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1、北京师范大学附属实验中学 20182018 学年度第一学期高三年级数学( 理) 期中试卷 第卷（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每 小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合|Mx xa，|20Nxx，若MN，则a的取值 范围为 A.0a B. 0a C.2a D. 2a 2下列函数中，在定义域内是减函数的是 A 1 ( )f x x B( )f xxC( )2 x f xD( )tanf xx 3. 已知点P是函数( )sin() 6 f xx的图像 C的一个对称中心， 若 点P到图像C的对称轴距离的最小值为 4 ，则)
2、(xf的最小正周 期是 试卷说明： 1、本试卷共三道大题，20 道小题，共10 页； 2、本次考试卷面分值150 分，考试时间为120 分钟； 3、试卷共两部分，第卷答案涂在机读卡上，第 卷答案全部写在答题纸上. 命题人：黎栋材审题人：李 桂春 A2B. C. 2 D. 4 4已知向量 1 (3,1),( 2,), 2 ab则下列向量可以与2ab垂直的是 A. ( 1,2)B. (2, 1)C. (4,2) D. ( 4,2) 5“1t”是“ 1 t t ”成立的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 6. 已知数列 n a的通项公式2 (313) n n
3、 an，则数列的前n项和 n S 的最小值是 A. 3 SB. 4 SC. 5 S D. 6 S 7. 数 列 n a中 ， 1 1 2 a， 1 1 1 n n n a a a （ 其 中 * nN） ， 则 使 得 123 72 n aaaa成立的n的最小值为 A. 236B. 238C. 240 D. 242 8已知集合 12 ,(2) n Aa aan=，令 ,1 Aij Tx xaaijn=+?， card() A T表示集合 A T中元素的个数 . 关于card() A T有下列四个命题 card() A T的最大值为 2 1 2 n；card() A T的最大值为 1 (1) 2
4、 n n-； card() A T的最小值为2n；card() A T的最小值为23n-. 其中，正确的是（） A. B. C. D. 第卷（非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. 在ABCD中，若tan2A= -，则cos()BC+= . 10 设 0.5 ae，log 2b，cos2c， 则, ,a b c从 大 到 小 的 顺 序 为 . 11已知函数( )2sinfxxx，则函数( )fx在(0,(0)f处的切线方程 为；在(0,)上的单调递增区间为 . 12. 若函数 (1)0 ( ) ()0 ax xx f x x axx 为奇函
5、数， 则a的值为，满足 (1)(2 )f tft的实数t的取值范围是 . 13如图，线段2AB， 点,A B分别在x轴和y轴 的非负半轴上运 动以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD， 1BC设O为 原点，则OC OD的取值范围是 _. 14. 对于函数( )yf x，若在其定义域内存在 0 x，使得 00 ()1x f x成 立，则称函数( )fx具有性质 P. （1）下列函数中具有性质P的有 . ( )222f xx( )sinf xx (0,2)x 1 ( )f xx x ，(0,)x( )ln(1)f xx （ 2）若函数( )lnf xax具有性质P，则实数a的取值范围 是 . 三
6、、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说 明，演算步骤或证明过程. 15. 设0c. 命题 :logcPyx 是减函数；命题 :120Qxxc 对任 意xR恒成立 . 若 或PQ为真，且PQ为假，试求c的取值范围 . 16. 如图，已知点 (10,0)A ，直线 (010)xtt 与函数 21x ye 的图象交 于点P，与 x轴交于点 H，记APH的面 积为 ( )f t . （I ）求函数 ( )f t 的解析式； （II ）求函数 ( )f t 的最大值 . 17在ABC中，已知 3 4 C， 21 cos2sin 2 BA （）求tanB； （）若2BC，求ABC的面积
7、 18. 已知函数( )ln(1)()f xxax aR. （）若1a，求证：当0x时，( )0f x； （）求函数( )f x的单调区间； （）求证：e n) 2 1 1 () 4 1 1)( 2 1 1(. 19. 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点0,0Fcc到直线 l: 20xy的距离为 3 2 2 . （）求抛物线C的方程 ; （）设点 00 ,P xy为直线l上一动点，过点P作抛物线C的 两条切线,PA PB, 其中,A B为切点，求直线AB的方程，并证明直 线AB过定点Q. （）过（）中的点Q的直线m交抛物线C于,A B两点，过 点,A B分别作抛物线C的切线 12 ,l l，求
8、12 ,l l交点M满足的轨迹方 程. 20. 已知数列 n a的首项 1,aa其中 * aN， * 1 * ,3 , 3 1 ,3 ,. n n n nn a al l a aal l N N 令 集合 * |, n Ax xanN. （）若 4 a是数列 n a中首次为1 的项，请写出所有这样数 列的前三项； （）求证：1,2,3A； （）当2014a时，求集合A中元素个数( )Card A的最大值 . 密 封 线 内 不 要 答 题 北京师范大学附属实验中学 20182018 学年度第一学期期中高三年级考试答 题纸 理科数学 一、选择题 请将选择题的答案填涂在机读卡上 二、填空题 9.
9、. 10 11 ； . 12. ； 13 14. ； . 三、解答题 15. （本题 13 分） 班 级 姓 名 学 号 - 16. （本题 13 分） 17. （本题 13 分） 18. （本题 14 分） 密 封 线 内 不 要 答 题 北京师范大学附属实验中学 20182018 学年度第一学期期中高三年级考试答 题纸 理科数学 19.（本题 14 分） 班 级 姓 名 学 号 - 20. （本题 13 分） 北京师范大学附属实验中学 20182018 学年度第一学期高三年级数学（理）期中试 卷 答案 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每 小题列出的四个选项中，
10、选出符合题目要求的一项. 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C A B B D 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. 5 5 10 abc 11 yx，(,) 3 12. 1，1t 13. 1,3 14 （1）， （2）0aae或 . 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说 明，演算步骤或证明过程. 15. P 真：0 1c Q真： 1 2 c 1 (0,1,) 2 c 16. 解： （I ）由已知 21 10, t AHt PHe 所以APH的面积为 21 1 ( )(10),010 2 t f tt et . （II ）解： 21
11、2121 11 ( )(10)2(192 ) 22 ttt fteteet 由 ( )0ft 得9.5t， 函数 ( )f t 与 ( )ft 在定义域上的情况下表： t(0,9.5) 9.5 (9.5,10) ( )ft + 0 ( )f t 极大 值 所以当9.5t时，函数 ( )f t 取得最大值 20 1 4 te. 17 （）解：由 3 4 C， 得 2 111 cos2sin ()1cos(2 ) 24222 BBB 所以 21 12sin1sin 21sincos 2 BBBB， 即 2 2sinsincosBBB 因为0 4 B，所以sin0B， 所以 1 tan 2 B （）
12、解：由0 4 B， 1 tan 2 B，得 5 sin 5 B， 2 5 cos 5 B. 所以 10 sinsin()sincoscossin 44410 ABBB. 由正弦定理得 sinsin ACBC BA ，所以22AC. 所以 ABC的面积 1 sin2 2 SAC BCC. 18. （）易证 （）当0a时，( )f x在( 1,)单调递增； 当0a时，( )f x在 1 ( 1, 1) a 单调递增，在 1 ( 1,) a 单调递 减 （）要证e n ) 2 1 1() 4 1 1)( 2 1 1 (，两边取以e为底的对数， 即 只需证明 1) 2 1 1ln() 4 1 1ln(
13、) 2 1 1ln( n 由（）可知，ln(1)(0)xx x，分别取 1 11 , 2 42 n x，得到 111111 ln(1), ln(1),ln(1) 224422 nn 将上述n个不等式相加，得 nn 2 1 4 1 2 1 ) 2 1 1ln() 4 1 1ln() 2 1 1ln( 1 2 1 1 n . 从而结论成立 . 19. （） 2 4xy （）直线 AB： 00 220x xyy定点(2,2)Q （）点M满足的轨迹方程：20xy 20. 解： （I ）27,9,3 ；8,9,3 ；6,2,3. （ II） 若 k a被3除 余1 ， 则 由 已 知 可 得 1 1 k
14、k aa, 23 1 2,(2) 3 kkkk aaaa； 若 k a被3除余2,则由已知可得 1 1 kk aa, 2 1 (1) 3 kk aa, 3 1 (1)1 3 kk aa； 若 ka被 3 除余 0，则由已知可得1 1 3 kk aa, 3 1 2 3 kk aa； 所以 3 1 2 3 kk aa， 所以 3 12 (2)(3) 33 kkkkk aaaaa 所以，对于数列 n a中的任意一项 k a， “若3 k a， 则 3kk aa”. 因为 * k aN，所以 31kkaa. 所以数列 n a中必存在某一项3 m a（否则会与上述结论矛 盾！ ） 若3 m a, 则 1
15、2 1,2 mm aa；若2 m a, 则 12 3,1 mm aa, 若1 m a, 则 12 2,3 mm aa, 由递推关系易得1,2,3A. （III）集合A中元素个数( )Card A的最大值为21. 由已知递推关系可推得数列 n a满足： 当1,2,3 m a时，总有 3nn aa成立，其中,1,2,nm mm. 下面考虑当 1 2014aa时，数列 n a中大于 3 的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为 nb，由（ I ）可得16b 或 9， 由（ II ）的证明过程可知数列 n b的项满足： 3nn bb，且当 n b是 3 的倍数时，若使 3nn bb最小，需使 21 1
16、2 nnn bbb， 所以，满足 3nnbb最小的数列nb中，34b或 7， 且33332kkbb， 所以 33(1) 13(1) kk bb， 所以数列 3 1 k b是首项为41或71的公 比为 3 的等比数列， 所 以 1 3 1(41)3 k k b或 1 3 1(71)3 k k b， 即 3 31 k k b或 3 231 k k b， 因为 67 320143，所以，当2014a时，k的最大值是6， 所以 118 ab，所以集合A重元素个数( )Card A的最大值为21. 精品文档强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有