的延长线上，OQ=QB=1，动点 A 在圆 O 的上 半圆运动（含P、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC （

19、1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求ABC 的面积（图1） ； （2）设 AOB= ，当线段AB、与圆 O 只有一个公共点（即A 点）时，求的范围（图2，直接写出答案） ； （3）当线段AB 与圆 O 有两个公共点A、 M 时，如果AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图3） 8 圆综合大题复习答案 1 （12 分） （2014?攀枝花） 解答：解： （1）连接 PA，如图 1 所示 POAD ，AO=DO AD=2， OA= 点 P 坐标为（ 1，0） ，OP=1 PA=2 BP=CP=2B（ 3，0） ，C（1，0） （2）连接 AP，延长 AP 交P 于点 M，连接 MB 、MC

20、 如图 2 所示，线段MB 、MC 即为所求作四边形ACMB 是矩形理由如下： MCB 由ABC 绕点 P 旋转 180 所得， 四边形 ACMB 是平行四边形BC 是P 的直径， CAB=90 平行四边形ACMB 是矩形过点 M 作 MH BC， 垂足为 H， 如图 2 所示在 MHP 和AOP 中， MHP= AOP， HPM= OPA，MP=AP ， MHP AOP MH=OA=，PH=PO=1 OH=2 点 M 的坐标为（2，） （3）在旋转过程中MQG 的大小不变 四边形 ACMB是矩形， BMC=90 EG BO，BGE=90 BMC= BGE=90 点 Q 是 BE 的中 点，

21、QM=QE=QB=QG 点 E、M、B、G 在以点 Q 为圆心， QB 为半径的圆上，如图3 所 示 MQG=2 MBG COA=90 ，OC=1 ，OA=， tanOCA=OCA=60 MBC= BCA=60 MQG=120 在旋转过程中 MQG 的大小不 变，始终等于120 2 （8 分） （2014?苏州） 解答：（1）解：连接OB，OD， DAB=120 ，所对圆心角的度数为240 ， BOD=120 ， O 的半径为3， 劣弧的长为：3=2 ； （2）证明：连接AC ， AB=BE ，点 B 为 AE 的中点， F 是 EC 的中点， BF 为 EAC 的中位线， BF=AC，=，+

22、=+，=， BD=AC ， BF=BD； （3）解：过点B 作 AE 的垂线，与O 的交点即为所求的点P， BF 为 EAC 的中位线，BFAC ， FBE=CAE ，=， CAB= DBA ，由作法可知BPAE ， GBP= FBP， G 为 BD 的中点， BG=BD ， BG=BF ， 在 PBG 和 PBF 中， ， PBG PBF（SAS） ， PG=PF 9 3（9 分） （2014? 苏州）解 答： 解： （1） l1l2， O 与 l1，l2都相切， OAD=45 ， AB=4cm，AD=4cm ， CD=4cm，AD=4cm ， tanDAC=， DAC=60 ， OAC 的

23、度数为：OAD+ DAC=105 ， 故答案为： 105； （2）如图位置二，当O1， A1，C1恰好在同一直线上时，设 O1与 l1的切点为E， 连接 O1E，可得 O1E=2， O1El1， 在 RtA1D1C1中， A1D1=4， C1D1=4 ， tanC1A1D1=， C1A1D1=60 ， 在 RtA1O1E 中， O1A1E=C1A1D1=60 ， A1E= =， A1E=AA 1OO12=t2， t2=， t=+2， OO1=3t=2 +6； （3）当直线AC 与 O 第一次相切时，设移动时间为t1， 如图，此时 O 移动到 O2的位置，矩形 ABCD 移动到 A2B2C2D2

24、的位置， 设 O2与直线 l1，A2C2分别相切于点 F，G，连接 O2F， O2G，O2A2， O2F l1，O2GA2G2，由（ 2）得， C2A2D2=60 ， GA2F=120 ， O2A2F=60 ， 在 RtA2O2F 中， O2F=2， A2F= ， OO2=3t，AF=AA 2+A2F=4t1+， 4t1+3t1=2， t1=2 ， 当直线 AC 与 O 第二次相切时，设移动时间为t2， 记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，+2（ 2）=t2（ +2） ， 解得： t2=

25、2+2 ，综上所述，当d2 时， t 的取值范围是：2 t2+2 4、2014 上海 10 5、2014 成都 11 12 6 （9 分） （2014?淄博） 解答：解： （1）以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC， 以点 C 为圆心， AC 为半径作 C，交 y 轴于点 P1、P2 在优弧 AP1B 上任取一点 P，如图 1， 则 APB=ACB= 60 =30 使 APB=30 的点 P 有无数个故答案为：无数 （2）当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 过点 C 作 CG AB，垂足为G，如图 1 点 A（1，0） ，点 B（5，0） ， OA=1，OB=5 AB=4点 C 为圆

26、心， CGAB， AG=BG=AB=2 OG=OA+AG=3 ABC 是等边三角形，AC=BC=AB=4 CG=2 点 C 的坐标为（ 3，2） 过点 C 作 CD y 轴，垂足为D，连接 CP2，如图 1， 点 C 的坐标为（ 3，2） ， CD=3，OD=2 P1、P2是 C 与 y 轴的交点， AP1B=AP2B=30 CP2=CA=4，CD=3， DP2= =点 C 为圆心， CDP1P2， P1D=P2D= P2（0，2 ） P1（0，2+） 当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可得： P3（0， 2 ） P4（0， 2+） 综上所述：满足条件的点P 的坐标有： （0，2） 、

27、（0，2+） 、 （0， 2） 、 （0， 2+） （3）当过点 A、B 的 E 与 y 轴相切于点P 时， APB 最大 当点 P 在 y 轴的正半轴上时，连接EA，作 EHx 轴，垂足为H，如图 2 E 与 y 轴相切于点P， PEOP EH AB，OP OH， EPO=POH=EHO=90 四边形OPEH 是 矩形 OP=EH，PE=OH=3 EA=3 EHA =90 ，AH=2，EA=3， EH=OP=P（0，） 当点 P 在 y 轴的负半轴上时，同理可得：P（0，） 理由： 若点 P 在 y 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上任取一点M（不与点 P 重合）， 连接 MA，MB，交 E

28、于点 N，连接 NA，如图 2 所示 ANB 是 AMN 的外角，ANB AMB APB=ANB， APB AMB若点P 在 y 轴的负半轴上， 同理可证得：APB AMB综上所述：当点P 在 y 轴上移动时，APB 有最大值， 此时点 P 的坐标为（ 0，）和（ 0，） 13 7 （10 分） （2014? 襄阳） 解 答： （ 1）证明：作O 的直径 AE ，连接 PE， AE 是 O 的直径， AD 是 O 的切线， DAE= APE=90 ， PAD+PAE=PAE+ E=90 ， PAD=E， PBA= E， PAD= PBA ， PAD= PBA ， ADP= BDA ， ADP

29、BDA ； （ 2）PA+PB=PC ， 证明：在线段PC 上截取 PF=PB ，连接 BF， PF=PB，BPC=60 ， PBF 是等边三角形，PB=BF ，BFP=60 ， BFC=180 PFB=120 ， BPA= APC+ BPC=120 ， BPA= BFC ， 在 BPA 和 BFC 中， BPA BFC（AAS ） ， PA=FC，AB=BC ， PA+PB=PF+FC=PC ； （ 3）解： ADP BDA ，=， AD=2 ，PD=1BD=4 ， AB=2AP ， BP=BD DP=3， APD=180 BPA=60 ， APD= APC， PAD=E， PCA= E，

30、PAD= PCA， ADP CAP， =， AP 2=CP?PD， AP2= （ 3+AP） ?1， 解得：AP= 或 AP=（舍去）， BC=AB=2AP=1+ 8 （10 分） （2014?南宁） 解答：解： （1）BE=FH 证明： AEF=90 ，ABC=90 ， HEF+ AEB=90 ， BAE+ AEB=90 ，HEF= BAE ， 在ABE 和EHF 中， ABE EHF （AAS ） BE=FH （2）由（ 1）得 BE=FH ，AB=EH ， BC=AB ，BE=CH ，CH=FH ，HCF=45 ， 四边形 ABCD 是正方形， ACB=45 ， ACF=180 HCFA

31、CB=90 （3）由（ 2）知 HCF=45 ，CF=FHCFE= HCF CEF=45 15 =30 如图 2，过点 C 作 CPEF 于 P，则 CP=CF=FH CEP=FEH ，CPE= FHE=90 ，CPEFHE ，即，EF=4 AEF 为 等腰直角三角形，AF=8 取 AF 中点 O，连接 OE，则 OE=OA=4 ，AOE=90 ， 14 的弧长为：=2 9 （12 分） （2014? 泰州） 解 答： 解： （1）连接 CD，EA ， DE 是直径， DCE=90 ，CODE，且 DO=EO ，ODC=OEC=45 ， CFE=ODC=45 ， （2） 如图，作OM AB 点

32、 M，连接 OF， OM AB ，直线的函数式为：y=x+b，OM 所在的直线函数式为：y=x，交点 M（b，b） OM 2=（ b）2+（b） 2， OF=4，FM2=OF2OM2=42（ b）2（b） 2，FM= FG， FG2=4FM 2=4 42（ b） 2（ b） 2=64 b2=64 （1 b 2） ，直线 AB 与 有两个交点F、G 4 b5， （3）如图， 当 b=5 时，直线与圆相切，DE 是直径， DCE=90 ，CO DE，且 DO=EO ，ODC=OEC=45 ， CFE= ODC=45 ，存在点 P，使 CPE=45 ， 连接 OP，P 是切点， OPAB，OP 所在

33、的直线为：y=x，又 AB 所在的直线为：y=x+5， P（，） 10 （2014 ?湖州） 15 证明： （1）如图，连接PM，PN， P 与 x 轴， y 轴分别相切于点M 和点 N， PMMF，PN ON 且 PM=PN ， PMF= PNE=90 且NPM=90 ，PEPF， NPE=MPF=90 MPE， 在PMF 和PNE 中， PMFPNE（ASA ） ， PE=PF， （2）解： 当 t1 时，点 E 在 y 轴的负半轴上，如图， 由（ 1）得 PMF PNE，NE=MF=t ，PM=PN=1 ， b=OF=OM+MF=1+t，a=NE ON=t 1， ba=1+t（ t1）=

34、2，b=2+a， 0t 1 时，如图2，点 E 在 y 轴的正半轴或原点上， 同理可证 PMFPNE， b=OF=OM+MF=1+t，a=ON NE=1t， b+a=1+t+1 t=2， b=2a， （3）如图 3， （）当 1t 2 时， F（1+t ，0） ，F 和 F 关于点 M 对称， F （1t，0） 经过 M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q， Q（ 1t，0）OQ=1 t，由（ 1）得 PMF PNE NE=MF=t ，OE=t1 当OEQMPF=， 解得， t=，当 OEQMFP 时， =， =，解得， t=， （）如图 4，当 t2 时， F（1+t ，0）

35、，F 和 F 关于点 M 对称， F （1t，0） 经过 M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点 Q， Q（ 1t，0）OQ=t 1， 由（ 1）得 PMF PNE NE=MF=t ，OE=t 1 当OEQMPF=，无解， 当OEQMFP 时， =，=，解得， t=2， 所以当 t=，t=， t=2时，使得以点Q、O、E 为顶点的三角形与以 点 P、M、F 为顶点的三角形相似 16 11. （ 2014 徐州本题10 分） （1） CE是 O 的直径，点F、G 在O 上， EFC =EGC =90， 又 EG EF， FEG =90，四边形EFCG是矩形 2 分 （2）四边形EFCG

36、是矩形，BCD=90，tanBDC= 3 4 AB AD CD BC . CEF=BDC，tanCEF =tanBDC，即 . 4 3 3 4 CFEF EF CF ， 3 分 . 4 32 CFCFEFS EFCG ? 矩形 当点 F与点 B 重合时， CF=BC =4； 当O 与射线 BD 相切时，点 F与点 D 重合， 此时 CF =CD=3； 当 CF BD 时， . 5 12? BD CDBC S EFCG矩形 4 5 12 CF. 当 CF = 5 12 cm 时， ；取得最小值 矩形 2 cm 25 108 EFCG S 6 分 当 CF =4cm 时， 2 cm12取得最大值

37、矩形 EFCG S. 8 分 如答图4，连接 DG，并延长DG 交 BC得延长线与点G. BDG=FEG=90，又 DCG =90，点G 得移动路线为线段DG, 9 分 CD=3cm， CG = , 4 9 4 3 CD DG = .cm 4 15 22 ）（CDCD 10 分 12 （12 分） （2014?荆州） 解答： 解： （1）证明：连接OH，如图 所示 四边形 ABCD 是矩形，ADC= BAD=90 ，BC=AD ，AB=CD HPAB ， ANH+ BAD=180 ANH=90 HN=PN=HP= OH=OA=， sin HON= HON=60 BD 与 O 相切于点H， OH

38、BD HDO=30 OD=2 AD=3 BC=3 BAD=90 ， BDA=30 tanBDA= AB=3 HP=3， AB=HP ABHP， 四边形 ABHP 是平行四边形BAD=90 ，AM 是 O 的直径， BA 与 O 相切于点 A BD 与 O 相切于点 H， BA=BH 平行四边形ABHP 是菱形 （2） EFG 的直角顶点G 能落在 O 上 如图 所示，点G 落到 AD 上 17 EFBD ， FEC= CDB CDB=90 30 =60 ， CEF=60 由折叠可得： GEF= CEF=60 GED=60 CE=x，GE=CE=x ED=DC CE=3 x cosGED= x=

39、2 GE=2，ED=1 GD= OG=AD AOGD=3= OG=OM 点 G 与点 M 重合 此时 EFG 的直角顶点G 落在 O 上，对应的x 的值为 2 当 EFG 的直角顶点G 落在 O 上时，对应的x 的值为 2 （3） 如图 ， 在 RtEGF 中， tanFEG= FG=x S=GE?FG=x ?x=x2 如图 ， ED=3x，RE=2ED=6 2x， GR=GEER=x （ 6 2x）=3x 6 tan SRG=， SG=（x2） SSGR=SG?RG= ?（x2） ?（3x6） =（x 2）2 SGEF= x2， S=SGEFSSGR=x2（x2） 2 =x 2+6 x6 综

40、上所述：当0 x 2 时， S=x2；当 2 x 3 时， S=x2+6 x6 当 FG 与 O 相切于点T 时，延长FG 交 AD 于点 Q，过点 F 作 FK AD，垂足为K，如 图 所示 四边形 ABCD 是矩形， BCAD， ABC= BAD=90 AQF= CFG=60 OT=， OQ=2 AQ=+2 FKA= ABC= BAD=90 ，四边形ABFK 是矩形 FK=AB=3 ，AK=BF=3x 18 KQ=AQ AK= （+2）（ 3x） =22+x 在 RtFKQ 中， tanFQK= FK=QK 3=（22+x） 解得： x=3 0 3 2， S=x2= （3） 2= 6 FG

41、 与 O 相切时， S 的值为6 13 解： （1）当 PB不经过 O 的圆心 O 时，等式PC 2=PA PB仍然成立 证法一：如图1，连接 PO，并延长交O 于点 D，E，连接 BD，AE 图 1 B=E， BPD=APE，（ 2 分） PBDPEA PA PD = PE PB ，即 PA PB=PD PE，（4 分） 由图 1 知 PC2=PD PE， PC 2=PA PB （6 分） 证法二：如图2，过点 C 作 O 的直径 CD，连接 AD， BC，AC PC是 O 的切线， PC CD，（2 分） CAD= PCD=90 ，即 1+2=90 ， D+1=90 ， D=2（4 分）

42、D=B， B=2， P=P， PBC PCA， PC PA = PB PC ，即 PC 2=PA PB （6 分） （2） 由（ 1）得 PC 2=PA PB，PC=12，AB=PA， PC 2=PA PB=PA （PA+AB）=2PA2， 2PA2=144，PA=6 2，PA=-62无意义，舍去 PA=62（ 8 分） 证法一：过点A 作 AFBC，交 PD于点 F， PA PB = AF BD ， AF CD = AE CE （10 分） D 为 BC的中点， BD=CD AF BD = AF CD ， PA PB = AE CE （12 分） PC 2=PA PB 2 2 PA PC =

43、 2 PA PBPA = PA PB = AE CE ，即 2 2 PA PC = AE CE （14 分） 19 证法二：过点A 作 AGBC，交 BC于点 G， PA PB = GD BD ， DG CD = AE CE （10 分） D 为 BC的中点， BD=CD GD BD = DG CD ， PA PB = AE CE （12 分） PC 2=PA PB 2 2 PA PC = 2 PA PBPA = PA PB = AE CE ，即 2 2 PA PC = AE CE （14 分） 14 河北解 答： 解： （1） 过点 O 作 OH AB ，垂足为H，连接 OB，如图 1 所示 OH AB，AB=2， AH=BH= OB=2 ，OH=1 点 O 到 AB 的距离为1 当 BP 经过点 O 时，如图1 所示 OH=1 ，OB=2 ，OH AB ，sinOBH=OBH=30 由折叠可得：A BP=ABP=30 ABA =60 故答案为：1、60 （2）过点 O 作 OGBP，垂足为G，如图 2 所示 BA 与O 相切， OB A BOBA =90 OBH=30 ，ABA =120 A BP=ABP=60 OBP=30 OG=OB=1 BG=O