2018年长春市四模文科数学试卷及答案精品.pdf

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1、2018年长春市高中毕业生第四次调研测试 数学(文科) 本试卷分第卷 ( 选择题) 和第卷 ( 非选择题 ) 两部分， 满分 150 分. 考试时间为 120 分钟，其中第卷22 题24 题为选考题，其 它题为必考题 . 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1答题前，考生必须将自己的姓名、 准考证号码填写清楚， 将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米 黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄

2、破、不准使用涂改液、 刮纸刀 . 第卷（选择题，共60 分） 一、选择题（本大题包括12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题 给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的， 请将正确选 项填涂在答题卡上） . 1. 计算 i i 1 1 等于 A. iB. iC. 1 D. 1 2. 集合 1 2 0,log3, 3,1,2A，集合|2 , x By yxA，则AB A. 1 B. 1,2 C. 3,1,2D. 3,0,1 3. 下列函数既是奇函数，又是增函数的是 A. 2 logyxB. 3 yxxC. 3 x yD. 1 yx 4. 等差数列 n a的公差为3，若 842 ,aa

3、a成 等比数列，则 4 a= A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输 开始 0k 0S 100S 2 k SS 1kk 输出 结束 k 是 否 出的k的值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知锐角的终边上一点)50cos,50sin1(P，则锐角= A. 80B. 70 C. 20D. 10 7. 函数( )sin()(0,) 2 f xAxxR的部分图像如图，则 A. ( )4sin() 84 fxx B. ( )4sin() 84 fxx C. ( )4sin() 84 f xx D. ( )4sin() 84 f xx 8.

4、 甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两边的概率为 A. 12 1 B. 1 6 C. 1 24 D. 1 4 9. 若椭圆 22 1 3 xy m 与直线 220xy 有两个不同的交点，则 m的 取值范围是 A. 1 (,3) 4 B. (3,) C. 1 (,3) 2 D. 1 (,3)(3,) 4 10.已知函数( )f x是定义在 R上的最小正周期为3 的奇函数，当 3 (,0) 2 x时， 2 ( )log (1)f xx，则 (2011)(2012)(2013)(2014)ffff A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 11.在ABC中，120BAC，2AB，1AC，点P

5、满足 BPBC(01)，则BCAPBP 2 的取值范围是 A. 1 ,3 4 B. 1 ,5 2 C. 15 2, 4 D. 13 ,5 4 12.某几何体的三视图如图所示， 这个几何体的内切球的体积为 A. 3 4 B. )32(4 C. 27 34 D. 9 8 第卷（非选择题，共90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第22 题24 题为选考题，考生根据要 求作答 . 二、填空题 (本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答 案填在答题卡中的横线上 ). 13.若实数yx,满足不等式组2 0 yx xy y ， 则

6、目标函数yxz3的最大值为 . 14.为检查国家全民健 身运动的落实情况，在某社区成年居民中随机 抽取 200 名，统计其平均每天参加体育活动时间（h） ，画出右 边频率分布直方图， 已知该社区共有成年居民1500人，根据上 述信息估计平均每天参加体育活动时间在)5.1 ,5 .0内的人数约 为_. 15.如图，测量河对岸的塔高AB 时， 可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测 点C与D，测得15BCD， 30BDC，30CD 米，并在C测得塔顶A的仰角为60，则塔的高 度AB_米. 16.已知函数( )lgf xx和( )10 x g x的图像与圆 22 20xy在第一象限内的部分相交于 1

7、1 (,)M x y 和 22 (,)N xy两个点，则 22 12 yy_. 三、解答题（本大题包括6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤） . 17.（本小题满分 12 分） 等 差 数 列 n a的 各 项 均 为 正 数 ， 其 前n项 和 为 n S， 满 足 222 2(1)Saa，且 1 1a. 求数列 n a的通项公式； 设 n S b n n 132 ， 求数列 n b的最小值项 . 18.（本小题满分 12 分） 已知直三棱柱 111 CBAABC中，CBAC，D 为AB中点，3 1 ACAA，1CB. 求证： 1 BC平面CDA1； 求三棱锥DC

8、AC 11的体积. 19.（本小题满分 12 分） 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班 50 人进行 问卷调查后得到了如下的列联表 喜 爱 打 篮 球 不 喜 爱 打 篮球 合计 男生5 女生10 合计50 已知在全部 50 人中随机抽取1 人抽到喜爱篮球的学生的概 率为 0.6. 请将上面的列联表补充完整； 能否在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为喜爱打篮球 与性别有关系； 已知喜爱打篮球的10 位女生中， 54321 ,AAAAA还喜欢打羽毛 球， 321 ,BBB还喜欢打乒乓球， 21,C C还喜欢踢足球。现从喜 欢打羽毛球、喜欢乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1 名

9、 进行其它方面的调查，求 1 B和 1 C不全被选中的概率 . (下面的临界值表和公式可供参考： P(K 2 k) 0.15 0.10 0.05 0.02 5 0.01 0 0.00 5 0.001 k 2.07 2 2.70 6 3.84 1 5.02 4 6.63 5 7.87 9 10.82 8 2 2() ()()()() n adbc K ab cdacbd ，其中nabcd) 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆:C 22 22 1 xy ab (0)ab经过点(0,1)，离心率为 3 2 e. 求椭圆C的方程； 设直线 :1lxmy与椭圆C交于,A B两点，点A关于x轴的对称

10、 点为A（A不与B重合） ，则直线A B是否恒过一定点？如果 是，求出这个定点的坐标；如果不是，请说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知 2 (1)(1) ( )2ln ax f xx x . 当1a时，求( )f x在点(1, (1)f处的切线方程； 若x1 时，( )f x0 恒成立，求a的取值范围 . 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所 做的第一题记分 . 22.（本小题满分10 分）选修 4-1：几何证明选 讲 如图，在 ABC中，内角C为钝角，点 ,E H分别是边 AB上的点，点 ,K M分别 是边,AC BC上的点，且AHAC， EBBC，

11、AEAK，BHBM. 求证：,E H M K四点共圆； 若KEEH，3CE，求线段KM的长. 23.（本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参 数方程选讲 已知曲线C的极坐标方程为 2 sin cos4 ，直线l的参数方程为 sin1 cos ty tx (t为参数， 0). 化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程； 若直线 l经过点 (1,0) ，求直线l被曲线C截得的线段AB的 长. 24.（本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数( )2f xxaa. 若不等式 ( )6f x的解集为| 23xx，求实数a的值； 在的条件下，若存在实数n使 ( )()f nmfn成立，

12、 求实数m 的取值范围 2018 年长春市高中毕业生第四次调研测试 数学( 文科)参考答案及评分细则 一、选择题 ( 本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A B B C D C A B D C D C 简答与提示： C AB M K EH 1. A 2 1(1)2 . 1(1)(1)2 iii i iii 故选 A. 2. B 2 1 0,log, 3,1,2 3 A， 1 1 1, ,2,4 3 8 B，1,2AB. 故选 B. 3. B 四个函数中只有函数 3 yxx既是奇函数又是增函数. 故选 B.

13、 4. C 令 首 项 为a， 根 据 条 件 有 2 (9)(3) (21)3aaaa， 4 33 312a. 故选 C. 5. D 012345 22222263100， 0123456 22222226364127100. 当 151kk 时 ， 63100S ； 当 161kk 时 ， 127100S. 即该程序输出的 7k. 故选 D. 6. C 2 cos50sin 402sin 20 cos20 tantan20 . 1sin501cos402cos 20 又是锐角，所以 20. 故选 C. 7. A 通过观察图像可知函数图像过 ( 2,0) 和(2, 4)两个固定点，由 ( 2

14、,0) 可 知 ： 84 xx ； 由 (2,4) 可 知 ， 4A . 从 而 ( )4sin() 84 fxx. 故选 A. 8. B 甲、乙、丙、丁四人站成一排有如下24 种情形： 甲乙丙丁、甲乙丁丙、甲丙乙丁、甲丙丁乙、甲丁乙丙、甲丁 丙乙、 乙甲丙丁、乙甲丁丙、乙丙甲丁、乙丁甲丙、乙丁丙甲、乙丙 丁甲、 丙甲乙丁、丙甲丁乙、丙乙甲丁、丙乙丁甲、丙乙丁甲、丙丁 乙甲、 丁甲乙丙、丁甲丙乙、丁乙甲丙、丁乙丙甲、丁丙甲乙、丁丙 乙甲. 其中甲、乙都不在两边有如下4 种情形： 丙甲乙丁、丙乙甲丁、丁甲乙丙、丁乙甲丙. 因此所求概率为 41 246 p. 故选 B. 9. D 由 22 1 3

15、 220 xy m xy 消去 x并整理得 2 (34 )80m ymym. 根据条件得 2 3 0 644(43)0 m m mmm ，解得 1 3 4 m或3m. 故选 D. 10.C 由于22 ( 1)log (1 ( 1)log 21f，(0)0f，(1)1f，所以 (2011)(2012)(2013)(2014)ffff (1)( 1)(0)(1)1 1011ffff. 故选 C. 11.D 在 ABC中，根据余弦定理得 22 22 2cos 212 2 1 cos1207. BCABACAB ACBAC 根据正弦定理得 1735 sincos. sinsinsinsin1202 7

16、2 7 ACBC BB BAB 从而有 2 22 2 5 ()()727()7 2 7 113 7(). 24 BPAP BCBCABBCBC 又0 1，所以 2 BPAP BC 的取值范围是 13 ,5 4 . 故选 D. 12.C 此几何体是底面边长为2，高为3的正四棱锥， 可算出其体 积为 4 3 3 ，表面积为 12. 令内切球的半径为 r ，则 14 33 12 333 rr，从而内切球的体积为 3434 3 (). 3327 V故选 C. 二、填空题 (本大题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 4 14. 960 15. 15 6 16. 20 简答与提示： 1

17、3. 不等式组 2 0 yx xy y 围成一个三角形区域，三顶点的坐标分别为： (1 ,1),(0,0),(2,0) ，所以当直线 yxz3 过点(1,1)时，z取得最大 值 4. 14. 1500(0.820.46)0.5960( 人). 15. 在 BCD中，根据正弦定理得， 30 sinsin3015 2. sinsin(1801530 ) CD BCCDB CBD 在Rt ABC中，tan15 2tan6015 6ABBCACB为所求 . 16. 由于函数 ( )lgf xx和函数( )10 x g x互为反函数，其图像关于直 线 yx 对称，这样它们的图像与圆 22 20xy在第一

18、象限内 的交点M和N也关于直线 yx 对称，这两个点的坐标满足 12 xy， 21 xy，从而 2222 1222 20yyxy. 三、解答题 (本大题必做题 5 小题，三选一选1 小题，共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数 列求和公式以及函数单调性等有关知识的应用. 【试题解析】解：由 2 222 2Saa，可得 2 1111 2()()()aadadad. 又1 1a ， 可得 1d. 数列na是首项为 1， 公差为 1 的等差数列， n an. (4 分) 根据得 (1) 2 n n n S ， 213(1)1313 1

19、 n n Sn n bn nnn . 由于函数 13 ( )(0)f xxx x 在(0, 13上单调递减，在 13,)上单 调递增， 而3134，且 132288 (3)3 3312 f， 132987 (4)4 4412 f， 所以当 4n时， n b 取得最小值，且最小值为 2933 1 44 . 即数列n b 的最小值项是 4 33 4 b . (12 分) 18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及 到线面的平行关系、几何体的体积的求法等知识. 【试题解析】证明：连结 1 AC交 1 AC于O点，连结DO，则O和 D分别为 1 AC和AB

20、的中点，所以DO 1 BC，而 1 DOA DC平面， 11 BCA DC平面，所以 1 BC平面 1 ADC. (6 分) 因为 1 BC平面 1 ADC，所以点 1 C和B到平面 1 ADC的距离相 等，从而有 111 11 111 332 BDCRt ABCCA DCABDC VVSAASAA 三棱锥三棱锥 1 11111 3 13 62624 AC BC AA. (12 分) 19.( 本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉 及到统计案例中独立性检验以及概率的求法等内容. 【试题解析】解：因为喜爱篮球的学生数为500.630，所以 补充完整的列联

21、表如下： 喜 爱 打 篮 球 不 喜 爱 打 篮球 合计 男生20 5 25 女生10 15 25 合计30 20 50 (3 分) 由可知 2 250 (2015105) 8.3337.879 (2010) (515) (205) (1015) K. 又 2 (7.879)0.005p K ，因此可以断定在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关系. (7 分) 从喜欢打羽毛球、喜欢乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出 1 名可以出现下面30 种情形： 111 ABC， 121 AB C， 131 AB C， 112 AB C， 122 AB C， 132 AB C， 2

22、11 A BC， 221 A B C， 231 A B C， 212 A BC， 222 A B C， 232 A B C， 311 A BC， 321 A B C， 331 A B C， 312 A BC， 322 A B C， 332 A B C， 411 A BC， 421 A B C， 431 A B C， 412 A BC， 422 A B C， 432 A B C， 511 A BC， 521 A B C， 531 A B C， 512 A B C， 522 A B C， 532 A B C. 其中 1 B和 1 C全被选中的仅有5 种情形： 111 A BC， 211 A BC，

23、 311 A BC， 411 A BC， 511 A BC. 那么 1 B和 1 C不全被选中的情形有25 种， 因此所求的 1 B和 1 C不全 被选中的概率为 255 306 p. (12分) 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力， 具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及 直线过定点的判定与圆锥曲线的综合知识. 【试题解析】解：依题意可得 222 1 3 2 b c a abc ，解得2a. 所以椭圆C的方程是 2 2 1 4 x y. (4 分) 由 2 2 1 4 1 x y xmy 消去x得 22 (1)44myy，

24、即 22 (4)230mymy. 设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy， 则 11 (,)A xy且 12 2 2 4 m yy m ， 12 2 3 4 y y m ， 经过点 1122 (,),(,)A xyB xy的直线方程为 11 2121 yyxx yyxx . 令0y，则 212111122112 11 211212 ()() + xxxxyxyyx yx y xyx yyyyyy . 又 1122 1,1xmyxmy，所以当0y时， 22 21121212 1212 2 62 (1)(1)2() 44 4. 2 4 mm myymyymy yyy mm x m yy

25、yy m 这说明直线A B与x轴交于定点(4,0). (12 分) 21.( 本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具 体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容. 【试题解析】 解：当 1a时， 2 ( )fx x ，(1)2f，又(1)0f， 所求 切线 方程 为 2(1)yx， 即220xy. (4 分) 2 21 ( )(1)(1)fxa xx ， 当a1 时，又x1，( )f x0，不合题意； 当a0 时， 2 22 211 ( )(1)(1)(1) a fxaa xxxx 0， ( )f x在1,)上是减函数，( )f x(1)0f，符合题意；

26、 当01a时， 2 22 21(1)2(1) ( )(1)(1) axxa fxa xxx . 设 2 ( )(1)2(1)h xaxxa，令( )0h x得 2 11(1) 1 a x a . 可验证得： 22 11(1)11 (1) 1 11 aa aa . 当 2 11 (1) (1,) 1 a x a 时，( )0h x，即( )0fx，( )f x在此区间上是单增函数，恒有 ( )f x(1)0f，不合题意 . 综上实数a的取值范围是(,0. (12 分) 22.( 本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体 涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个

27、三角形全等的判断 和应用等有关知识内容. 【试题解析】解：连结CH，则因为ACAH，AKAE，所 以四边形CHEK为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补， 故C， H，E，K四点共圆，同理C，E，H，M四点也共圆，从而四 点E，H，M，K在由三点C，E，H所确定的圆上，因此这四 点共圆； (5 分) 连结 EM，则由得E，H，M，C，K五点共圆，因为四边 形CEHM为等腰梯形，EM HC， 所以MKECEH. 由KEEH可 得 KMEECH，所以三角形MKE和三角形CEH全等，所以 3KMEC为所求. (10分) 23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关

28、知识， 具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲 线的位置关系以及有关距离等知识内容. 【 试 题 解 析 】 解 ： 对 于 曲 线 C： 2 sin cos4 ， 可 化 为 4cos sin sin . 把互化公式 cos ,sinxy代入，得 4x y y ， 即 2 4yx为所求 . (可验证原点(0,0)也在曲线上) (5 分) 根 据条 件 直线l经 过 两定 点(1,0)和(0,1)， 所以 其 方程 为 1xy. 由 2 4 1 yx xy ，消去x并整理得 2 440yy. 令 11 (,)A x y， 22 (,)B xy则 1212 4,4yyy y. 所

29、以 22 121222 11 1()41( 4)4( 4)8 ( 1) AByyy y k . (10 分) 24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到 绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容. 【试题解析】解：由条件知 ( 2)2( 2)6 (3)2 36 23 2 faa faa a ， 解得1a. (5 分) 由得( )211f xx，所以( )()f nmfn 等价于 ( )()21121121212mf nfnnnnn. 若 存 在 实 数n使( )()f nmfn成 立 ， 当 且 仅 当 ( 21212)minmnn. 而2121(21)(21)2nnnn，当 11 22 n 时取等号 . 因此实数m的取值范围是4,). (10 分) 精品文档强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有