二次函数中动点问题——平行四边形(练习).pdf

《二次函数中动点问题——平行四边形(练习).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数中动点问题——平行四边形(练习).pdf（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、. . 2018 年 04 月 28 日 187*6232的初中数学组卷 一解答题（共5 小题） 1如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c经过点 A（1，0） ，点 B（3，0）和点 C（0， 3） （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点 C是否在以 BE为直径的圆上？请说明理由； （3）点 Q 是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、 R，使以 Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明理由 2如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（3，0） ，B（2，3） ，C（0，3） ，其 顶点为 D （1）求抛

2、物线的解析式； （2）设点 M（1，m） ，当 MB+MD 的值最小时，求 m 的值； （3）若 P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求 APC的面积的最大值； （4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点 N，E为直线 AC上任意一点， 过点 E 作 EF ND交抛物线于点 F，以 N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？ 若能，求点 E的坐标；若不能，请说明理由 . . 3如图，抛物线y=x 22x3 与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B的左侧） ，直 线 l 与抛物线交于 A，C两点，其中点 C的横坐标为 2 （1）求 A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线

3、段 AC上的一个动点（ P与 A，C不重合） ，过 P点作 y 轴的平行线交 抛物线于点 E，求 ACE面积的最大值； （3）若直线 PE为抛物线的对称轴，抛物线与y 轴交于点 D，直线 AC与 y 轴交 于点 Q， 点 M 为直线 PE上一动点，则在 x 轴上是否存在一点N， 使四边形 DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N 的坐标；若不存在，请说明理 由 （4）点 H 是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使 A、C、F、H四个点为 顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标； 如果不存在，请说明理由 4如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3

4、与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 点 C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x轴交于另一点 B （点 B在点 A 右 侧） . . （1）求抛物线的解析式及点B坐标； （2）若点 M 是线段 BC上一动点，过点 M 的直线 EF平行 y轴交 x 轴于点 F，交 抛物线于点 E求 ME 长的最大值； （3）试探究当 ME 取最大值时， 在 x 轴下方抛物线上是否存在点P，使以 M，F， B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在， 试说明理由 5如图，矩形 OABC在平面直角坐标系中，点A 在 x 轴正半轴，点 C在 y 轴正 半轴， OA=4，

5、OC=3 ，抛物线经过 O，A 两点且顶点在 BC边上，与直线 AC交于 点 D （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，点N 在 x 轴上，是否存在以A，D，M，N 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由 . . 2018 年 04 月 28 日 187*6232的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共5 小题） 1如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点 A（1，0） ，点 B（3，0）和点 C（0， 3） （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点 C是否在以 BE为直径的圆上？请说明理由； （

6、3）点 Q 是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、 R，使以 Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将 A （1，0） 、B （3，0） 、C （0，3）三点坐标代入抛物线y=ax 2+bx+c 中，列方程组求 a、b、c 的值即可； （2）根据勾股定理的逆定理可得：BCE=90 ，可得结论； （3）分两种情况： 以 BC为边时， 如图 1，R在对称轴的右侧时， BC RQ ，四边形 CQRB 是平行四边形，根据平移 规律先得 R的横坐标为 4， 代入抛物线的解析式可得R（4，5） ，由平移规律可

7、得Q（1，2） ； 如图 2，R在对称轴的左侧， RC BQ，四边形 CRQB 是平行四边形，同理可得点 Q、R的坐标 以 BC为对角线时，如图3，同理根据平移规律可得结论 . . 【解答】 解： （1）由题意，得：， 解得：， 故这个抛物线的解析式为y=x2+2x+3， y=x 2+2x+3=（x1）2+4， 顶点 E（1，4） ； （2）点 C在以 BE为直径的圆上，理由是： C （0，3） ，B（3，0） ，E （1，4） ， BC 2=32+32=18，CE2=12+12=2，BE2=（31）2+42=20， BC 2+CE2=BE2， BCE=90 ， 点 C在以 BE为直径的圆上；

8、 （3）存在，分两种情况： 以 BC为边时， 如图 1，R在对称轴的右侧时， BC RQ ，四边形 CQRB 是平行四边形， 由 C到 B的平移规律可知： Q 的横坐标为 1，则 R的横坐标为 4， 当 x=4时，y=x2+2x+3=42+24+3=16+8+3=5， R （4，5） ， Q（1，2） ； 如图 2，R在对称轴的左侧， RC BQ，四边形 CRQB 是平行四边形， 由 C到 B的平移规律可知： Q 的横坐标为 1，则 R的横坐标为 2， 当 x=2 时，y=x 2+2x+3=4+2（ 2）+3=5， R （2，5） ， Q（1，8） ； 以 BC为对角线时，如图3， 由 C和

9、Q的平移规律可得： R的横坐标为 2， 当 x=2时，y=4+4+3=3， R （2，3） ， . . 根据 R到 B的平移规律可得： Q（1，0） ； 综上所述， R（4，5） ，Q（1，2）或 R（2，5） ，Q（1，8）或 R（2， 3） ，Q（1，0） . . 【点评】 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，圆周角定理， 勾股定理的应用，平行四边形的判定等，分类讨论的思想是（3）的关键 2如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（3，0） ，B（2，3） ，C（0，3） ，其 顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）设点 M（1，m） ，当 MB+MD 的值最小

10、时，求 m 的值； （3）若 P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求 APC的面积的最大值； （4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点 N，E为直线 AC上任意一点， 过点 E 作 EF ND交抛物线于点 F，以 N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？ 若能，求点 E的坐标；若不能，请说明理由 【分析】 （1）根据待定系数法，可得答案； . . （2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线 x=1的对称点 B ，连接 BD，BD 与直线 x=1的交点即是点 M 的位置，继而求出m 的值 （3） 根据平行于 y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减去较小的纵坐标， 可得 PE

11、的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得 答案； （4）设出点 E的，分情况讨论，当点E在线段 AC上时，点 F在点 E上方， 当点 E在线段 AC （或 CA ）延长线上时，点F在点 E下方，根据平行四边形的性 质，可得关于 x 的方程，继而求出点E的坐标 【解答】 解： （1）将 A，B，C点的坐标代入解析式，得 ， 解得， 抛物线的解析式为y=x22x+3 （2）配方，得 y=（x+1）2+4，顶点 D 的坐标为（ 1，4） 作 B点关于直线 x=1的对称点 B ，如图 1， 则 B （4，3） ，由（1）得 D（1，4） ， 可求出直线 DB 的函数关系式为 y=

12、x+， 当 M（1，m）在直线 DB 上时， MN+MD 的值最小， 则 m=1+= . . （3）作 PE x 轴交 AC于 E点，如图 2， AC的解析式为 y=x+3，设 P（m，m22m+3） ，E（m，m+3） ， PE= m22m+3（m+3）=m23m SAPC=PE? | xA| =（m23m）3=（m+） 2+ ， 当 m=时， APC的面积的最大值是； （4）由（ 1） 、 （2）得 D（1，4） ，N（1，2） 点 E在直线 AC上，设 E（x，x+3） ， 当点 E在线段 AC上时，点 F在点 E上方，则 F（x，x22x+3） ， EF=DN x 22x+3（x+3）

13、=42=2， 解得， x=2 或 x=1（舍去） ， 则点 E的坐标为：（2，1） 当点 E在线段 AC （或 CA） 延长线上时，点 F在点 E下方，则 F （x， x22x+3） ， EF=DN ， （x+3）（ x22x+3）=2， 解得 x=或 x=， 即点 E的坐标为：（，）或（，） 综上可得满足条件的点E为 E（2，1）或： （，）或（， ） 【点评】 本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2） 利用轴对称求最短路径；解（3）的关键是利用三角形的面积得出二次函数；解 . . （4）的关键是平行四边形的性质得出关于x 的方程，要分类讨论，以防遗漏 3如图，抛物线

14、y=x 22x3 与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B的左侧） ，直 线 l 与抛物线交于 A，C两点，其中点 C的横坐标为 2 （1）求 A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段 AC上的一个动点（ P与 A，C不重合） ，过 P点作 y 轴的平行线交 抛物线于点 E，求 ACE面积的最大值； （3）若直线 PE为抛物线的对称轴，抛物线与y 轴交于点 D，直线 AC与 y 轴交 于点 Q， 点 M 为直线 PE上一动点，则在 x 轴上是否存在一点N， 使四边形 DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N 的坐标；若不存在，请说明理 由 （4）点 H 是抛物

15、线上的动点，在x轴上是否存在点F，使 A、C、F、H四个点为 顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标； 如果不存在，请说明理由 【分析】 （1）令抛物线 y=x22x3=0，求出 x 的值，即可求 A，B两点的坐标， 根据两点式求出直线AC的函数表达式； （2）设 P点的横坐标为 x（1x2） ，求出 P、E的坐标，用 x表示出线段 PE 的长，求出 PE的最大值，进而求出 ACE的面积最大值； （3）根据 D 点关于 PE的对称点为点 C（2，3） ，点 Q（0，1）点关于 x 轴 的对称点为 M（0，1） ，则四边形 DMNQ 的周长最小，求出直线CM 的解析

16、式为 y=2x+1，进而求出最小值和点M，N 的坐标； . . （4）结合图形，分两类进行讨论，CF平行 x 轴，如图 1，此时可以求出 F 点 两个坐标； CF不平行 x 轴，如题中的图 2，此时可以求出F点的两个坐标 【解答】 解： （1）令 y=0，解得 x1=1 或 x2=3， A（1，0） ，B（3，0） ； 将 C点的横坐标 x=2代入 y=x 22x3 得 y=3， C （2，3） ， 直线 AC的函数解析式是y=x1， （2）设 P点的横坐标为 x（1x2） ， 则 P、E的坐标分别为： P（x，x1） ，E（x，x22x3） ， P点在 E点的上方， PE= （x1）（ x2

17、2x3）=x2+x+2， 当 x= 时，PE的最大值 =， ACE的面积最大值 =PE 2（ 1） = PE=， （3）D点关于 PE的对称点为点 C （2，3） ，点 Q（0，1）点关于 x 轴的对称 点为 K（0，1） ， 连接 CK交直线 PE于 M 点，交 x 轴于 N 点，可求直线 CK的解析式为 y=2x+1， 此时四边形 DMNQ 的周长最小， 最小值 =| CM|+ QD=2+2， 求得 M（1，1） ，N（，0） （4）存在如图 1，若 AF CH，此时的 D和 H 点重合， CD=2 ，则 AF=2， . . 于是可得 F1（1，0） ，F2（3，0） ， 如图 2，根据点

18、 A 和 F的坐标中点和点 C和点 H 的坐标中点相同， 再根据 | HA| =| CF | ， 求出 F4（4，0） ，F3 综上所述，满足条件的F 点坐标为 F1（1，0） ，F2（3，0） ，F3，F4 （4，0） 【点评】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握 对称的知识和分类讨论解决问题的思路，此题难度较大 4如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于 点 C抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x轴交于另一点 B （点 B在点 A 右 侧） （1）求抛物线的解析式及点B坐标； . . （2）若点 M 是线段

19、BC上一动点，过点 M 的直线 EF平行 y轴交 x 轴于点 F，交 抛物线于点 E求 ME 长的最大值； （3）试探究当 ME 取最大值时， 在 x 轴下方抛物线上是否存在点P，使以 M，F， B，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在， 试说明理由 【分析】 （1）先根据直线的解析式求出A、C 两点的坐标，然后将A、C的坐标 代入抛物线中即可求出二次函数的解析式进而可根据抛物线的解析式求出B 点的坐标 （2）ME 的长实际是直线 BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个 关于 ME 的长和 F点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出ME 的最大 值

20、 （3）根据（ 2）的结果可确定出F，M 的坐标，要使以 M，F，B，P为顶点的四 边形是平行四边形，必须满足的条件是MP=BF ，那么只需将 M 点的坐标向左 或向右平移 BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P 点坐标代入抛物 线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点 【解答】 解： （1）当 y=0 时， 3x3=0，x=1 A（1，0） 当 x=0时，y=3， C （0，3） ， ， 抛物线的解析式是： y=x 22x3 当 y=0时，x22x3=0， 解得： x1=1，x2=3 . . B（3，0） （2）由（ 1）知 B（3，0） ，C（0，3）直线 BC的解析式是：

21、y=x3， 设 M（x，x3） （0x3） ，则 E（x，x22x3） ME=（x3）（ x22x3）=x 2+3x=（x ）2+； 当 x= 时，ME 的最大值为 （3）答：不存在 由（2）知 ME 取最大值时 ME=，E（，） ，M（，） MF= ，BF=OB OF= 设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形， 则 BP MF，BF PM P1（0，）或 P2（3，） 当 P1（0，）时，由（ 1）知 y=x22x3=3 P1不在抛物线上 当 P2（3，）时，由（ 1）知 y=x22x3=0 P2不在抛物线上 综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点

22、P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形 是平行四边形 【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性 质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法（2）中 弄清线段 ME 长度的函数意义是解题的关键 5如图，矩形 OABC在平面直角坐标系中，点A 在 x 轴正半轴，点 C在 y 轴正 半轴， OA=4，OC=3 ，抛物线经过 O，A 两点且顶点在 BC边上，与直线 AC交于 点 D （1）求抛物线的解析式； . . （2）求点 D 的坐标； （3）若点 M 在抛物线上，点N 在 x 轴上，是否存在以A，D，M，N 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在

23、，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设抛物线顶点为E ，根据题意 E （2，3） ，设抛物线解析式为y=a（x 2） 2+3，将 A（4，0）坐标代入 q 求出 a 即可解决问题； （2）求出直线 AC的解析式，利用方程组确定交点坐标即可； （3）分两种情况考虑：当点M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示；当点 M 在 x 轴下方时，如答图2 所示；分别利用待定系数法即可解决问题； 【解答】 解： （1）设抛物线顶点为 E，根据题意 OA=4，OC=3 ，得： E（2，3） ， 设抛物线解析式为y=a（x2）2+3， 将 A（4，0）坐标代入得： 0=4a+3，即 a=，

24、 则抛物线解析式为y=（x2）2+3=x2+3x； （2）设直线 AC解析式为 y=kx+b（k0） ， 将 A（4，0）与 C（0，3）代入得： ， 解得：， 故直线 AC解析式为 y=x+3， 与抛物线解析式联立得：， . . 解得：或， 则点 D 坐标为（ 1，） ； （3）存在，分两种情况考虑： 当点 M 在 x 轴上方时，如答图 1 所示： 四边形 ADMN为平行四边形， DMAN，DM=AN， 由对称性得到 M（3，） ，即 DM=2，故 AN=2， N1（2，0） ，N2（6，0） ； 当点 M 在 x 轴下方时，如答图 2 所示： 过点 D 作 DQx 轴于点 Q，过点 M 作 MPx轴于点 P，可得 ADQNMP， MP=DQ= ，NP=AQ=3 ， 将 yM=代入抛物线解析式得：=x2+3x， 解得： xM=2或 xM=2+， xN=xM3=1 或1， . . N3（1，0） ，N4（1，0） 综上所述，满足条件的点N 有四个：N1（2，0） ，N2（6，0） ，N3（1，0） ， N4（1，0） 【点评】此题考查了二次函数综合题、待定系数法确定抛物线解析式，一次函数 与二次函数的交点， 平行四边形的性质等知识， 解题的关键是熟练掌握待定系数 法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题