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1、1 动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类 开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题. 关键 : 动中求静 . 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图 1，梯形 ABCD 中， AD BC， B=90， AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开始沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动， 点 Q 从 C 开始沿 CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移动， 如果 P， Q 分别从 A，C 同时出发，设移动时间为t 秒。 当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当 t=
2、时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图 2，正方形ABCD 的边长为4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1 ，N 为对角线AC 上任 意一点，则DN+MN的最小值为5 3、如图，在 RtABC 中， 9060ACBB ， ， 2BC 点O是 AC的中点，过 点O的直线l从与AC重合的位置开始， 绕点O作逆时针旋转， 交AB边于点D过点C作 CEAB 交直线l于点E，设直线 l的旋转角为 （1）当 度时，四边形 EDBC 是等腰梯形，此时 AD的长为 ； 当 度时，四边形 EDBC是直角梯形，此时 AD的长为； （2）当 90 时，判断四边形 EDBC是否为菱形，并说明理由 解： （1） 30，
3、1； 60，1.5； （2）当 =900时，四边形EDBC 是菱形 . =ACB=90 0， BC/ED . CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形 在 RtABC 中， ACB=90 0， B=600,BC=2, A=30 0 . AB=4,AC=2 3 . AO= 1 2 AC = 3 .在 RtAOD 中， A=30 0， AD=2. BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC 是平行四边形， 四边形EDBC 是菱形 4、在 ABC 中， ACB=90，AC=BC ，直线 MN 经过点 C，且 AD MN 于 D，BEMN 于 E. O E C B D A l O C B A （备
4、用图） C B A E D 图 1 N M A B C D E M N 图 2 A C B E D N M 图 3 2 (1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图1 的位置时，求证：ADC CEB； DE=AD BE； (2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图2 的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图3 的位置时，试问DE、AD 、 BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量 关系，并加以证明. 解： （1） ACD= ACB=90 CAD+ ACD=90 BCE+ACD=90 CAD= BCE AC=BC ADC CEB ADC CEB CE=AD ，CD=BE
5、 DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE 又 AC=BC ACD CBE CE=AD ，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE (3) 当 MN 旋转到图3 的位置时， DE=BE-AD( 或 AD=BE-DE ，BE=AD+DE等) ADC= CEB= ACB=90 ACD= CBE， 又 AC=BC ， ACD CBE，AD=CE ，CD=BE ， DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上， 张老师出示了问题：如图 1，四边形ABCD是正方形， 点E是边BC的中点90AEF， 且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=E
6、F 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证 AMEECF，所以AEEF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意 一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由； （2） 小华提出： 如图 3， 点E是BC的延长线上 （除C点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论“AE=EF” 仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 解： （1）正确 证明
7、：在AB上取一点M，使AMEC，连接ME BMBE45BME ， 135AME CF是外角平分线，45DCF ，135ECF AMEECF 90AEBBAE ，90AEBCEF ， BAECEFAMEBCF（ASA ） AEEF （2）正确 证明：在BA的延长线上取一点N使ANCE，连接NE BNBE45NPCE 四边形ABCD是正方形，ADBE DAEBEANAECEF ANEECF（ASA ） AEEF 6、如图 , 射线 MB 上,MB=9,A 是射线 MB 外一点 ,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为3,动点 P 从 M 沿射线 MB 方向以 1 个单位 /秒的速度移动，设P 的
8、运动时间为t. 求（ 1）PAB 为等腰三角形的t 值； （2）PAB 为直角三角形的t 值； （3） 若 AB=5 且 ABM=45 ，其他条件不变，直接写出PAB 为直角三角形的t 值 A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 3 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B M A D F C G E B N 3 7、如图1，在等腰梯形 ABCD中，ADBC ，E是AB的中点，过点E作EF BC 交CD于点 F 46ABBC， ， 60B .求： （1）求点 E到BC的距离； （2） 点P为线段EF上的一个动点， 过P作PMEF交BC于点M，
9、过M作MN AB 交折线 ADC 于点N，连结PN，设EP x. 当点 N在线段 AD上时（如图2） ， P M N 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN 的周长；若 改变，请说明理由； 当点N在线段DC上时（如图3） ，是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的 x的值；若不存在，请说明理由 解（ 1）如图 1，过点E作EG BC于点G E为AB的中点， 1 2 2 BEAB 在 RtEBG 中， 60B， 30BEG 22 1 1213 2 BGBEEG， A D E B F C 图 4 （备用） A D E B F C 图 5 （备用） A D E B F C
10、 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M （第 25 题） 4 即点E到 BC的距离为3 （2）当点 N在线段AD上运动时，PMN 的形状不发生改变 PMEFEGEF，PMEG EF BC， EP GM，3PMEG 同理 4MNAB 如图 2，过点P作PHMN于H，MNAB， 6030NMCBPMH， 13 22 PHPM 3 cos30 2 MHPM 则 35 4 22 NHMNMH 在Rt PNH 中， 2 2 22 53 7 22 PNNHPH PMN的周长 =374PMPNMN 当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但M
11、NC恒为等边三角形 当PMPN时，如图3，作PRMN于R，则MRNR 类似， 3 2 MR 23MNMRMNC是等边三角形，3MCMN 此时，6 132xEPGMBCBGMC 当MPMN时，如图4，这时3MCMNMP此时，6 1353xEPGM 当NPNM时，如图5，30NPMPMN则120PMN，又60MNC， 180PNMMNC因此点P与F重合，PMC为直角三角形 tan301MCPM 此时， 61 14xEPGM 综上所述，当2x或 4 或 53时，PMN为等腰三角形 8、如图，已知 ABC 中， 10ABAC 厘米， 8BC 厘米，点 D为AB的中点 (1）如果点 P 在线段 BC 上
12、以 3cm/s 的速度由B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点 运动 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F（ P） C M N G G R G 图 1 A D E B F C G 图 2 A D E B F C P N M G H 5 若点 Q 的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等， 当点 Q 的运动速度为多少时， 能够使 BPD 与 CQP 全等？ （2） 若点 Q 以中的运动速度
13、从点C 出发，点 P以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？ 解： （1） 1t 秒， 3 13BPCQ 厘米， 10AB 厘米，点D为AB的中点， 5BD 厘米 又 8PCBCBPBC， 厘米， 835PC 厘米， PCBD 又 ABAC， BC， BPDCQP PQ vv ， BPCQ ， 又 BPDCQP ， BC，则 45BPPCCQBD， ， 点P，点 Q 运动的时间 4 33 BP t 秒， 515 4 4 3 Q CQ v t 厘米 /秒。 （2）设经过 x 秒后点 P与点 Q 第一次相遇，由题
14、意，得 15 32 10 4 xx ，解得 80 3 x 秒 点P共运动了 80 380 3 厘米80 22824，点 P、点 Q 在AB边上相遇， 经过 80 3 秒点P与点 Q 第一次在边 AB上相遇 9、 如图所示，在菱形 ABCD 中， AB=4， BAD=120 ， AEF 为正三角形， 点 E、 F 分别在菱形的边BC CD 上滑动，且E、F 不与 BCD 重合 （1）证明不论E、F 在 BCCD 上如何滑动，总有BE=CF； （2）当点 E、F 在 BCCD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和 CEF 的面积是否发生变化？如果不 变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值
15、 A Q C D B P 6 【答案】 解： （1）证明：如图，连接AC 四边形ABCD 为菱形， BAD=120 ， BAE+ EAC=60 ， FAC+EAC=60 ， BAE=FAC。 BAD=120 ， ABF=60 。 ABC 和 ACD 为等边三角形。 ACF=60 ， AC=AB。 ABE=AFC 。 在 ABE 和 ACF 中， BAE=FAC，AB=AC， ABE=AFC， ABE ACF （ASA） 。 BE=CF。 （2）四边形AECF 的面积不变，CEF 的面积发生变化。理由如下： 由（ 1）得 ABE ACF ，则 SABE=SACF。 S四边形AECF=SAEC+S
16、ACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。 作 AHBC 于 H 点，则 BH=2， 22 AECFABC 11 SSBC AHBCABBH4 3 22 四形边 。 由“ 垂线段最短 ” 可知： 当正三角形AEF 的边 AE与 BC 垂直时， 边 AE 最短 故 AEF 的面积会随着AE 的变化而变化，且当AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最 小， 又 SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时 CEF 的面积就会最大 SCEF=S四边形AECFSAEF 22 1 4 32 32 333 2 。 CEF 的面积的最大值是3。 【考点】 菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判
17、定和性质，勾股定理，垂直线段的性 质。 7 【分析】 （1）先求证AB=AC，进而求证 ABC、 ACD 为等边三角形，得ACF =60 ，AC=AB，从而 求证 ABE ACF，即可求得BE=CF。 （2）由 ABE ACF 可得 SABE=SACF，故根据S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC 即可得四边形AECF 的面积是定值。当正三角形AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边AE 最短 AEF 的面 积会随着 AE 的变化而变化， 且当 AE 最短时，正三角形AEF 的面积会最小， 根据 SCEF=S四边形 AECF SAEF， 则 CEF 的面积就会最大
18、。 10、 如图，在AOB 中， AOB=90 ， OA=OB=6 ， C 为 OB 上一点，射线 CDOB 交 AB 于点 D， OC=2 点 P 从点 A 出发以每秒个单位长度的速度沿AB 方向运动，点Q 从点 C 出发以每秒2 个单位长度的速 度沿 CD 方向运动， P、Q 两点同时出发，当点P 到达到点B 时停止运动，点Q 也随之停止过点P 作 PEOA 于点 E，PFOB 于点 F，得到矩形PEOF以点 Q 为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ， 斜边 MN OB，且 MN=QC 设运动时间为t（单位：秒） （1）求 t=1 时 FC 的长度 （2）求 MN=PF 时 t 的值 （
19、3）当 QMN 和矩形 PEOF 有重叠部分时，求重叠（阴影）部分图形面积S 与 t 的函数关系式 （4）直接写出 QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t 的值 考点 ： 相似形综合题 分析： （1）根据等腰直角三角形，可得，OF=EP=t ，再将 t=1 代入求出FC 的长度； （2）根据 MN=PF ，可得关于t 的方程 6t=2t，解方程即可求解； （3）分三种情况：求出当1 t 2 时；当 2 t 时；当t 3 时；求出重叠（阴影）部分图形面 积 S 与 t 的函数关系式； （4）分 M 在 OE 上； N 在 PF上两种情况讨论求得 QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点 时 t 的值 解答： 解： （1）根据题意， AOB 、AEP 都是等腰直角三角形 ，OF=EP=t， 当 t=1 时， FC=1； （2） AP=t，AE=t ，PF=OE=6t MN=QC=2t 6t=2t 解得 t=2 故当 t=2 时， MN=PF； 8 （3）当 1 t 2 时， S=2t24t+2； 当 2t 时， S=t2+30t32； 当t 3 时， S=2t2+6t； （4）QMN 的边与矩形PEOF 的边有三个公共点时t=2 或 点评： 考查了相似形综合题，涉及的知识有等腰直角三角形的性质，图形的面积计算，函数思想，方程 思想，分类思想的运用，有一定的难度