2018年广东卷高考理科数学试题及答案精品.pdf

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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （广东卷） A 数学（理科） 本试卷共 4 页，21 题，满分 150 分。考试用时 120分钟。 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的 姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷 类型（ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”。 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答 案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案 不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡 各题目指定区域相应位置上；如需改动

2、， 先划掉原来的答案， 然后再 写上新的答案； 不准使用铅笔盒涂改液。 不按以上要求作答的答案无 效。 4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点， 再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。 考试结束后， 将试卷和答题卡一并交 回。 参考公式： 主体的体积公式V=Sh ，其中 S为柱体的底面积， h 为柱体 的高。 锥体的体积公式为，其中 S为锥体的底面积， h 为锥体的高。 一 、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设 i 为虚数单位，则复数 56i i = A

3、 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i 2 设集合 U=1,2,3,4,5,6， M=1,2,4 则 CuM= A .U B 1,3,5 C 3,5,6 D 2,4,6 3 若向量 BA=（2,3 ） ，CA=（4,7） ，则BC= A （-2,-4 ） B (3,4) C (6,10) D (-6,-10) 4. 下列函数中，在区间（ 0，+）上为增函数的是 A.y=ln （x+2） B.y=-1x C.y=（ 1 2 ） x D.y=x+ 1 x 5. 已知变量 x，y 满足约束条件 1 1 2 yx yx y ，则 z=3x+y 的最大值为 A.12 B.11 C.3

4、D.-1 6, 某几何体的三视图如图1 所示，它的体积为 A12 B.45 C.57 D.81 7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为 0 的概率是 A. 4 9 B. 1 3 C. 2 9 D. 1 9 8. 对任意两个非零的平面向量和，定义。若平面向量 a，b 满足|a| |b| 0，a 与 b 的夹角 4 ，且 ab 和 ba 都 在集合Z n 2 中，则ba= A 1 2 B.1 C. 3 2 D. 5 2 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。 （一）必做题（ 9-13 题） 9. 不等式|x+2|-|x|1 的解集

5、为 _。 10. 6 2 1 x x的展开式中 x3的系数为 _。 （用数字作答） 11. 已知递增的等差数列 an 满足 a1=1， 4 23 aa，则 an=_。 12. 曲线 y=x 3-x+3 在点（ 1，3）处的切线方程为 。 13. 执行如图 2 所示的程序框图，若输入n 的值为 8，则输出 s 的值 为。 （二）选做题（ 14-15 题，考生只能从中选做一题） 14， （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线 C1 和 C2的参数方程分别为)( 为参数t ty tx 和 )( sin2 cos2 为参数 y x ， 则曲线 C1与 C2的交点坐标为 _。 15.

6、（几何证明选讲选做题）如图3，圆 O的半径为 1，A、B、C是圆 周上的三点，满足 ABC=30 ，过点 A作圆 O的切线与 OC的延长线 交于点 P，则 PA=_ 。 三、解答题：本大题共6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤。 16. （本小题满分 12 分） 已知函数 ） 6 x 2cos（wxf （x）， （其中 0，xR）的最小正周期为 10。 （1）求的值； （2）设，）（，）（， 17 16 6 5 -5f 5 6 - 3 5 5af 2 0求 cos（） 的值。 17. （本小题满分 13 分） 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图

7、4 所示，其 中成绩分组区间是： 40,5050,6060,7070,8080,9090,100。 （1）求图中 x 的值； （2）从成绩不低于80 分的学生中随机选取2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上（含 90 分）的人数记为，求得数学期望。 18. （本小题满分 13 分） 如图 5 所示， 在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，PA 平面 ABCD ， 点 E 在线段 PC上，PC 平面 BDE 。 （1）证明：BD 平面 PAC ； （2）若 PA=1 ，AD=2 ，求二面角 B-PC-A的正切值； 19. （本小题满分 14 分） 设数列 an 的前 n 项和为

8、 Sn，满足1-22S 1n 1nn a，nN , 且 a 1，a2+5， a3成等差数列。 （1）求 a1的值； （2）求数列an 的通项公式。 （3）证明：对一切正整数n，有 2 31 . 11 21n aaa . 20. （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C1： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率 e= 2 3 ，且椭圆 C上的点到 Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆 C的方程； （2）在椭圆 C上，是否存在点 M （m,n）使得直线 l ：mx+ny=1与圆 O ： x 2+y2=1 相交于不同的两点 A、B，且 OAB的面积最大

9、？若存在，求 出点 M的坐标及相对应的 OAB 的面积；若不存在，请说明理由。 21. （本小题满分 14 分） 设 a1，集合BAD,06aa)x(13-2,0 2 xRxBxRxA （1）求集合 D（用区间表示） （2）求函数 axf6a)x(13-2x(x) 23 在 D内的极值点。 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 参考公式： 柱体的体积公式VSh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高 . 圆锥的体积公式 1 3 VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高 . 一、选择题 1. （复数）设i为虚数单位，则复数 56i i （） A.65iB.65iC.65

10、iD.65i 解析： D. 56i 65i i . 2. （集合）设集合1,2,3,4,5,6U，1,2,4M，则 U C M（） A.UB.1,3,5C.3,5,6D.2,4,6 解析： C.3,5,6 U C M. 3. （向量）若向量2,3BA，4,7CA，则BC（） A.2, 4B.2,4C.6,10D.6, 10 解析： A.2, 4BCBACA. 4. （函数）下列函数中，在区间0,上为增函数的是（） A.ln2yxB.1yxC. 1 2 x yD. 1 yx x 解析： A.ln2yx在2,上是增函数 . 5. 已知变量x、y满足约束条件 2 1 1 y xy xy ，则3zxy

11、的最大值为 （） A.12 B.11 C.3 D.1 解析： B.画出可行域，可知当代表直线过点A 时，取到最大值. 联立 2 1 y yx ，解得 3 2 x y ，所以 3zxy的最大值为 11. 6. （立体几何）某几何体的三视图如图1 所示， 它的体积为（） A.12B.45 C.57D.81 解析： C.该几何体下部分是半径为3，高为 5 的圆柱，体积为 2 3545V，上部分是半径为 3，高为 4 的圆锥，体积为 2 1 3412 3 V，所 以体积为57. 7. （概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为 0 的概率是（） A. 4 9 B. 1 3 C.

12、 2 9 D. 1 9 解析： D.两位数共有 90 个，其中个位数与十位数之和为奇数的 两位数有 45 个，个位数为 0 的有 5 个，所以概率为 51 459 . 8. 对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向 量a、b满足0ab，a与b的夹角0, 4 ，且ab和b a都在集合 2 n nZ中，则ab（） A. 1 2 B.1 C. 3 2 D. 5 2 解析： C. a a b ab b bb 1 cos 2 k ， b b a a 2 cos 2 k ，两式相乘，可 得 2 12 cos 4 k k . 因 为0, 4 ， 所 以 1 k、 2 k都 是 正 整 数 ， 于 是 2

13、12 1 cos1 24 kk ， 即 12 24k k， 所以 12 3kk. 而0ab， 所以 1 3k，21k， 于是 3 2 a b. 二、填空题 （一）必做题（ 913 题） 9. （不等式）不等式21xx的解集为 _. 解析： 1 , 2 .2xx的几何意义是x到2的距离与x到 0 的距 离的差，画出数轴，先找出临界“ 21xx的解为 1 2 x” ，然后可 得解集为 1 , 2 . 10.（二项式定理） 6 21 x x 的展开式中 3 x的系数为 _. （用 数字作答） 解析： 20. 6 21 x x 的展开式通项为 6 212 3 166 1 k k kkk k TCxC

14、x x ，令 1233k，解得3k，所以 6 21 x x 的展开式中 3 x的系数为 3 6 20C. 11. （数列）已知递增的等差数列 n a满足 1 1a， 2 32 4aa，则 n a_. 解析：21n.设公差为d（0d） ，则有 2 1214dd，解得2d， 所以21 n an. 12.曲 线 3 3yxx在点1,3处的切线方程为 _. 解析：210xy. 2 1 |3 112 x y，所以切线方程为321yx， 即210xy. 13. （算法）执行如图2 所示的程序框图， 若输入n的值为 8，则输出s的值为 _. 解析：8. 第一次循环， 1 122 1 s，4i， 2k；第二次

15、循环， 1 244 2 s，6i，3k； 第三次循环， 1 468 3 s，8i，4k. 此时退 出循环，输出s的值为 8. （二）选做题（ 1415 题） 14.（坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C和 2 C 的参数方程分别为 xt yt （t为参数）和 2cos 2sin x y （为参数） ，则曲 线 1 C与 2 C的交点坐标为 _. 解析：1,1. 法 1：曲线 1 C的普通方程是 2 yx（0y） ，曲线 2 C的 普通方程是 22 2xy，联立解得 1 1 x y ，所以交点坐标为1,1. 法2 ： 联 立 2cos 2sin t t ， 可 得 2 2c

16、os2sin， 即 2 2cos2cos20， 解得 2 cos 2 或cos2（舍去） ， 所以 1 1 t t ，交点坐标为1,1. 15.（几何证明选讲） 如图 3，圆O的半径为 1，A、 B、C是圆周上的三点，满足30ABC，过点A作圆O 的切线与OC的延长线交于点P，则PA_. 解析：3. 连接OA，则60AOC，90OAP，因为1OA，所以 3PA. 三、解答题 16. （三角函数）（本小题满分 12 分） 已知函数2cos 6 fxx（其中0 xR）的最小正周期为10. （）求的值； （）设、0, 2 ， 56 5 35 f， 516 5 617 f，求cos 的值. 解析： （

17、） 2 10T，所以 1 5 . （） 5156 52cos52cos2sin 353625 f，所 以 3 sin 5 . 51516 52cos52cos 656617 f，所以 8 cos 17 . 因为、0, 2 ，所以 2 4 cos1sin 5 ， 2 15 sin1cos 17 ，所以 4831513 coscoscossinsin 51751785 . 17. （概率统计）（本小题满分 13 分） 某班 50 位学生期中考试数学成绩 的频率分布直方图如图4 所示， 其中成 绩分组区间是：40,50、50,60、60,70、 70,80、80,90、90,100. （）求图中x的

18、值； （）从成绩不低于 80 分的学生中随机选取2 人，该 2 人中成绩 在 90 分以上（含 90 分）的人数记为，求的数学期望 . 解析： （）由 0.00630.010.054101x，解得0.018x. （）分数在80,90、90,100的人数分别是500.018 109人、 500.006 103人. 所以的取值为 0、1、2. 02 39 2 12 366 0 6611 C C P C ， 11 39 2 12 279 1 6622 C C P C ， 20 39 2 12 31 2 6622 C C P C ，所以的数学期望是 691111 012 112222222 E. 18

19、. （立体几何）（本小题满分 13 分） 如图 5 所示，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC 上，PC平面BDE. （）证明：BD平面PAC； （）若1PA，2AD，求二面角BPCA的正切值 . 解析： （）因为PC平面BDE，BD平面BDE，所以PCBD. 又 因为PA平面ABCD，BD平面ABCD， 所以PABD. 而PCPAP，PC 平面PAC，PA平面PAC，所以BD平面PAC. （）由 （）可知BD平面PAC， 而AC平面PAC， 所以BDAC， 而ABCD为矩形，所以ABCD为正方形，于是 2ABAD. 法 1： 以A点为原点，AB、AD、

20、AP为x轴、 y轴、z轴，建立空间直角坐标系ABDP. 则 0,0,1P、2,2,0C、2,0,0B、0,2,0D，于是 0,2,0BC，2,0,1PB. 设平面 PBC的一个法向量为 1 n, ,x y z，则 0 0 BC PB 1 1 n n ，从而 20 20 y xz ，令1x，得1,0,2 1 n. 而平面PAC的一个法 向量为 2 n2,2,0BD. 所以二面角BPCA的余 弦值为 210 cos, 10522 12 12 12 = nn nn nn ，于是二 面角BPCA的正切值为 3. 法 2： 设AC与BD交于点O， 连接OE.因为PC 平面BDE，OE平面BDE，BE平面

21、BDE，所以PCOE，PCBE， 于是OEB就是二面角BPCA的平面角 . 又因为BD平面PAC，OE 平面PAC，所以OEB是直角三角形 . 由OECPAC可得 OEPA OCPC ，而 2ABAD，所以2 2AC，2OC，而1PA，所以3PC，于是 12 2 33 PA OEOC PC ，而2OB，于是二面角BPCA的正切值为 3 OB OE . 19. 设数列 n a的前n项和为 n S，满足 1 1 221 n nn Sa，n * N，且 1 a、 2 5a、 3 a成等差数列 . （）求 1 a的值； （）求数列 n a的通项公式； （）证明：对一切正整数n，有 12 1113 2

22、n aaa . 解析： （）由 12 123 213 23 27 25 aa aaa aaa ，解得 1 1a. （）由 1 1 221 n nn Sa可得 1 221 n nn Sa（2n） ，两式相减，可 得 1 22 n nnn aaa，即 1 32 n nn aa， 即 1 1 232 nn nn aa，所以数列 2 n n a（2n） 是一个以 2 4a为首项， 3 为公比的等比数列 . 由 12 23aa 可得， 2 5a，所以 2 293 nn n a，即32 nn n a（2n） ，当1n时， 1 1a， 也满足该式子，所以数列 n a的通项公式是32 nn n a. （）因为

23、 111 332 32 22 nnnnn ，所以 1 323 nnn ，所以 1 11 3 n n a ， 于是 1 12 1 1 111113133 11 1 33232 1 3 n n n n aaa . 点 评 ： 上 述 证 法 实 质 上 是 证 明 了 一 个 加 强 命 题 12 11131 1 23 n n aaa ，该加强命题的思考过程如下. 考虑构造一个公比为q的等比数列 n b，其前n项和为 1 1 1 n n bq T q ， 希望能得到 1 12 1 1113 12 n n bq aaaq ，考虑到 1 1 1 11 n bq b qq ，所以令 1 3 12 b q

24、 即可. 由 n a的通项公式的形式可大胆尝试令 1 3 q，则 1 1b，于 是 1 1 3 n n b，此时只需证明 1 11 3 n n n b a 就可以了 . 当然，q的选取并不唯一，也可令 1 2 q，此时 1 3 4 b， 1 3 2 n n b，与 选取 1 3 q不同的地方在于，当1n时， 1 n n b a ，当2n时， 1 n n b a ，所 以此时我们不能从第一项就开始放缩，应该保留前几项， 之后的再放 缩，下面给出其证法 . 当1n时 ， 1 13 1 2a ； 当2n时 ， 12 1113 1 52aa ； 当3n时 ， 123 111113 1 5192aaa

25、. 当4n时， 1 n n b a ，所以 3 12 31 1 322 111111133 11 1 519519162 1 2 n n aaa . 综上所述，命题获证 . 下面再给出 12 1113 2 n aaa 的两个证法 . 法 1： （数学归纳法） 当1n时，左边 1 1 1 a ，右边 3 2 ，命题成立 . 假设当nk（2k，kN）时成立，即 1 13 322 k ii i 成立. 为了证 明当1nk时命题也成立，我们首先证明不等式： 11 111 323 32 iiii （1i，iN）. 要 证 11 111 323 32 iiii ， 只 需 证 111 11 3233 2

26、iiii ， 只 需 证 111 3233 2 iiii ， 只需证 1 23 2 ii ， 只需证23， 该式子明显成立， 所以 11 111 323 32 iiii . 于是当1nk时， 11 121 11111133 11 323232332322 kkk iiiiii iii ， 所以命题在1nk时也成立 . 综 合 ， 由 数 学 归 纳 法 可 得 ， 对 一 切 正 整 数n， 有 12 1113 2 n aaa . 备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归 纳法的，其实这是一个错误的认识. 法 2： （裂项相消法）（南海中学钱耀周提供） 当1n时， 1 13 1

27、 2a 显然成立 . 当2n时， 12 1113 1 52aa 显然成立 . 当3n时，32122 n nnn n a 12211 122222 nnnn nnn CCC 1221122 1222221 nn nnnn CCCCn n，又因为 2 52221a， 所以21 n an n（2n） ，所以 11111 2121 n an nnn （2n） ，所以 123 1111111111113 1111 2234122 n aaaannn . 综上所述，命题获证 . 20. （解析几何）（本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）的离

28、 心率 2 3 e且椭圆C上的点到点0,2Q的距离的最大值为3. （）求椭圆C的方程； （）在椭圆C上，是否存在点,M m n，使得直线l：1mxny与 圆O： 22 1xy相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存 在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由. 解析： （）因为 2 3 e，所以 2 2 2 3 c a ，于是 22 3ab. 设椭圆C上任一 点,P x y，则 2 222 2222 2 2122443 y PQxyayyyb b （byb）. 当01b时， 2 PQ在yb时取到最大值，且最大值为 2 44bb， 由 2 449bb解得1b，与假设01

29、b不符合，舍去 . 当1b时， 2 PQ在1y时取到最大值，且最大值为 2 36b，由 2 369b解得 2 1b. 于是 2 3a，椭圆C的方程是 2 2 1 3 x y. （）圆心到直线l的距离为 22 1 d mn ，弦长 2 2 1ABd，所以 OAB的面积为 2 1 1 2 SAB ddd，于是 2 222211 1 24 Sddd. 而 ,Mm n是 椭 圆 上 的 点 ， 所 以 2 2 1 3 m n， 即 22 33mn， 于 是 2 222 11 32 d mnn ， 而11n， 所以 2 01n， 2 1323n， 所以 2 1 1 3 d， 于是当 2 1 2 d时，

30、2 S取到最大值 1 4 ，此时S取到最大值 1 2 ，此时 2 1 2 n， 2 3 2 m. 综上所述，椭圆上存在四个点 62 , 22 、 62 , 22 、 62 , 22 、 62 , 22 ，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且OAB的面积 最大，且最大值为 1 2 . 点评： 此题与 2018年南海区高三 8月摸底考试的试题相似度极高. （2018 年南海区高三8 月摸底考试）已知椭圆C的两焦点为 1 1,0F、 2 1,0F，并且经过点 3 1, 2 M. （）求椭圆C的方程； （）已知圆O： 22 1xy，直线l：1mxny，证明：当点,P m n 在椭圆C上运动时，直线l

31、与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的 弦长的取值范围 . 21. （不等式、导数）（本小题满分 14 分） 设1a，集合0AxR x， 2 23 160BxRxa xa，DAB. （）求集合D（用区间表示）； （）求函数 32 23 16fxxa xax在D内的极值点 . 解析： （）考虑不等式 2 23 160xa xa的解 . 因为 2 3 14263331aaaa，且1a，所以可分以下三 种情况： 当 1 1 3 a时，0，此时BR，0,DA. 当 1 3 a时，0，此时1Bx x，0,11,D. 当 1 3 a时，0，此时 2 23 160xa xa有两根，设为 1 x、 2 x，

32、且 12 xx，则 1 3 13331 4 aaa x， 2 3 13331 4 aaa x，于 是 12Bx xxxx或. 当 1 0 3 a时， 12 3 10 2 xxa， 12 30x xa，所以 21 0xx，此时 12 0,Dxx；当0a时， 12 30x xa，所以 1 0x， 2 0x，此时 2, Dx. 综上所述， 当 1 1 3 a时，0,DA；当 1 3 a时，0,11,D； 当 1 0 3 a时 ， 12 0,Dxx； 当0a时 ， 2, Dx. 其 中 1 3 13331 4 aaa x， 2 3 13331 4 aaa x. （） 2 66 16fxxa xa，令0

33、fx可得10xax. 因为 1a，所以0fx有两根 1 ma和 2 1m，且 12 mm. 当 1 1 3 a时，0,DA，此时0fx在D内有两根 1 ma和 2 1m，列表可得 x 0,a a ,1a 1 1, fx + 0 - 0 + fx 递增极小值递减极大值递增 所以fx在D内有极大值点 1，极小值点a. 当 1 3 a时，0,11,D， 此时0fx在D内只有一根 1 1 3 ma， 列表可得 x 1 0, 3 1 3 1 ,1 3 1, fx + 0 - + fx 递增极小值递减递增 所以fx在D内只有极小值点a，没有极大值点 . 当 1 0 3 a时， 12 0,Dxx，此时 12

34、 01axx（可用分析法 证明） ，于是0fx在D内只有一根 1 ma，列表可得 x 0,a a 1 ,a x 2, x fx + 0 - + fx 递增极小值递减递增 所以fx在D内只有极小值点a，没有极大值点 . 当0a时， 2, Dx， 此时 2 1x， 于是fx在D内恒大于 0，fx 在D内没有极值点 . 综上所述，当 1 1 3 a时，fx在D内有极大值点 1，极小值点a； 当 1 0 3 a时，fx在D内只有极小值点a，没有极大值点 . 当0a时， fx在D内没有极值点 . 精品文档强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有