五年级奥数教程.pdf

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1、1 平均数（一） 专题简析： 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少， 使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量 总份数 总数量=平均数 总份数 总份数=总数量 平均数 例 1 有 4 箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42 个，梨、橘 子、桃平均每箱 36 个，苹果和桃平均每箱37 个。一箱苹果多少 个？ 分析与解答：（ 1）1 箱苹果 1 箱梨 1 箱橘子 =423=136 （个） ； （2）1 箱桃1 箱梨1 箱橘子 =363=108（个） （3）1 箱苹果 1 箱桃=372=7

2、2（个） 由（1） （2）两个等式可知： 1 箱苹果比 1 箱桃多 126108=18（个） ，再根据等式（ 3）就 可以算出： 1 箱桃有（ 7418）2=28（个） ，1 箱苹果有 2 2818=46（个） 。 1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个： 372=74（个） 1 箱苹果比 1 箱桃多多少个： 42336=18（个） 1 箱苹果有多少个： 2818=46（个） 练习一 1，一次考试，甲、乙、丙三人平均分91 分，乙、丙、丁三人平 均分 89 分，甲、丁二人平均分95 分。问：甲、丁各得多少分？ 2，甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120 千克， 甲、丙、丁三人共重126

3、千克，丙、丁二人的平均体重是40 千克。 求四人的平均体重是多少千克？ 3，甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树 18 棵，甲、丙两组平均每组植树17 棵，乙、丙两组平均每组植树 19 棵。三个小组各植树多少棵？ 3 例 2 一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有 21 人， 平均每人 92 分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？ 分析：女生每人比全班平均分高9291.2=0.8 （分） ，而男生每人 比全班平均分低 91.290.5=0.7 （分） 。全体女生高出全班平均分 0.821=16.8 （分） ，应补给每个男生0.7 分，16.8 里包含有

4、24 个 0.7，即全班有 24 个男生。 练习二 1，两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有 6 人，平 均每人跳 140 下，乙组平均每人跳160 下。乙组有多少人？ 2，有两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5 亩， 平均每亩产量是 101.5千克；另一块田平均每亩产量是85 千克。 这块田是多少亩？ 3，把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7 元，乙知甲级糖有 4 4 千克，平均每千克8 元；乙级糖有 2 千克，平均每千克多少元？ 例 3 某 3 个数的平均数是 2，如果把其中一个数改为4，平均数 就变成了 3。被改的数原来是多少？ 分析：原来三个数的和是23=

5、6，后来三个数的和是33=9，9 比 6 多出了 3，是因为把那个数改成了4。因此，原来的数应该是 43=1。 练习三 1，已知九个数的平均数是72，去掉一个数之后，余下的数的平均 数是 78。去掉的数是多少？ 2，有五个数，平均数是9。如果把其中的一个数改为1，那么这 五个数的平均数为8。这个改动的数原来是多少？ 3，甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90 分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成了87 分，因此，算 得四人的平均分是88 分。求甲在这次考试中得了多少分？ 5 例 4 五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算 成绩时将一位同学的98 分误作 89

6、 分计算了。经重新计算，全班 的平均成绩是 91.7分，五一班有多少名同学？ 分析：98 分比 89分多 9 分。多算 9 分就能使全班平均每人的成绩 上升 91.791.5=0.2 （分） 。9 里面包含有几个 0.2 ，五一班就有 几名同学。 练习四 1，五（ 1）班有 40 人，期中数学考试，有2 名同学去参加体育比 赛而缺考，全班平均分为92 分。缺考的两位同学补考均为100 分， 这次五（ 1）班同学期中考试的平均分是多少分？ 2，某班的一次测验，平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的 89 分误看作 97 分计算，经重新计算，该班平均成绩是91.1分。 问全班有多少同学？ 6 3

7、，五个数的平均数是18，把其中一个数改为6 后，这五个数的平 均数是 16。这个改动的数原来是多少？ 例 5 把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均 数是 27，后三个数的平均数是48。中间一个数是多少？ 分析：先求出五个数的和：385=190，再求出前三个数的和： 273=81，后三个数的和： 483=144。用前三个数的和加上后三 个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必然比190 多，而 多出的部分就是所求的中间的一个数。 练习五 1，甲、乙、丙三人的平均年龄为22 岁，如果甲、乙的平均年龄 是 18岁，乙、丙的平均年龄是25 岁，那么乙的年龄是多少岁？ 2，十名参赛者的

8、平均分是82 分，前 6 人的平均分是 83 分，后 6 人的平均分是 80 分。那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分？ 3，下图中的内有五个数A、B、C、D、E，内的数表示与它 相连的所有中的平均数。求C 是多少？ 7 平 均 数（二） 例 1 小明前几次数学测验的平均成绩是84 分，这次要考 100分， 才能把平均成绩提高到86 分。问这是他第几次测验？ 分析与解答： 100分比 86 分多 14 分，这 14 分必须填补到前几次 的平均分 84 分中去，使其平均分成为86 分。每次填补 8684=2（分） ，14 里面有 7 个 2，所以，前面已经测验了7 次， 这是第 8 次测验

9、。 练习一 1，老师带着几个同学在做花，老师做了21 朵，同学平均每人做 了 5 朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了7 朵。求有多少 个同学在做花？ 2，一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成 绩是 94 分，如果数学算在内，平均每门95 分。已知他数学得了 8 100分，问这位同学一共考了多少门功课？ 3，两组同学进行跳绳比赛，平均每人跳152次。甲组有 6 人，平 均每人跳 140 次，如果乙组平均每人跳160 次，那么，乙组有多 少人？ 9 例 2 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的 平均成绩是 89 分，政治、数学两科平均91.5 分，政治、英语两

10、 科平均 86 分，英语比语文多10 分。小亮的各科成绩是多少分？ 分析与解答：因为语文、英语两科平均分84分，即语文英语 =168分，而英语比语文多10 分，即英语语文 =10 分，所以，语 文是（16810）2=79 分，英语是 7910=89分。又因为政治、 英语两科平均 86 分，所以政治是 86289=83分；而政治、数 学两科平均分 91.5 分，数学是 91.5283=100分；最后根据五 科的平均成绩是 89 分可知，自然分是 895（798983100）=94分。 练习二 1，甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是 86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少？甲

11、、丙两个数的平 均数是多少？ 2，小华的前几次数学测验的平均成绩是80 分，这一次得了 100 分，正好把这几次的平均分提高到85 分。这一次是他第几次测验？ 3，五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后 10 四个数的平均数是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多 少？ 例 3 两地相距 360 千米，一艘汽艇顺水行全程需要10小时，已 知这条河的水流速度为每小时6 千米。往返两地的平均速度是每 小时多少千米？ 分析与解答：用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地 的平均速度。显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程 时所用的时间。因为36010=36（千米）是顺水

12、速度，它是汽艇 的静水速度与水流速度的和，所以，此汽艇的静水速度是 366=30（千米） 。而逆水速度 =静水速度水流速度，所以汽艇 的逆水速度是 306=24（千米） 。逆水行全程时所用时间是 36024=15（小时） ，往返的平均速度是3602 （1015） =28.8（千米）。 练习三 1，甲、乙两个码头相距144 千米，汽船从乙码头逆水行驶8 小时 到达甲码头，已知汽船在静水中每小时行驶21 千米。求汽船从甲 码头顺流行驶几小时到达乙码头？ 11 2，一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静 水速度是每小时 30 千米，水速每小时3 千米。现在正好是顺流而 行，行全程需

13、要几小时？ 3，甲船逆水航行 300 千米，需要 15 小时，返回原地需要10 小时； 乙船逆水航行同样的一段水路需要20 小时，返回原地需要多少小 时？ 例 4 幼儿园小班的 20 个小朋友和大班的30 个小朋友一起分饼干， 小班的小朋友每人分10 块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友 的平均数多 2 块。求一共分掉多少块饼干？ 分析与解答：只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘 （3020）人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比 大、小班小朋友的平均数多2 块，30 个小朋友一共多 230=60（块） ，这 60 块平均分给 20 个小班的小朋友，每人可得 6020=3（块）

14、。因此，大、小班小朋友分得平均块数是 103=13（块） 。一共分掉 13（3020）=650（块） 。 练习四 12 1，数学兴趣小组里有4 名女生和 3 名男生，在一次数学竞赛中， 女生的平均分是 90 分，男生的平均分比全组的平均分高2 分，全 组的平均分是多少分？ 2，两组同学跳绳，第一组有25 人，平均每人跳 80 下；第二组有 20 人，平均每人比两组同学跳的平均数多5 下，两组同学平均每 人跳几下？ 3，一个技术工带 5 个普通工人完成了一项任务，每个普通工人各 得 120元，这位技术工人的收入比他们6 人的平均收入还多20 元。 问这位技术工得多少元？ 例 5 王强从 A地到

15、B地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行 12 千米。剩下的步行，每小时走4 千米。王强行完全程的平均速 度是每小时多少千米？ 分析与解答：求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所 13 用的时间。由于题中没有告诉我们A地到 B地间的路程，我们可 以设全程为 24 千米（也可以设其他数） ，这样，就可以算出行全 程所用的时间是 1212124=4（小时），再用 244 就能得到 行全程的平均速度是每小时6 千米。 练习五 1，小明去爬山，上山时每小时行3 千米，原路返回时每小时行5 千米。求小明往返的平均速度。 2，运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑150 米，后 一半路程中每分

16、钟跑100 米。求他在整个长跑中的平均速度。 3，把一份书稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分钟打30 个字， 乙每分钟打 20 个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？ 第 3 周长方形、正方形的周长 14 同学们都知道，长方形的周长=（长宽） 2，正方形的周 长=边长4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长 方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是 长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识， 掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计 算它们的周长。 例 1 有 5 张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是 边长 6 厘米的正方形，重叠的部

17、分为边长的一半，求重叠后图形 的周长。 思路与导航根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一 半同时向左、右、上、下平移（如图b） ，转化成一个大正方形， 这个大正方形的周长和原来5 个小正方形重叠后的图形的周长相 等。因此，所求周长是184=72 厘米。 15 练习一 1，下图由 8 个边长都是 2 厘米的正方形组成，求这个图形的 周长。 2，下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成，求这个图形的周长。 3，有 6 块边长是 1 厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠 着，求重叠后图形的周长。 16 例 2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4 厘米， 截掉的面积为 192 平方厘米

18、。现在这块木板的周长是多少厘米？ 思路导航把截掉的 192平方厘米分成 A、B、C三块（如图）， 其中 AB的面积是 19244=176（平方厘米）。把 A和 B移到一起 拼成一个宽 4 厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下 部分的周长的一半。 1764=44（厘米），现在这块木板的周长是 442=88（厘米） 。 练习二 1，有一个长方形，如果长减少4 米，宽减少 2 米，面积就比 原来减少 44 平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方 形的周长。 2，有两个相同的长方形，长是8 厘米，宽是 3 厘米，如果按 下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？ 17 3，有一块长方形广场

19、，沿着它不同的两条边各划出2 米做绿 化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。求划去的绿化 带的面积是多少平方米？ 例 3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的 周长是多少？ 思路导航从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围 成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是（ab） 2 ，三条竖着的线段和是b2。所以，整个图形的周长是 （ab）2 b2，即 2a4b。 练习三 1，有一张长 40 厘米，宽 30 厘米的硬纸板，在四个角上各剪 去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬 纸板的周长。 18 2，一个长 12 厘米，宽 2 厘米的长方形和两个正方形正好

20、拼 成下图（ 1）所示长方形，求所拼长方形的周长。 3，求下面图形（图2）的周长（单位：厘米） 。 图（1）图（2） 19 例 4 下图是边长为 4 厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。 思路导航我们把阴影部分周长中左边的5 条线段全部平移 到左边，其和正好是4 厘米。再把下面的线段全部平移到下面， 其和也正好是 4 厘米。因此，阴影部分的周长与边长是4 厘米的 正方形的周长是相等的。 练习四 1，求下面图形的周长（单位：厘米） 。 20 2，在（）里填上 “” 、 “”或“=” 。 甲的周长（）乙的周长 3，下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。 例 5 如下图，阴影部分是正方形，

21、DF=6厘米， AB=9厘米，求最 大的长方形的周长。 分析根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。 因为 BC=EF ，CF=DE ，所以， AB BC CF=AB FE ED=9 6=15（厘 米） ，这正好是最大长方形周长的一半。因此，最大长方形的周长 是（96）2=30（厘米） 。 21 练习五 1，下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等， 求原来正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米） 2，下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5 厘米， 零件长 35 厘米，高 30 厘米。这个零件的周长是多少厘米？ 22 3，有两个相同的长方形，长7 厘米，宽 3 厘米，如

22、下图重叠 着，求重叠图形的周长。 第 4 周长方形、正方形的面积 专题简析： 23 长方形的面积 =长宽，正方形的面积 =边长边长。掌握并 能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。 但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件 比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题 目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补” 、 “平移” 、 “旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形 面积的问题，从而正确解答。 例 1 已知大正方形比小正方形边长多2 厘米，大正方形比小正方 形的面积大 40 平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘 米？ 2 2 B A 分

23、析从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积 大出的 40 平方厘米，可以分成三部分，其中A 和 B 的面积相等。 因此，用 40 平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2 就能得到长 方形 A 和 B 的面积，再用 A 或 B 的面积除以 2 就是小正方形的 边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常 简单了。 24 练习一 1，有一块长方形草地，长20 米，宽 15米。在它的四周向外筑一 条宽 2 米的小路，求小路的面积。 2，正方形的一组对边增加30 厘米，另一组对边减少18 厘米，结 果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多 少平方厘米？ 3，把一个长方形

24、的长增加5 分米，宽增加 8 分米后，得到一个面 积比原长方形多 181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是 多少分米？ 25 例 2 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小 的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形 的面积。 分析因为 AECE=6 ，DE EB=35 ，把两个式子相乘 AECE DE EB=356，而 CE EB=14 ，所以 AE DE=35 614=15 。 练习二 1，下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积 分别是 24 平方厘米、 30 平方厘米和 32 平方厘米，求阴影部分的 面积。 30 24 32 P NM F

25、E D CB A 26 2，下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积 如图所示（单位：平方厘米） ，求 A 和 B 的面积。 B 12 24 A 45 15 3，下图中阴影部分是边长5 厘米的正方形，四块完全一样的长方 形的宽是 8 厘米，求整个图形的面积。 5 8 8 8 8 例 3 把 20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正 方形，已知两个正方形的面积相差40 平方分米，大正方形的面积 是多少平方分米？ 分析我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两 个正方形的面积差40 平方分米就是图中的A 和 B 两部分，如图。 27 如果把 B 移到原来小正方形的上面，不难

26、看出，A 和 B 正好组成 一个长方形，此长方形的面积是40 平方分米，长 20 分米，宽是 4020=2（分米） ，即大、小两个正方形的边长相差2 分米。因此， 大正方形的边长就是（ 20+2）2=11（分米） ，面积是 1111=121（平方分米） 练习三 1，一块正方形，一边划出1.5 米，另一边划出 10 米搞绿化，剩下 的面积比原来减少了1350平方米。这块地原来的面积是多少平方 米？ 2，一个正方形，如果它的边长增加5 厘米，那么，面积就比原来 增加 95 平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？ 3，有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面 面积是 80 平方米。

27、求草坪的面积。 28 例 4 有一个正方形 ABCD 如下图，请把这个正方形的面积扩大 1 倍，并画出来。 分析由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法 计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正方形之间 的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出4 个等腰直 角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就 是原正方形面积的2 倍。 练习四 1，四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形， 如果大、小正方形的面积分别是49 平方米和 4 平方米，求其中一 个长方形的宽。 29 2，正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28 条边的长都相 等。如果此图的周长是

28、56 厘米，那么，这个图形的面积是多少？ 3，正图中，正方形ABCD 的边长 4 厘米，求长方形 EFGD 的面 积。 例 5 有一个周长是 72 厘米的长方形，它是由三个大小相等的正 方形拼成的。一个正方形的面积是多少平方厘米？ 分析三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原 正方形边长的 8 倍，正方形的边长为728=9（厘米） ，一个正方 形的面积就是 99=81（平方厘米）。 练习五 30 1，五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是 36 厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？ 2，有一张长方形纸，长12 厘米，宽 10厘米。从这张纸上剪下一 个最大的正方形后，剩

29、下部分的周长是多少厘米？ 3，有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形 ABCD（如下图），已知大长方形的面积是35 平方厘米，且周长 比原来小长方形的周长多10 厘米。求原来小长方形的面积。 31 第 5 周分类数图形 专题简析： 我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数 出的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。 分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、 有条理并且正确地数出图形的个数。 例题 1 下面图形中有多少个正方形？ 分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形 组成的有 63=18 个，22的正方形有 52=10 个，33

30、 的正方 形有 41=4 个。因此图中共有18104=32个正方形。 练习一 32 1，下图中共有多少个正方形？ 2，下图中共有多少个正方形？ 3，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？ 例题 2 下图中共有多少个三角形？ 33 分析为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形， 然后再把数出的各类三角形的个数相加。 （1）图中共有 6 个小三角形； （2）由两个小三角形组合的三角形有3 个； （3）由三个小三角形组合的三角形有6 个； （4）由六个小三角形组合的三角形有1 个。 所以共有 6361=16个三角形。 练习二 1，下面图中共有多少个三角形？ 2，数一数，图中共有多少个三角形。

31、34 3，数一数，图中共有多少个三角形？ 图表 1 35 例题 3 数出下图中所有三角形的个数。 分析和三角形 AFG一样形状的三角形有5 个；和三角形 ABF一样形状的三角形有10个；和三角形 ABG 一样形状的三角形 有 5 个；和三角形 ABE一样形的三角形有5 个；和三角形 AMD 一 样形状的三角形有5 个，共 35 个三角形。 练习三 数出下面图形中分别有多少个三角形。 例题 4 如下图，平面上有12 个点，可任意取其中四个点围成一 个正方形，这样的正方形有多少个？ 36 分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图中可 以看出： （1）最小的正方形有6 个； （2）由 4 个小

32、正方形组合而成的正方形有2 个； （3）中间还可围成 2 个正方形。 所以共有 622=10个。 练习四 1，下图中共有 8 个点，连接任意四点围成一个长方形，一共 能围成多少个长方形？ 2，下图中共有 6 个点，连接其中的三点围成一个三角形，一 共能围成多少个三角形？ 37 3，下图中共有 9 个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一 共能围成多少个梯形？ 例题 5 数一数，下图中共有多少个三角形？ 分析我们可以分类来数： 1，单一的小三角形有16 个； 2，两个小三角形组合的有10 个； 3，四个小三角形组合的有8 个； 4，八个小三角形组合的有2 个。 所以，图中一共有161082=36个

33、三角形。 38 练习五 1，图中共有（）个三角形。 2，图中共有（）个三角形。 3，图中共有（）个正方形。 第 6 周尾数和余数 专题简析： 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去 商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的， 39 利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 例题 1 写出除 213 后余 3 的全部两位数。 分析因为 213=2103，把 210分解质因数： 210=2 357 ，所以，符号题目要求的两位数有 25=10，27=14，35=15，37=21，57=35，235=30， 237=42，一共有 7 个两位数。 练习一 1，写出除 1

34、09 后余 4 的全部两位数。 2，178 除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪 些？ 3，写出除 1290后余 3 的全部三位数。 例题 2 （1）125125125125100个 25积的尾数是 几？ （2） （2126）（2126） （2126）100 个 （2126） 积的尾数是几？ 分析（1）因为个位 5 乘 5，积的个位仍然是5，所以不管 40 多少个 125相乘，个位还是 5； （2）每个括号里 21 乘 26 积的个位是 6，我们只要分析 100 个 6 相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6 乘 6，积的个位仍然 是 6，所以不管多少个（ 2126）连乘，积的个位还是

35、6。 练习二 1，2121212150个 21积的尾数是几？ 2，1.51.51.51.5200个 1.5 积的尾数是几？ 3， （1263）（1263）（1263） （1263）1000 个（1263） 积的尾数是几？ 例题 3 （1）444450个 4 积的个位数是几？ （2）999951个 9 积的个位数是几？ 分析（1）我们先列举前几个4 的积，看看个位数在怎样变 化，1 个 4 个位就是 4；44 的个位是 6；444 的个位是 41 4；4444 的个位是 6由此可见，积的尾数以 “4，6”两 个数字在不断重复出现。502=25 没有余数，说明 50 个 4 相乘， 积的个位是 6

36、。 （2）用上面的方法可以发现，51 个 9 相乘时，积的个位是 以“9，1”两个数字不断重复， 512=25 1 ，余数是 1，说明 51 个 9 本乘积的个位是 9。 练习三 1，242424242001个 24，积的尾数是多少？ 2，1239899 ，积的尾数是多少？ 3，94949494102个 94 494949101 个 49，差的个位是多少？ 例题 4 把 1/7 化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多 少？ 42 分析因为 1/70.142857142857 ，化成的小数是一个 无限循环小数，循环节 “142857 ” 共有 6 个数字。由于 1006=16 4 ，所以

37、，小数点后面的第100位是第 17 个循环节 的第 4 个数字，是 8。 练习四 1，把 1/11 化成小数，求小数点后面第2001 位上的数字。 2，5/7 写成循环小数后，小数点后第50 个数字是几？ 3，有一串数： 5、8、13、21、34、55、89，其中，从第 三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000 个 数被 3 除后所得的余数是多少？ 例题 5 555 552001 个 513，当商是整数时，余数是几？ 分析如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除 一除，看一看余数在按怎样的规律变化。 43 从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5 这六个数字 不

38、断重复出现。 2001 6=333 3 ，所以，当商是整数时，余数 是 4。 练习五 1，44446100 个 4 ，当商是整数时，余数是几？ 2，当商是整数时，余数各是几？ （1）66664100 个 6 （2）444474200 个 4 （3）88887200 个 8 44 （4）1111750 个 1 第周 一般应用题（一） 专题简析： 一般复合应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在 一起，有的已知条件是间接的，数量关系比较复杂，叙述的方式 和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解 题规律可循。解答一般应用题时，可以借助线段图、示意图、直 观演示手段帮助分析。在分析

39、应用题的数量关系时，我们可以从 条件出发，逐步推出所求问题（综合法） ；也可以从问题出发，找 出必须的两个条件（分析法） 。在实际解时，可以根据题中的已知 条件，灵活运用这两种方法。 例 1 五年级有六个班，每班人数相等。从每班选16 人参加少先 队活动，剩下的同学相当于原来4 个班的人数。原来每班多少人？ 分析与解答：从每班选16 人参加少先队活动， 6 个班共选 166=96（人） 。剩下的同学相当于原来4 个班的人数，那么， 96 45 人就相当于原来（ 64）个班人人数，所以，原来每班 962=48（人） 。 练习一 1，五个同学有同样多的存款，若每人拿出16 元捐给 “希望工程 ”

40、后，五位同学剩下的钱正好等于原来3 人的存款数。原来每人存 款多少？ 2，把一堆货物平均分给6 个小组运，当每个小组都运了68 箱时， 正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？ 3，老师把一批树苗平均分给四个小队栽，当每队栽了6 棵时，发 现剩下的树苗正好是原来每队分得的棵数。这批树苗一共有多少 棵？ 例 2 某车间按计划每天应加工50 个零件，实际每天加工56 个零 件。这样，不仅提前3 天完成原计划加工零件的任务，而且还多 46 加工了 120个零件。这个车间实际加工了多少个零件？ 分析如果按原计划的天数加工，加工的零件就会比原计划多 563120=288（个） 。为什么会多加工2

41、88个呢？是因为每天多 加工了 5650=6（个） 。因此，原计划加工的天数是 2886=48（天） ，实际加工了 5048120=1520（个）零件。 练习二 1，汽车从甲地开往乙地，原计划每小时行40 千米，实际每小时 多行了 10 千米，这样比原计划提前2 小时到达了乙地。甲、乙两 地相距多少千米？ 2，小明骑车上学，原计划每分钟行200米，正好准时到达学校， 有一天因下雨，他每分钟只能行120 米，结果迟到了 5 分钟。他 家离学校有多远？ 3，加工一批零件，原计划每天加工80 个，正好按期完成任务。 由于改进了生产技术，实际每天加工100个，这样，不仅提前4 天完成加工任务，而且还多

42、加工了100 个。他们实际加工零件多 47 少个？ 例 3 甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工6 个零件，乙中途 停了 15 天没有加工。 40 天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一 半。这时两人各加工了多少个零件？ 分析甲工作了 40 天，而乙停止了15天没有加工，乙只加工了 25 天，所以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲20天加工的 零件和乙 25 天加工的零件同样多。由于甲每天比乙多加工6 个， 20 天一共多加工 620=120（个） 。这 120 个零件相当于乙 25- 20=5（天）加工的个数，乙每天加工120（25-20）=24（个） 。 乙一共加工了 2425=600（个

43、） ，甲一共加工了6002=1200（个） 练习三 1，甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工10 个。途中乙 因事休息了 5 天，20 天后，甲加工的帽子正好是乙加工的2 倍， 这时两人各加工帽子多少个？ 48 2，甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时比乙车多 行 20千米。途中乙因修车用了2 小时，6 小时后甲车到达两地中 点，而乙车才行了甲车所行路程的一半。A、B两地相距多少千米？ 3，甲、乙两人承包一项工程，共得工资1120 元。已知甲工作了 10 天，乙工作了 12 天，且甲 5 天的工资和乙 4 天的工资同样多。 求甲、乙每天各分得工资多少元？ 例 4 服装厂要加工一批

44、上衣，原计划20 天完成任务。实际每天 比计划多加工 60 件，照这样做了 15 天，就超过原计划件数350 件。原计划加工上衣多少件？ 分析由于每天比计划多加工60 件，15 天就比原计划的 15 天多 加工 6015=900（件） ，这时已超过计划件数350件，900 件中去 掉这 350 件，剩下的件数就是原计划（2015）天中的工作量。 所以，原计划每天加工上衣（900350）（2015）=110（件） ， 原计划加工 11020=2200（件） 。 49 练习四 1，用汽车运一堆煤，原计划8 小时运完。实际每小时比原计划多 运 1.5 吨，这样运了 6 小时就比原计划多运了3 吨。原

45、计划 8 小 时运多少吨煤？ 2，汽车从甲地开往乙地，原计划10 小时到达。实际每小时比原 计划多行 15 千米，行了 8 小时后，发现已超过乙20 千米。甲、 乙两地相距多少千米？ 3，小明看一本书，原计划8 天看完。实际每天比原计划少看了4 页。这样，用 10 天才看完了这本书。这本书一共有多少页？ 例 5 王师傅原计划每天做60 个零件，实际每天比原计划多做20 个，结果提前 5 在完成任务。王师傅一共做了多少个零件？ 分析按实际做法再做 5 天，就会超产（ 6020）5=400（个） 。 为什么会超产 400 个呢？是因为每天多生产了20 个，400里面有 50 几个 20，就是原计划

46、生产几天。 40020=20（天） ，因此，王师傅 一共做了 6020=1200（个）零件。 练习五 1，食堂准备了一批煤，原计划每天烧0.8 吨，实际每天比原计划 节约了 0.1 吨，这样比原计划多烧了2 天。这批煤一共有多少吨？ 2，造纸厂生产一批纸，计划每天生产13.5 吨，实际每天比原计 划多生产 1.5 吨，结果提前 2.5 天完成了任务。实际用了多少天？ 3，机床厂生产一批机床，原计划每天生产15 台，实际每天生产 18 台，这样比原计划提前3 天完成了任务。这批机床一共有多少 台？ 第周一般应用题（二） 专题简析： 51 较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系 交织

47、在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本 的问题靠拢。因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复 杂的问题简单化，从而正确解答。 例 1 工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25 根， 用短管子铺需要 35 根。已知这两种管子的长相差2 米，这段排水 管道长多少米？ 分析因为每根长管子比每根短管子长2 米，25 根长管子就比 25 根短管子长 50 米。而这 50 米就相当于（ 3525）根短管子的长 度。因此，每根短管子的长度就是50（3525）=5（米） ，这段 排水管道的长度应是535=175（米） 。 练习一 1，生产一批零件，甲单独生产要用6 小时，乙单独生产要

48、用8 小 时。如果甲每小时比乙多生产10 个零件，这批零件一共有多少个？ 2，一班的小朋友在操场上做游戏，每组6 人。玩了一会儿，他们 觉得每组人数太少便重新分组，正好每组9 人，这样比原来减少 52 了 2 组。参加游戏的小朋友一共有多少人？ 3，甲、乙二人同时从A 地到 B 地，甲经过 10 小时到达了 B 地， 比乙多用了 4 小时。已知二人的速度差是每小时5 千米，求甲、 乙二人每小时各行多少千米？ 例 2 甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙 都比丙多拿 24 千克。结帐时，甲和乙都要付给丙24 元，每千克 苹果多少元？ 分析三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的苹果。 2423=16 （千克） ，也就是丙少拿16千克苹果，所以得到 242=48 元。每千克苹果是4816=3（元） 。 练习二 1，甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿 了 13支，乙拿了 7 支，因此，甲又给了乙6 角钱。每支铅笔多少 钱？ 53 2，春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6 个面包，中午发现小 红没有带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小 明和小军各 2.2元钱。每个面包多少元？ 3， “六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了7 张红纸，小英 买来了和红纸同样价格的5 张黄纸。老师把这些纸平均分给了小 华、小英和另外两名同学，结果另外