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1、最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 1 北辰教育学科老师辅导讲义 学员姓名：年级：初三辅导科目：数学学科教师：陆军 授课日期授课时段 授课主题中考 25 题压轴题之涉及圆问题分析 教学内容 与圆有关的常见辅助线添加方法 辅助线秘诀一 已知直径或作直径，我们要想到两件事： 1；直径上有一个隐藏的中点（圆心） 2；利用圆周角定理构造直角三角形 辅助线秘诀二 作半径 1；连半径，造等腰三角形 2；作过切点的半径 辅助线秘诀三 涉及弦长，弦心距；可造垂径定理的模型，为勾股定理创造条件 辅助线秘诀四 切线的证明 1；有交点：连半径，证垂直 2；无交点：作垂直，证半径 辅助线秘诀五 最受信赖的教育品牌
2、北辰教育 教学部 2 已知数圆心角度数，要想到同弧所对圆周角度数，反之亦然。 辅助线秘诀六 出现等弧问题时，我们要想到 1；在同圆或等圆中相等的弧所对的弦相等，弦心距也相等。 2；在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角，圆周角也相等。 辅助线秘诀七 已知三角比或求某个角的三角比，要想到把角放在直角三角形中，没有作垂直。 注意；同角或等角的三角比相同 辅助线秘诀八 圆中出现内接正多边形时； 作边心距，抓住一个直角三角形来解决 辅助线秘诀九 已知两圆相切，常用的辅助线是； 1；作公切线，连接过切点的半径得到垂直关系 2；作连心线 辅助线秘诀十 已知两圆相交，常用的辅助线是； 1；作两圆公切弦 2；作连
3、心线 例题讲解 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 3 定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，三角形面积比值 1（本题满分14 分，其中第（ 1）小题 4 分，第（ 2） 、 （3）小题各 5 分） 已知：如图，在RtABC中， 90C，4BC， 2 1 tanCAB，点O在边AC上，以点O为圆心的圆 过A、B两点，点P为AB上一动点 . （1）求O的半径； （2）联结AP并延长，交边CB延长线于点D，设xPA，yDB，求y关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）联结PB，当点P是AB的中点时，求ABP的面积与ABD的面积比 ABD ABP S S 的值 定圆结合直角三角形，考察三角
4、形相似，线段与三角形周长的函数关系 O P D CB A 第 25 题图 备用图 O CB A 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 4 2（2010?上海）如图，在RtABC 中，ACB=90 半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点D，与边 AC 相交于点E， 连接 DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P （1）当 B=30 时，连接AP，若 AEP 与BDP 相似，求CE 的长； （2）若 CE=2，BD=BC ，求 BPD 的正切值； （3）若 tanBPD=，设 CE=x，ABC 的周长为y，求 y 关于 x 的函数关系式 定圆结合直角三角形，考察两线段函数关系，圆心距，存在性
5、问题 3如图，在半径为5 的O 中，点 A、B 在 O 上， AOB=90 ，点 C 是弧 AB 上的一个动点，AC 与 OB 的延 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 5 长线相交于点D，设 AC=x ，BD=y （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果 O1与O 相交于点 A、C，且 O1与O 的圆心距为2，当 BD=OB 时，求 O1的半径； （3）是否存在点C，使得 DCB DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由 定圆中结合平行线，弧中点，考察两线段函数关系，圆相切 4（本题满分14 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 2 分，第（
6、3）小题 6分） 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 6 在半径为4 的 O 中，点 C 是以 AB 为直径的半圆的中点，ODAC，垂足为D，点 E 是射线 AB 上的任意一 点， DF /AB，DF 与 CE 相交于点F，设 EF= x，DF =y （ 1）如图 1，当点 E 在射线 OB 上时，求y关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域； （ 2）如图 2，当点 F 在 O 上时，求线段DF 的长； （ 3）如果以点 E 为圆心、 EF 为半径的圆与O 相切，求线段DF 的长 动圆结合直角梯形，考察圆相切和相似 5（14 分） （2014?金山区二模）如图，已知在梯形ABCD 中， A
7、D BC ，AB BC ，AB=4 ，AD=3 ，sin DCB= ，P是边 A B E F C D O （第 25 题图 1） A B E F C D O 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 7 CD上一点（点P与点 C、D不重合），以 PC为半径的 P与边 BC相交于点C和点 Q （1）如果 BP CD ，求 CP的长； （2）如果 PA=PB ，试判断以AB为直径的 O与 P的位置关系； （3）联结 PQ ，如果 ADP和 BQP相似，求CP的长 动圆结合内切直角三角形，考察相似，两线段函数关系 6. 2005 中考（本题满分12 分，每小题满分各为4 分） 在 ABC 中， ABC
8、90， AB4，BC3，O 是边 AC 上的一个动点，以点O 为圆心作半圆，与边AB 相切 于点 D，交线段 OC 于点 E，作 EPED，交射线AB 于点 P，交射线CB 于点 F。 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 8 （1）如图 8，求证： ADE AEP； （2）设 OAx，APy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当 BF1 时，求线段AP 的长 . 图9（备用图） 图 8 B P F E D B CAACO 动圆结合定圆，考察两线段函数关系，圆相切 7. （本题满分14 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）小题 5 分，第（ 3）小题 5 分） 如图
9、1，已知Oe的半径长为3，点A是Oe上一定点，点P为Oe上不同于点A的动点。 （1）当 1 tan 2 A时，求AP的长； 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 9 （2）如果Qe过点P、 O ，且点 Q 在直线AP上（如图 2） ，设 APx ， QPy，求y关于x的函数关系式，并 写出函数的定义域； （3）在（ 2）的条件下，当 4 tan 3 A时（如图3） ，存在Me与Oe相内切，同时与Qe相外切，且OMOQ ， 试求Me的半径的长。 ( 第25题图 ) （图 3） （图2）（图 1） P O A P A P O A O Q 动圆结合定圆，考察两线段函数关系，相似，勾股定理，圆相交和正
10、多边形 8如图 1，已知 O 的半径长为1， PQ 是O 的直径，点M 是 PQ 延长线上一点，以点M 为圆心作圆，与O 交于 A、B 两点，连接PA 并延长，交 M 于另外一点C （1）若 AB 恰好是 O 的直径，设OM=x ，AC=y ，试在图2 中画出符合要求的大致图形，并求y 关于 x 的函数 解析式； 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 10 （2）连接 OA、MA 、MC，若 OAMA ，且 OMA 与PMC 相似，求OM 的长度和 M 的半径长； （3）是否存在 M，使得 AB、AC 恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM 的长度和 M 的半径长； 若不存在，试说明理由
11、 动圆结合三角形，考察相似，线段比，圆位置关系 9.2006 中考 25.（本题满分14 分，第（ 1）小题满分4 分，第（ 2）小题满分7 分，第（ 3）小题满分3 分） 已知点 P 在线段 AB 上，点 O 在线段 AB 的延长线上。以点O 为圆心， OP 为半径作圆，点C 是圆 O 上的一点。 （1）如图，如果AP=2PB ，PB=BO 。求证： CAO BCO； （2）如果 AP=m（m 是常数，且m1） ，BP=1， OP 是 OA、 OB 的比例中项。当点C 在圆 O 上运动时，求AC： BC 的值（结果用含m 的式子表示）； （3）在（2）的条件下， 讨论以 BC 为半径的圆B
12、和以 CA 为半径的圆C 的位置关系， 并写出相应m 的取值范围。 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 11 1 解： （1）联结OB 在 RtABC中， 90C， 4BC， 2 1 tanCAB， AC=8（1 分） 设xOB，则xOC-8 在 RtOBC中，90C ， O P DCB A 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 12 2 2 2 48xx（2分） 解得5x，即O的半径为5（1 分） （2）过点O作OHAD于点H OH过圆心，且OHAD xAPAH 2 1 2 1 （1 分） 在 RtAOH中，可得 22 AHAOOH 即 2 100 4 25 22 xx OH （1 分）
13、在AOH和ACD中， OHAC，CADHAO，AOHADC（1 分） AC AH CD OH 即 8 2 4 2 -100 2 x y x 得4 1008 2 x x y（1 分） 定义域为540x（1 分） （3）P是AB的中点，AP=BPAO=BO，PO垂直平分AB 设CAB，可求得ABO，2COB，290OBC ， 90AOP，90ABD，902APOAPB APBABD ABPABD（1 分） ABD ABP S S 2 AB AP （1 分） DABP 由AP=BP可得PABABP DPAB 54ABBD，即54y （1 分） 由4 1008 2 x x y可得51050 2 x，即
14、51050 2 AP（ 1 分） ABD ABP S S 8 55 80 51050 2 AB AP （1 分） 2，考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形。 专题：几何综合题；压轴题。 分析： （1）当 B=30时， A=60，此时 ADE是等边三角形， 则 PEC= AED=60 ，由此可证得P=B=30； 若 AEP与 BDP相似，那么 EAP= EPA= B=P=30，此时EP=EA=1 ，即可在 RtPEC中求得 CE的长； （2）若 BD=BC ，可在 RtABC中，由勾股定理求得BD 、BC的长； 过 C作 CFDP交 AB于 F，易证得 ADE
15、AFC ， H O P D CB A 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 13 根据得到的比例线段可求出DF的长；进而可通过证BCF BPD ，根据相似三角形的对应边成比例求得BP 、BC 的比例关系，进而求出BP 、CP的长；在 Rt CEP中，根据求得的CP的长及已知的CE的长即可得到BPD的正切 值； （3）过点 D作 DQ AC于 Q，可用未知数表示出QE的长，根据BPD （即 EDQ ）的正切值即可求出DQ的长；在 RtADQ中，可用 QE表示出 AQ的长，由勾股定理即可求得EQ 、DQ 、 AQ的长；易证得ADQ ABC ，根据得到的 比例线段可求出BD 、BC的表达式，进而可根
16、据三角形周长的计算方法得到y、x 的函数关系式 解答：解：（1） B=30， ACB=90 ， BAC=60 AD=AE ， AED=60 =CEP ， EPC=30 BDP为等腰三角形 AEP与 BDP相似， EPA= DPB=30 ， AE=EP=1 在 RtECP中， EC= EP= ； （2）设 BD=BC=x 在 RtABC中，由勾股定理，得： （x+1） 2=x2+（ 2+1）2， 解之得 x=4，即 BC=4 过点 C作 CFDP ADE与 AFC相似， ，即 AF=AC ，即 DF=EC=2 ， BF=DF=2 BFC与 BDP相似， ，即： BC=CP=4 tan BPD=
17、（3）过 D点作 DQ AC于点 Q 则 DQE与 PCE相似，设AQ=a ，则 QE=1 a 且， DQ=3 （1a） 在 RtADQ中，据勾股定理得：AD 2=AQ2+DQ2 即： 1 2=a2+3（ 1a）2， 解之得 ADQ与 ABC相似， 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 14 ABC的周长， 即： y=3+3x，其中 x0 3 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆与圆的位置关系。 专题：代数几何综合题；分类讨论。 分析：（1）过 O的圆心作OE AC ，垂足为E通过证明 ODE AOE求得，然后将相关线段的长度代入 求得 y 关于 x 的函数解析式，再由函数的性质求其定义
18、域； （2）当 BD= OB时，根据（1）的函数关系式求得y=，x=6分两种情况来解答O1A的值当点O1在线段 OE上时， O1E=OE OO1=2；当点O1在线段 EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6； （3）当点 C为 AB的中点时， BOC= AOC= AOB=45 ， OCA= OCB=，然后由三角形的 内角和定理求得 DCB=45 ，由等量代换求得DCB= BOC 根据相似三角形的判定定理AA证明 DCB DOC 解答：解：（1）过 O的圆心作OE AC ，垂足为E， AE=，OE= DEO= AOB=90 ， D=90 EOD= AOE ， ODE AOE ， OD=y+5
19、， y 关于 x 的函数解析式为： 定义域为： （1 分） 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 15 （2）当 BD= OB时， x=6 AE=，OE= 当点 O1在线段 OE上时， O1E=OE OO1=2， 当点 O1在线段 EO的延长线上时，O1E=OE+OO 1=6， O1的半径为或 （3）存在，当点C为的中点时， DCB DOC 证明如下：当点C为的中点时，BOC= AOC= AOB=45 ， 又 OA=OC=OB， OCA= OCB=， DCB=180 OCA OCB=45 DCB= BOC 又 D= D， DCB DOC 存在点C，使得 DCB DOC 点评：本题主要考查了圆与
20、圆的位置关系、勾股定理此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE AC ，利用 相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解 4解：（1）联结OC，AC是O的弦，ODAC，OD=AD（1 分） DF/AB，CF=EF，DF=AE 2 1 =)( 2 1 OEAO（1 分） 点C是以AB为直径的半圆的中点，COAB（1 分） EF= x ，AO=CO=4, CE=2x ,OE=42164 2222 xxOCCE . （ 1 分） 42)424( 2 122 xxy. 定义域为2x（1+1 分） 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 16 （2）当点F在O上时，联结OC
21、、OF，EF=4 2 1 OFCE，OC=OB= 2 1 AB=4 （分） DF=2+442 =2+23（1 分） （3） 当E与O外切于点B时，BE=FE 222 COOECE， ,4)4()2( 222 xx03283 2 xx， 1 x 3 744 ， 2 x舍去( 3 744 ） （1分） DF= 3 7214 ) 3 744 8( 2 1 )( 2 1 BEAB（1 分） 当E与O内切于点B时，BE=FE 222 COOECE， ,4)4()2( 222 xx03283 2 xx， 1 x 3 744 ， 2 x舍去( 3 744 ） （1 分） DF= 3 7214 ) 3 744
22、 8( 2 1 )( 2 1 BEAB（1 分） 当E与O内切于点A时，AE=FE 222 COOECE， ,4)4()2( 222 xx03283 2 xx， 1 x 3 744 ， 2 x舍去( 3 744 ） （1 分） DF= 3 272 2 1 AE（1 分） 5. ： （1）作 DH BC于 H，如图 1， AD BC ，AB BC ，AB=4，AD=3 ， DH=4 ，BH=3 ， 在 RtDHC 中， sin DCH= ， DC=5 ， CH=3， BC=BH+CH=6， BP CD ， BPC=90 ， 而 DCH= BCP ， Rt DCH Rt BCP ， 最受信赖的教育
23、品牌 北辰教育 教学部 17 =，即=， PC=； （2）作 PE AB于 E，如图 2， PA=PB ， AE=BE= AB=2 ， PE AD BC ， PE为梯形 ABCD的中位线， PD=PC ，PE= （AD+BC ）= （ 3+6） = ， PC= BC= ， EA+PC=PE ， 以 AB为直径的 O与 P外切； （3）如图 1，作 PF BC于 F，则 CF=QF ， 设 PC=x ，则 DP=5x， PF DH ， CPF CDH ， =，即=，解得 CF=， CQ=2CF=， BQ=BC CQ=6 ， PQ=PC ， PQC= PCQ ， AD BC ， ADP+ PCQ=
24、180 ， 而 PQC+ PQB=180 ， ADP= PQB ， 当 ADP BQP ， =，即=， 整理得 2x 225x+50=0，解得 x 1=，x2=10（舍去）， 经检验 x=是原分式方程的解 PC= ； 当 ADP PQB ， 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 18 =，即= 整理得 5x 243x+90=0，解得 x 1=，x2=5（舍去）， 经检验 x=是原分式方程的解 PC=， 如果 ADP和 BQP相似， CP的长为或 25.1 90 9090 APDODAPED ODOEODEOED ODEOED EDAPEAAA ADEAEP Q Q Q : （）证明：连结 OD
25、 切半圆于， 又， ，又 2 2 334 , 555 8 46416 5 84 5255 55 (0) ODCB OAAC OD ODxOEADx x ADEAEP x APAEy xyxyx AEAD xx x Q: （ ） 同理可得： 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 19 (3) 5 ( 4 6 ,90 5 1 26 612 55 EC xAPAB DOBEH DHEDJE HDxPBEPDH PFBPHD PB PBAP xx Q : 由题意可知存在三种情况 但当在点左侧时显然大于所以不合舍去 当时如图） 延长，交于 易证 5 4 , 1 2 612 55 422 xPB DO P
26、EH DHEEJD PBFPDH BP BP xx AP : 当时 点在点的右侧 延长交于点 同理可得 J 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 20 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 21 7. 8. 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；相交两圆的性质；正多边形和圆。 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 22 专题：计算题；证明题。 分析： （1）过点 M作 MN AC ，垂足为 N，可得，再根据 PM AB ，又 AB是圆 O的直径， 可得， 在 RtPNM 中，再利用即可求得y 关于 x 的函数解析式； （2）设圆 M的半径为r ，利用勾股定理求出OM ，根据 OMA PMC
27、，可得 PMC 是直角三角形然后可得CPM 、 PCM 都不可能是直角又利用AOM=2 P P，可得即若 OMA 与 PMC 相似，其对应性只能是点O与点 C对 应、点 M与点 P对应、点 A与点 M对应从而求得OM ，然后即可求得M的半径长 （3）假设存在M ，使得 AB 、AC恰好是一个正五边形的两条边，连接OA 、MA 、MC 、AQ ，设公共弦AB与直线 OM 相交于点G，由正五边形求得AMB和 BAC ，再利用 AB是公共弦， OM AB ， AMO=36 ，从而求得AOM= AMO ， 在求证 MAQ MOA ，利用相似三角形对应边成比例即可求得 解答：解：（1）过点 M作 MN
28、AC，垂足为 N， ， 由题意得： PM AB ，又 AB是圆 O的直径， OA=OP=1 ， APO=45 ， ， 在 RtPNM 中， 又 PM=1+x ， NPM=45 ， ， y 关于 x 的函数解析式为（x1） ， （2）设圆 M的半径为r ， OA MA ， OAM=90 ， 又 OMA PMC ， PMC是直角三角形 OA=OP ，MA=MC ， CPM 、 PCM都不可能是直角 PMC=90 又 AOM=2 P P， AMO= P， 即若 OMA 与 PMC 相似，其对应性只能是点O与点 C对应、点M与点 P对应、点A与点 M对应 ，即，解得， 从而 OM=2 ， OM=2 ，
29、圆 M的半径为 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 23 （3）假设存在M ，使得 AB 、AC恰好是一个正五边形的两条边， 连接 OA 、MA 、MC 、AQ ，设公共弦AB与直线 OM 相交于点G 由正五边形知， BAC=108 ， AB是公共弦， OM AB ， AMO=36 ， 从而 P=18， AOM=2 P=36 AOM= AMO AM=AO=1 ，即圆 M的半径是1， OA=OQ=1 ， AOM=36 AQO=72 QAM= AQO AMO=36 MAQ MOA ， AM=1 ，MQ=OM1 ，解得：（负值舍去） ， 所以，存在M ，使得 AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，
30、 此时的，圆 M的半径是1 9/ (1) 两边一夹角 (2) 解：设 OP=x ，则 OB=x-1，OA=x+m ， 最受信赖的教育品牌 北辰教育 教学部 24 OP= 1m m ，OB= 1 1 m OA/OC=OC/OB 设圆 O与线段 AB的延长线相交于点Q ，当点 c 与点 P、点 Q不重合时， CAO BCO AC/BC=OC/OB=OP/OB=m；当点 C与点 P或点 Q重 OB合时，可得AC/BC=m ， 。 当点 C在圆 O上运动时， AC:BC=m (3) 解：由 (2) 得， ACBC ，且 AC-BC=(m-1)BC(m1)， AC+BC=(m+1)BC ，圆 B和圆 C的圆心距 d=BC， 显然 BC1 ， 12