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1、易错知识点 1 线、角 1 . 直线没有端点，没有长度，可以无限延伸。 2. 射线只有一个端点，没有长度，射线可以无限延伸，并且射线有方向。 3. 在一条直线上的一个点可以引出两条射线。 4. 线段有两个端点，可以测量长度。圆的半径、直径都是线段。 5 . 角的两边是射线，角的大小与射线的长度没有关系，而是跟角的两边叉开的 大小有关，叉得越大角就越大。 6 . 几个易错的角边关系： （ 1）平角的两边是射线，平角不是直线。 （ 2）三角形、四边形中的角的两边是线段。 （ 3）圆心角的两边是线段。 7 . 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直。其中一条直线叫做另一 条直线的垂线，这两条直
2、线的交点叫做垂足。 8. 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫做点到直线的距离。 9. 在同一个平面上不相交的两条直线叫做平行线。 2 三角形 1. 任何三角形内角和都是180 度。 2 . 三角形具有稳定的特性，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第 三边。 3. 任何三角形都有三条高。 4. 直角三角形两个锐角的和是90 度。 5. 两个三角形等底等高，则它们面积相等。 6 . 面积相等的两个三角形，形状不一定相同。 3 正方形面积 1 . 正方形面积：边长边长 2 . 正方形面积：两条对角线长度的积2 4 三角形、四边形的关系 1. 两个完全一样的三角形能组成一个平行四边
3、形。 2. 两个完全一样的直角三角形能组成一个长方形。 3. 两个完全一样的等腰直角三角形能组成一个正方形。 4. 两个完全一样的梯形能组成一个平行四边形。 5 圆 把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，宽 相当于圆的半径。则长方形的面积等于圆的面积，长方形的周长比圆的周长增加r 2。 半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长公式：pd ?d 或 pr r 在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。 而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 6 圆柱、圆锥 把圆柱的侧面展开，得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面的周长， 宽等于
4、圆柱的高。 如果把圆柱的侧面展开，得到一个正方形，那么圆柱的底面周长和高相等。 把一个圆柱沿着半径切开，拼成一个近似的长方体，体积不变，表面积增加了两 个面，增加的面积是rh2。 把一个圆柱沿着底面直径劈开，得到两个半圆柱体，表面积和比原来增加了两个 长方形的面，增加的面积和是dh 2。 把一个圆柱加工成一个最大的圆锥，那么圆柱与圆锥等底等高，削去的圆柱的体 积占圆柱体积的，削去的圆柱的体积占圆锥体积的2 倍。 把一个圆柱截成几段，增加的表面积是底面圆，增加的面的个数是：截的次数2。 我 们 曾 经 学 过 的 三 角 形 、 长 方 形 、 正 方 形 、 平 行 四 边 形 、 梯 形 、
5、 菱 形 、 圆 和 扇 形 等 图 形 ， 一 般 称 为 基 本 图 形 或 规 则 图 形 。 我 们 的 面 积 及 周 长 都 有 相 应 的 公 式 直 接 计 算 。 如 下 表 ： 实 际 问 题 中 ， 有 些 图 形 不 是 以 基 本 图 形 的 形 状 出 现 ， 而 是 由 一 些 基 本 图 形 组 合 、 拼 凑 成 的 ， 它 们 的 面 积 及 周 长 无 法 应 用 公 式 直 接 计 算 。 一 般 我 们 称 这 样 的 图 形 为 不 规 则 图 形 。 那 么 ， 不 规 则 图 形 的 面 积 及 周 长 怎 样 去 计 算 呢 ？ 我 们 可 以
6、 针 对 这 些 图 形 通 过 实 施 割 补 、 剪 拼 等 方 法 将 它 们 转 化 为 基 本 图 形 的 和 、 差 关 系 ， 问 题 就 能 解 决 了 。 例题分析 例 1 、 如 下 图 ， 甲 、 乙 两 图 形 都 是 正 方 形 ， 它 们 的 边 长 分 别 是 10 厘 米 和 12 厘 米 .求 阴 影 部 分 的 面 积 。 一 句 话 ： 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 甲 、 乙 两 个 正 方 形 面 积 之 和 减 去 三 个 “ 空 白 ” 三 角 形 （ ABG 、 BDE 、 EFG ） 的 面 积 之 和 。 例 2 、如 下 图 ，正 方
7、 形 ABCD的 边 长 为 6 厘 米 ，ABE 、ADF与 四 边 形 AECF 的 面 积 彼 此 相 等 ， 求 三 角 形 AEF 的 面 积 。 一 句 话 ： 因 为 ABE 、 ADF与 四 边 形 AECF 的 面 积 彼 此 相 等 ， 都 等 于 正 方 形 ABCD面 积 的 三 分 之 一 ， 也 就 是 12 平 方 厘 米 。 解 ： S ABE=S ADF=S四 边 形 AECF=12（ 平 方 厘 米 ） 在 ABE 中 ， 因 为 AB=6厘 米 ， 所 以 BE=4 厘 米 ， 同 理 DF=4厘 米 ， 因 此 CE=CF=2 厘 米 ， ECF 的 面
8、 积 为 222=2 （ 平 方 厘 米 ） 。 所 以 S AEF=S四 边 形 AECF-S ECF=12-2=10（ 平 方 厘 米 ） 。 例 3 、 两 块 等 腰 直 角 三 角 形 的 三 角 板 ，直 角 边 分 别 是 10 厘 米 和 6 厘 米 。如 右 图 那 样 重 合 .求 重 合 部 分 （ 阴 影 部 分 ） 的 面 积 。 一 句 话 ： 阴 影 部 分 面 积 =S ABG-S BEF ， S ABG 和 S BEF 都 是 等 腰 三 角 形 总 结 ： 对 于 不 规 则 图 形 面 积 的 计 算 问 题 一 般 将 它 转 化 为 若 干 基 本 规
9、 则 图 形 的 组 合 ， 分 析 整 体 与 部 分 的 和 、 差 关 系 ， 问 题 便 得 到 解 决 求面积十大方法 相加法 这 种 方 法 是 将 不 规 则 图 形 分 解 转 化 成 几 个 基 本 规 则 图 形 ， 分 别 计 算 它 们 的 面 积 ， 然 后 相 加 求 出 整 个 图 形 的 面 积 . 例 如 ： 求 下 图 整 个 图 形 的 面 积 一 句 话 ： 半 圆 的 面 积 + 正 方 形 的 面 积 = 总 面 积 相减法 这 种 方 法 是 将 所 求 的 不 规 则 图 形 的 面 积 看 成 是 若 干 个 基 本 规 则 图 形 的 面 积
10、 之 差 。 例 如 ： 下 图 ， 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 一 句 话 ： 先 求 出 正 方 形 面 积 再 减 去 里 面 圆 的 面 积 即 可 。 直接求法 这 种 方 法 是 根 据 已 知 条 件 ， 从 整 体 出 发 直 接 求 出 不 规 则 图 形 面 积 。 例 如 ： 下 图 ， 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 一 句 话 ： 通 过 分 析 发 现 阴 影 部 分 就 是 一 个 底 是 2 、 高 是 4 的 三 角 形 。 重新组合法 这 种 方 法 是 将 不 规 则 图 形 拆 开 ， 根 据 具 体 情 况 和 计 算 上 的 需 要 ，
11、重 新 组 合 成 一 个 新 的 图 形 ， 设 法 求 出 这 个 新 图 形 面 积 即 可 。 例 如 ： 下 图 ， 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 一 句 话 ： 拆 开 图 形 ， 使 阴 影 部 分 分 布 在 正 方 形 的 4 个 角 处 ， 如 下 图 。 辅助线法 这 种 方 法 是 根 据 具 体 情 况 在 图 形 中 添 一 条 或 若 干 条 辅 助 线 ， 使 不 规 则 图 形 转 化 成 若 干 个 基 本 规 则 图 形 ， 然 后 再 采 用 相 加 、 相 减 法 解 决 即 可 。 例 如 ： 下 图 ， 求 两 个 正 方 形 中 阴 影 部
12、 分 的 面 积 。 一 句 话 ： 此 题 虽 然 可 以 用 相 减 法 解 决 ， 但 不 如 添 加 一 条 辅 助 线 后 用 直 接 法 作 更 简 便 （ 如 下 图 ） 根 据 梯 形 两 侧 三 角 形 面 积 相 等 原 理 （ 蝴 蝶 定 理 ） ， 可 用 三 角 形 丁 的 面 积 替 换 丙 的 面 积 ， 组 成 一 个 大 三 角 ABE ， 这 样 整 个 阴 影 部 分 面 积 恰 是 大 正 方 形 面 积 的 一 半 。 割补法 这 种 方 法 是 把 原 图 形 的 一 部 分 切 割 下 来 补 在 图 形 中 的 另 一 部 分 使 之 成 为 基
13、 本 规 则 图 形 ， 从 而 使 问 题 得 到 解 决 。 例 如 ： 下 图 ， 若 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 一 句 话 ： 把 右 边 弓 形 切 割 下 来 补 在 左 边 ， 这 样 整 个 阴 影 部 分 面 积 恰 是 正 方 形 面 积 的 一 半 。 平移法 这 种 方 法 是 将 图 形 中 某 一 部 分 切 割 下 来 平 行 移 动 到 一 恰 当 位 置 ， 使 之 组 合 成 一 个 新 的 基 本 规 则 图 形 ， 便 于 求 出 面 积 。 例 如 ： 下 图 ， 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 一 句 话 ：可 先 沿 中 间 切 开
14、把 左 边 正 方 形 内 的 阴 影 部 分 平 行 移 到 右 边 正 方 形 内 ， 这 样 整 个 阴 影 部 分 恰 是 一 个 正 方 形 。 旋转法 这 种 方 法 是 将 图 形 中 某 一 部 分 切 割 下 来 之 后 ， 使 之 沿 某 一 点 或 某 一 轴 旋 转 一 定 角 度 贴 补 在 另 一 图 形 的 一 侧 ， 从 而 组 合 成 一 个 新 的 基 本 规 则 的 图 形 ， 便 于 求 出 面 积 。 例 如 ： 下 图 （ 1） ， 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 一 句 话 ： 左 半 图 形 绕 B 点 逆 时 针 方 向 旋 转 180 ，
15、 使 A 与 C 重 合 ， 从 而 构 成 右 图（ 2 ）的 样 子 ，此 时 阴 影 部 分 的 面 积 可 以 看 成 半 圆 面 积 减 去 中 间 等 腰 直 角 三 角 形 的 面 积 。 对称添补法 这 种 方 法 是 作 出 原 图 形 的 对 称 图 形 ， 从 而 得 到 一 个 新 的 基 本 规 则 图 形 .原 来 图 形 面 积 就 是 这 个 新 图 形 面 积 的 一 半 。 例 如 ： 下 图 ， 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 一 句 话 ： 沿 AB 在 原 图 下 方 作 关 于 AB 为 对 称 轴 的 对 称 扇 形 ABD. 弓 形 CBD 的 面 积 的 一 半 就 是 所 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 重叠法 这 种 方 法 是 将 所 求 的 图 形 看 成 是 两 个 或 两 个 以 上 图 形 的 重 叠 部 分 。 例 如 ： 下 图 ， 求 阴 影 部 分 的 面 积 。 一 句 话 ： 可 先 求 两 个 扇 形 面 积 的 和 ， 减 去 正 方 形 面 积 ， 因 为 阴 影 部 分 的 面 积 恰 好 是 两 个 扇 形 重 叠 的 部 分 。