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1、三角形三边关系定理在初中数学中的应用 三角形是最简单的多边形，是研究和学习几何的基础，而三角形三边关系定理是研究三 角形的基础， 可见三角形三边关系定理的重要之处，笔者针对三角形三边关系定理在初中数 学中的应用做一一的总结，希望能够给学习这个定理的人有一定的帮助。 一、定理及其推论 定理： 三角形任意 两边之和大于第三边； 推论：三角形任意 两边之差小于第三边。 定理 分析：无论是定理还是推论都有“任意”二字，所以定理和推论都包含三项内容，用a，b， c表 示 三 角 形 的 三 边 ， 则 定 理 可 以 表 示 为 ： a+bc,a+cb,b+ca;推 论 则 表 示 为 ： a-bb）
2、，应用时只需抓住两条边来验证第三边即可。具体的应用参考下 面的例题。 三：定理的应用 1、 判断三条线段是否可以构成三角形 例题 1 下列几组线段中，不能构成三角形的是：（） A.3，4，5 B.2，4，6 C.5，6，8 D.7,10,15 解法分析：下面我们以A选项为列来详细说明定理的使用，首先我们任意的取出两条线段， 不妨我们取3 和 4. 然后根据定理我们做出4-3b）或 c=a+b 时， a,b,c三条线段共线。 例题 3 已知 A ，B，C三点，且AB=3 ，BC 4，AC 7. 判断这三点是否在一条直线上？ 解法分析：根据题意显然有3+4=7，所以这三点共线。需要说明的是a-b=
3、c 和 c=a+b 本 质上是一样的，因为3 47 可以表示为374 . 3、 与三角形周长相关，尤其是等腰三角形周长。 例题 4 等腰三角形 ABC两边的长分别是7 和 4，求三角形的周长为（） A.15 B. 25 C.11 D.15或 25 解法分析： 因为是等腰三角形，所以首先要判断7 和 4 哪个是腰？哪个是底，因此要进行分 类讨论，把所以的可能都列举出来：7、7、4 和 7、4、4，然后根据三角形的三边关系定理 来验证，结果两种情况都符合，故答案为D。 例题 5 等腰 ABC两边的长分别是一元二次方程x 2-6x+8=0 的两根， 则这个等腰三角形的 周长是：（） A. 8 B.
4、10 C.8或 10 D. 6 解法分析：解法同例题4，不同的是两种组合分别为4、4、2 和 4、2、2，符合条件的只有 4、4、2，故答案为B。需要说明的是因为关于周长的问题不仅仅限于等腰三角形，但由于 等腰三角形具有典型性，因此在这里举例说明。 4、 证明线段的不等关系 例题 6 如图 1，在 ABC中， D是 BC边上的任意一点，求证：AB+BC+AC2AD。 图1 B A C D 图2 D B A C E 证明： 在 ABD和 ACD中， AB+BDAD,AC+CDAD， AB+BC+AC2AD. 变式 ：如图 1，在 ABC中， D是 BC边上的中点，求证： AB +AC2AD 。
5、证明：延长AD到 E点，使得AD AE ，连结 BE和 CE ，如图 2，因为 AD和 BC互相平分，所 以四边形ABCD 是平行四边形，因此AC=BE 。 在 ABE中， AB+BEAE ，又 BE=AC ，AE=2AD ， AB+AC2AD。 例题 7 如图，已知A、B两个村在河的同侧，要在河边建一个水站向两个村供水，为了使水 站到两村距离之和最小，问水站应该建在哪里？ 水站 A B C D 解法分析：做A点关于直线的对称点C，连结 AB与直线的交点即为水站的位置。如果水站 建在 D处，因为AD=CD,CD+BDBC，所以 ADBDBC 。 5、判断两个圆的位置关系（创新应用） 上述的几种
6、情况是在初中数学中常见的三角形三边关系定理的应用，在笔者的教学过程 中，发现如果使用这个定理来判定两圆的位置关系十分的简洁和实用，在这里与大家一起分 享，希望对大家能有所启发。我们都知道两圆的位置关系有6 种，主要是根据两圆半径r1， r2和圆心距d 三者之间的关系，如何把它们和三角形的三边关系联系起来呢？我是这样做 得，如图 3，以两圆相交为例。当两圆相交时，这三条线段刚好构成一个三角，显然满足三 角形三边关系定理，即 r2-r1r1). 而当两圆相切时，恰好对应等号成立时， 如图 2 所示。为了使应用的更加方便，我们可以用数轴来表示两圆的位置关系，如图4。 d 图 3 r2 r1 图 4
7、r1+r2=d r2-r1=d d圆心距 外切内切 相交 外离 内含 C A B 在判断两圆的位置关系时，只需抓住数轴上的两点即可，然后看圆心距在数轴上位置就可以 一目了然的判断出两圆的位置关系。具体的使用参照下面例题。 例题 8 已知两圆的半径分别为3 和 4，圆心距取下列何值时两圆相交（） A 5 B 6 C 7 D 8 解析：套用三角形三边关系定理，有43 d4+3, 可知圆心距在17 之间的时候为相交， 所以答案为B。 例题 9 已知两圆相切，其中一个圆的半径为5，圆心距为8，求另外一个圆的半径（） A 3 B 7 C 13 D 3或 13 解析：两圆相切对应的恰好是三点共线的情况，即等号成立的时候，所以答案为D。 参考文献： 1 张克 . 三角形三边关系定理及推论的应用. 数学教学通讯2018 年 1 月上半 月 第 266 期 2 彭现省 . 三角形三边关系定理的应用. 数学大世界,2018.(3) 3 李婵娟 . 三角形三边关系定理应用聚焦. 试题研究：教学论坛2018 年 第 6期 精 品推荐强力推荐值得拥有