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1、海淀区高三年级第二学期期末练习 数学（理） 2018.5 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。 （1）已知全集UZ，集合1,2A，1,2,3,4ABU， 那么() U C ABI= （） （A）（B）3xxZ（C）3, 4（D）1,2 （2）设 30.3 2 0.2 ,log 0.3,2abc，则（） （A）bca（B）cba（C）abc（D）bac （3）在极坐标系中， 过点 (2,) 6 且平行于极轴的直线的方程是 （） （A）cos3（B）cos3（C）sin1（D ） sin1 （4）已知命题p，q，那么“pq为真命题”是“pq为真命 题”的（） （A）充分不必要条件（B
2、）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条 件 （5）已知函数( )cos(2)f xx（为常数） 为奇函数， 那么cos （） （A） 2 2 （B）0（C ） 2 2 （D）1 （6）已知函数( )f x的部分图象如图所示. 向图中的矩形区域随 机投出100 粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数. 通过 10 次这样的试验， 算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33， 由此可估计 1 0 ( )df xx的值约为（） （A） 99 100 （B） 3 10 （C） 9 10 （D） 10 11 （7） 已知( )fx是定义域为R的偶函数，当 0x时， 31 ( )(1) e x f
3、 xx. 那么函数( )f x的极值点的个数是（） （A）5 （B）4 （C）3 （D ）2 （8）若空间中有(5)n n个点，满足任意四个点都不共面，且 任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样 的n值（） （A）不存在（B）有无数个（C）等于 5 （D）最大值 为 8 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。 （9）若等比数列 n a满足 26 64a a ，34 32a a ，则公比 q_； 222 12n aaa （10）如图，在ACB中，120ACB，3ACBC，点O在BC边 上，且圆O与AB相切于点D，BC与圆O相交于点E，C，则 EDB= ，BE = . （
4、11）右图表示的是求首项为41，公差为 2 的等差数列 n a前 n项和的最小值的程序框图. 处可填写 _；处可填 写 （12）若双曲线M上存在四个点,A B C D，使得四边形ABCD是 正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是 . （13）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂 色. 若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶 数 ，则不同的涂色方案种数是 .（用数字作答） （14）设关于, x y的不等式组 340, (1)(36)0 x yxy 表示的平面区域 为D，已知点(0,0),(1,0)OA ，点 M是D上的动点 . OA OMOM， 则的取值范围是 . 三、解答
5、题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算 步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13 分） 在ABC中，5c，2 6b， 3 6 cos 2 aA. （）求a的值； （）求证：2BA. （16）（本小题满分13 分） 某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况， 随机抽取男、女生各20 名进行测试，记录的数据如下： 已知该项目评分标准为： 注：满分 10 分，且得 9 分以上 ( 含 9 分)定为“优秀” （）求上述20 名女生得分 的中位数和众数； （）从上述20 名男生中，随机抽取2 名，求抽取的2 名男 生中优秀人数X的分布列； （）根据以上样本数据和你所学的统计知识
6、，试估计该年 级学生实心球项目的整体情况. （写出两个结论即可） （17）（本小题满分13 分） 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥PABCD中 ，/ABCD，ABAD， 22ABADAPCD，M是棱PB上一点 . （）若2BMMP，求证：/PD平面MAC； （）若平面PAB平面ABCD， 平面PAD平面ABCD， 求证：PA 平面ABCD； （）在（）的条件下，若二面角BACM的余弦值为 2 3 ， 求 PM PB 的值 . （18）（本小题满分14 分） 已知函数 2 1 ln ( ) x f x x . （）求函数( )f x的零点及单调区间； （）求证：曲线 ln x y x 存在斜率
7、为6 的切线，且切点的纵坐 标 0 1y. （19）（本小题满分13 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上的点到它的两个焦点的距离之 和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A， B分别是椭圆C的左、右顶点 . （）求圆O和椭圆C的方程； （） 已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点 （P，Q位于y轴 两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于 点M，N. 求证：MQN为定值 . （20）（本小题满分14 分） 对于数列 12 :, n A a aaL，经过变换:T交换A中某相邻两段的位置 （数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列()
8、T A. 例如，数列:A 1111 , iiipipip qip qn MN aa aaaaaaL 1444 42 444 4 3 1 444442 444443 （1p，1q） 经交换,M N两段位置，变换为数列( ) :T A 1111 , iipip qiipip qn NM aa aaaaaaL 1444442 4444431 444 4 2 444 4 3 . 设 0 A是有穷数列，令 1 ()(0,1,2,) kk AT AkL. （）如果数列 0 A为3,2,1，且 2 A为1,2,3. 写出数列 1 A；（写出 一个即可） （）如果数列 0 A为9,8,7,6,5,4,3,2,
9、1， 1 A为5,4,9,8,7,6,3,2,1， 2 A为 5,6,3,4,9,8,7,2,1， 5 A为1,2,3,4,5,6,7,8,9. 写出数列 34 ,AA；（写出一组 即可） （）如果数列 0 A为等差数列：2015,2014,1L， n A为等差数列： 1,2,2015L，求n的最小值 . 数学（理）答案及评分参考 2018.5 一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共 40 分） （1）C （2）D （3）D （4）A （5）B （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共 30 分。有两空的小 题，第一空2 分，第二空3 分） （ 9 ） 2 ，
10、41 3 n （ 10 ）30，1 （11）0a，2aa （ 12 ）(2,)（ 13 ） 14 （14） 10 (,1 10 三、解答题（共6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（）因为 3 6 cos 2 aA，所以 222 3 6 22 bca a bc . 因为5c，2 6b，所以 2 3404930aa. 解得：3a，或 49 3 a （舍） . 6 分 （ ） 由 （ ） 可 得 ： 26 cos3 3 3 6 A. 所 以 2 1 cos22cos1 3 AA. 因为3a，5c，2 6b，所以 222 1 cos 23 acb B ac . 所以 cos2cos
11、AB. 12 分 因为cba，所以(0,) 3 A. 因为(0,)B，所以 2BA. 13 分 （16）（共 13 分） 解：（） 20 名女生掷实心球得分如下： 5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9， 9，10，10 所以中位数为8，众数为 9 3 分 （）X的可能取值为0，1， 2 4 分 2 12 2 20 33 0 95 C P X C ； 11 128 2 20 48 1 95 C C P X C ； 2 8 2 20 14 2 95 C P X C ； 所以抽取的2 名男生中优秀人数X的分布列为： 10 分 （）略. 13 分 评分建议：从平均数、方差
12、、极差、中位数、众数等角度对 整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也 可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前 情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议. （17）（共 14 分） （）证明：连结BD交AC于点O，连结OM. 因为/ABCD，2ABCD， 所以2 BOAB DOCD . 因为2BMMP，所以 2 BM PM . 所以 BMBO PMDO . 所以/OMPD. 2 分 因为OM平面MAC，PD平面MAC， 所以/PD平面 MAC. 4 分 （）证明：因为平面PAD平面ABCD，ADAB，平面PAD 平面ABCDAD，AB平面ABCD， 所以AB平面PAD
13、. 6 分 因为PA平面PAD，所以ABPA. 同理可证：ADPA. 因为AD平面ABCD，AB平面ABCD，ADABA， 所以PA平面 ABCD. 9 分 （）解：分别以边,AD AB AP所在直线为, ,x y z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系. 由22ABADAPCD得(0,0,0)A，(0,2,0)B， (2,1,0)C，(2,0,0)D，(0,0,2)P，则(2,1,0)AC uuu r ，(0,2, 2)PB uu r . 由（）得：PA平面ABCD. 所以平面ABCD的一个法向量为 (0,0,1)n r . 10 分 设 PM PB (01)，即PMPB uuu ruu r
14、.所以 (0,2 ,22 )AMAPPB uuuruu u ruur . 设平面AMC的法向量为 ( , , )mx y z u r ，则 0, 0, m AC m AM u r uuu r u r uuu r即 20, 2(22 )0. xy yz 令1x，则22y，2z. 所以(1,22 , 2 )m u r . 因为 二面角BACM的余弦值为 2 3 ，所以 2 |2|2 3 9105 ， 解得 1 2 . 所以 PM PB 的值为 1 2 . 14 分 （18）（共 13 分） 解：（）令( )0f x，得ex. 故( )f x的零点为e. 2 223 1 ()(1ln) 2 2ln3
15、 ( ) () xxx x x fx xx （0x）. 3 分 令( )0fx，解得 3 2 ex. 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表： 所 以( )f x的 单 调 递 减 区 间 为 3 2 (0,e )， 单 调 递 增 区 间 为 3 2 (e ,). 6 分 （）令 ln ( ) x g x x .则 22 1 1 ln 1 ln ( )( ) xx x x g xf x xx . 7 分 因为 11 ( )44ln 2446 22 f，(e)0f，且由（）得， ( )f x在(0,e)内是减函数， 所以存在唯 一的 0 1 (,e) 2 x，使得 00 ()()
16、6gxf x. 当e,)x时，( )0f x. 所以曲线 ln x y x 存在以 00 (, ()xg x为切点，斜率为6 的切 线. 10 分 由 0 02 0 1ln ()6 x gx x 得： 2 00 ln16xx. 所以 2 00 00 000 ln161 ()6 xx g xx xxx . 因为 0 1 2 x, 所以 0 1 2 x ， 0 63x. 所以 00 ()1yg x. 13 分 （19）（共 14 分） 解 ： （ ） 依 题 意 得 222 24, , . a cb abc 解 得 ：2a， 2bc. 3 分 所 以 圆O的 方 程 为 22 2xy， 椭 圆C的
17、 方 程 为 22 1 42 xy . 5 分 （）如图所示，设 00 (,)P xy（ 0 0y）， 0 (,) Q Q xy，则 22 00 22 0 1, 42 2, Q xy xy 即 22 00 22 0 42, 2. Q xy xy 7 分 又由 0 0 :(2) 2 y APyx x 得 0 0 2 (0,) 2 y M x . 由 0 0 :(2) 2 y BPyx x 得 0 0 2 (0,) 2 y N x . 所以 000 0 00 2 (,)(,) 22 QQ yx y QMxyx xx uuu r , 000 0 00 2 (,)(,) 22 QQ yx y QNxy
18、x xx uuu r . 所以 2222 220000 0 22 00 (42) 20 42 Q x yyy QM QNxy xy uuu r uuu r . 所以QMQN，即 90MQN. 14 分 （20）（共 13 分） 解：（） 1: 2,1,3 A或 1:1,3, 2 A. 2 分 （） 3:5,6,7, 2,3, 4,9,8,1A； 4 分 4 :5,6,7,8,1, 2,3, 4,9A. 6 分 （）考虑数列 12 :, n A a aaL，满足 1ii aa的数对 1 , ii a a的个数， 我们称之为“顺序数”则等差数列 0A：2015,2004,1L的顺序数 为0，等差数
19、列 n A：1,2,2015L的顺序数为2014 首先，证明对于一个数列，经过变换T，数列的顺序数 至多增加 2实际上，考虑对数列, , , , ,p ab cd qLLLL，交换其 相邻两段,abL和,cdL的位置，变换为数列, , , , , ,p cd ab qLLLL. 显然至多有三个数对位置变化假设三个数对的元素都改 变顺序，使得相应的顺序数增加，即由 ,pa bc dq变为 ,pc da bq 分别将三个不等式相加得pbdacq与pbdacq， 矛盾 所以 经过变换T，数列的顺序数至多增加2 其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1设n的最 小值为x，则 2222014x，即 1
20、008x 10 分 最后，说明可以按下列步骤，使得数列 1008 A为1,2,2015L 对数列 0 :A2015,2014,1L， 第 1 次交换1,2,1007L和1008,1009位置上的两段， 得到数列 1A： 1008,1007,2015,2014,1010,1009,1006,1005,2,1LL； 第 2 次交换2,3,1008L和1009,1010位置上的两段， 得到数列 2 A： 1008,1009,1006,1007,2015,2014,1011,1010,1005,1004,2,1LL； 第 3 次交换3,4,1009L和1010,1011位置上的两段， 得到数列 3 A
21、： 1008,1009,1010,1005,1006,1007,2015,2014,1012,1011,1004,1003,2,1LL； L L，以此类推 第1007次交换1007,1008,2013L和2014,2015位置上的两段，得到 数列 1007 A： 1008,1009,2013,2014,1,2,1006,1007,2015LL； 最终再交换1,2,1007L和1008,1009,2014L位置上的两段，即得 1008 A：1,2,2015L 所以n的最小值为 1008. 13 分精品文档 强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有