初中数学翻折问题.pdf

《初中数学翻折问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学翻折问题.pdf（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、矩形构造法之翻折问题 万伟华，南昌市第二十八中学教师，著有个人作品点线式秒杀中考数学压轴题 翻折问题 作为几何知识的重要组成部分，翻折问题历来是全国中考命题的热点，可以预见， 此类 问题仍会在2018 年的考试中大量呈现。但绝大多数学生对此类问题毫无头绪，丢分情况十 分严重， 为此笔者进行了一些有益的尝试，试图为学生打开破解之道。限于篇幅， 本文仅探 究直角三角形的翻折问题。 首先，我们必须引进一个非常重要的数学工具“纵横比” 所谓“纵横比”就是指依附直线上任意两点，构建直角三角形，使得横直角边平行x 轴，纵 直角边平行y 轴。 “纵直角边”与“横直角边”的长度之比。 如图：已知A(x1, y

2、1)，B(x2, y2)在直线 AB 上， 则直线 AB 的“纵横比”为： AC BC 12 12 yy xx 在此基础上，我们继续探究，不难得出一个精彩的结论： 1212 12 ( ,) , , ACxBDx OAOB A lll l ACOD ll OCBD C D ACOD ACOODB OC COC BDOD BD 若不为坐标轴 则两直线的纵横比互为倒数。 如图：已知，求证： 轴轴 垂足分别为证明：作 易证： “ 矩形构造法 ” 之对称： 一般在涉及某点关于直线对称点求解的问题，可通过构建某点关于直 线的“纵横比” ，得到横平竖直的直角三角形后进行翻折对称，再构造翻折后直角三角形的 外

3、接矩形，得到相似，从而求解。其解题的核心思想是“斜转直”。(将原题中倾斜的直角 边之比，通过构造直角三角形的外接矩形，得到相似，从而转化成横平竖直的直角边之比, 又称为“纵横比”)此处所列举的例题希望大家认真领会，并通过这些例题得出解决对称点 问题的一般通法。 以下，我们一起来领略“纵横比”的神奇！ 例题 1：平面直角坐标系中，直线y3x3，与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B，点 O 关于 直线 y 3x3 对称点为O ，求 O坐标 . 解题思路剖析： 粗看此题，似乎感觉无从下手。倘若我们换个思路，引进纵横比的解题 思想呢？OB、OA、AB 可以看成一个天然的纵横比三角形，我们将 AOB

4、沿 AB 进行翻折， 得到 RTAOB，接下来，我们应该如何处理“倾斜”的两条直角边OA，OB 呢？根据此 前的结论， 若不为坐标轴的两直线垂直，则其纵横比互为倒数。由此，我们容易联想构造O A， OB 的纵横比，构造RTAO B 的外接矩形 .以下我们看看具体的解题过程. 解：将 AOB 沿 AB 翻折，得 AOB， 构造 AO B 的外接矩形OBCD. 易证： ADO OCB， 设 ADa，ODb， O C3a，BC3b a13b b3a3 a4 5，b 3 5； O（ 9 5， 3 5） 解题反思： 我们在处理一点关于倾斜的直线对称问题过程中，可通过翻折的手段，再根据纵 横比思想， 构造

5、其外接矩形加以处理。那么， 此方法是不是解决此类问题的基本通法呢？我 们不妨再看下一个问题 例题 2：平面直角坐标系中，直线y1 2x2，点 A（4,1） ，点 A 关于直线 y 1 2x2 对称点为 A，求 A 坐标 ，并求出点A 到 BC 的距离 . 解题思路剖析： 有了前面一题作为引导，我们很自然想到构造以点A 为直角点的纵横比 BAC，而后将BAC沿 BC 进行翻折，得到RT BA C，接下来，构造BA C的外接矩 形，从而求解. 2 1 2, 2 . .(4 1)36. ,2 ,2 26 129 , 3255 188 29 2,4( ,) 555 8 (4) 5 ACAB ACxAB

6、yyxC B BACBCBA CBA CACDE A DCBEAAABAC A Ea EBbCDa A Db ab ab ba xxbyyA AA 解：作 轴， 轴, 分别交直线于 将沿翻折，得，构造的外接矩形 易证：， 设 2 22 2912 516 5 (1) 5525 1 2, 2 (4 1)36.23618 2186 5 (42)(41)3 5 53 5 ABC ABC dAA ACxAByyxC B AABACSABAC S BCd BC 方法二：作 轴， 轴, 分别交直线于 ， ， 由此我们得到一点关于倾斜的直线对称问题的基本通法： 其基本解题步骤：第一步，构造已知点的“纵横比”，

7、即依附这点构造横平竖直的直角 三角形；第二步， 将该直角三角形进行翻折，并构造出翻折直角三角形的外接矩形；第三步， 利用一线三直角， 得出相似，并根据相似比由小到大巧设各条边，列出二元一次方程组求解。 初中阶段，处理点到直线距离的求解方法主要有两种： 第一，通过构造该点的纵横比，得出这个直角三角形的面积，再求出斜边，从而求解。 第二，通过构造该点的纵横比，而后将该三角形进行翻折，再进行矩形构造法，得出其对 称点坐标，最后根据两点间距离公式求解。 通过以上探究， 我们不难发现， 求解任意一点关于直线对称点问题，可通过矩形构造法，同 时可以得出一个“副产品”，即点到直线距离，当然用矩形构造法求解点

8、到直线距离稍显麻 烦；如果题目仅需要求出点到直线距离，可通过面积方法求解. 接下来， 我们一起探究圆切点的求解问题，众所周知， 经过圆外一点，可以作该圆的两条切 线，两切点关于圆心与该点的连线对称，因此求解圆的切点问题与翻折问题实质等同。 例 1：如图，点C（0，2）点 M（4，0） ，以点 M 为圆心， 2 为半径的圆与x 轴交于点A、 B.CE 是 M 的切线，点E 为切点，求E 点坐标 . 解题思路剖析：顺次连接C、E、M，得到 RTCEM，构造 RTCEM 的外接矩形，利用相 似求解 , 90 4,2 2 2,2 (, ),(4,0),(0,2) 2 22(4) 126126 ,(,)

9、 5555 ME MCCEMCGHF ECEM CGEMHE CECFEM EGCGCE MHEHEM EGMH CGEH E m n MC mn nm mnE M 解：连接作的“外接矩形 ” 为 易证： 设 的切点 例 2：如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2 的圆与 y 轴交于点 A， P（ 4， 2）是 O 外一点，连接AP，直线 PB 与 O 相切于点B，交 x 轴于点 C求 B 点坐标 解题思路剖析：与上题相同，我们只要构造RT OPB 的外接矩形，问题将迎刃而解。 , 90 4,2 2 2,2 (, ),(0,0),(4,2) 22 42 8686 ,(,) 5555

10、 OP OBOBPADEP BOBP EBPBOD PAPBOB PEBEPB BDODOB PEBD BEOD B m n OP nm m O n mnB 解：连接作的“外接矩形 ” 为 易证： 的 设 切点 解题反思： 这两道题都是求解圆切点问题，我们仅需要构造倾斜直角三角形的外接矩形，问 题很快解决，可见这两个问题实质等同。 例 3：如图，在平面直角坐标系中，D（4，1） ，C（2，2） ，以 C 为圆心，半径为1 作圆， 过点 D 作 C 的两条切线，切点分别为A，B求切点的坐标 解题思路剖析： 粗看此题， 感觉难以思考，我们参考前面两道例题的解答，不难发现它们之 间的内在联系，仅需构

11、造RTCBD 的外接矩形，问题将迎刃而解。 , , 1(41)(2 2)(2 1) 2 ( , ),(2,2),(4,1) 28 41 2 2322 141314 13 ,(,) 5555 (2 1) CA CB CDCBDADEF DA DBCADA rCACBDCA BDBEED CFBBED BCFCBF B a bCD ab ab abb C C a abB A 解：连接作的“外接矩形 ” 为切线 ， 易证： 设 ， 综上 的 所述：，切点， 的 14 13 ,(,) 55 B 解题反思： 以上三道题目都是求解圆切点问题，圆的位置各不相同，神奇的是， 我们居然可 以采用同样一种方法处理

12、这些问题，可见利用纵横比思想，利用矩形构造法的确是解决此类 问题的通法。最后我们来领略一下2016 年天津市中考数学压轴题，共同感受矩形构造法的 神奇魅力。 （2016? 天津）已知 ,抛物线 C： y x22x1 的顶点为P， 与 y 轴的交点为Q， 点 F （1， 1 2 ） .(I) 求点 P，Q 的坐标；（II ）将抛物线C 向上平移得抛物线C ，点 Q 平移后的对应点为Q ， 且 FQ OQ 。求抛物线C 的解析式；若点P 关于直线Q F 的对称点为K，射线 FK 与抛物线C相交于点A，求 A 点坐标 . 解题思路剖析：第一问及第二问的第1 小问都相对简单，我们探讨最后一问，点P 关

13、于直 线 Q F 的对称点为K，看到这里你是不是感觉非常熟悉呢，我们只需将RTFPG 沿 FG 进 行翻折，得到RTFKG，再构造RTFKG 的外接矩形，从而求解。 2 222 2 )21(1,0),(0,1) 1 ()(0,1),(1, ),(0,0) 2 11 1(1)(1) 24 5 2 4 5 ,(1,0)(0,) 4 3552 :(0) ( ( 4433 Q F ICyxxPQ IImQm FO FQOQmmm Cyxx Q FxGPQ lyxGPGF 抛物线：抛物线顶点 设抛物线向上平移个单位 抛物线的解析式 : 设直线与 轴交于点由知：， ， 2 22 1 11 1,) 22 ,

14、 3 ,34 ,4 2147 34;34, 3225150 37 161755 (,),(1, ):2 25 25224244 5755 22455250 42424 FK FP FPGQ FFKG FKGGMNPGMKKNF NKa NFbMGa MKb abbaab KFlyxCyxx xxxxxx 将沿直线翻折得， 构造的外接矩形易证： 设 2 2 5 , 38 1 55 25 (,) 83 36 x FKA xA 为射线点横坐标大于 不合题意，故舍去 由此可见， 矩形构造法作为一种威力强大的通法，在众多压轴题中可以大显身手，其解题核 心思想就是“改斜归正”。将倾斜的直角边转化为横平竖直

15、的纵横比，利用两直线垂直，纵 横比互为倒数的基本结论，可以快速解决此类问题。 我们已经领略到矩形构造法的巨大威力，不仅非常实用，而且大大简化了思考过程. 作 为一种强悍的通法，倘若我们不去深究其内涵，必将带来巨大的遗憾，接下来， 我们继续探 讨矩形构造法的其他应用. 首先我们必须熟练掌握矩形构造法的基本图形. RTABC 沿 AC 翻折，得到倾斜的RTAB C， 构造其外接矩形ABEF . 仔细观察这个图形， 由两个全等的直角三角形，另外两个三角形 存在相似的关系，因此在处理边长问题当中 非常方便 . 以下，我们再通过一些案例深度阐 述矩形构造法的应用. 例题 1：如图，把矩形纸片OABC 放

16、入平面直角 坐标系中，使 OA、OC分别落在x轴、y轴上， 连接 OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落 在点 A 的位置，若OB5，tanBOC 1 2， 则点 A 的坐标为 _ 解题思路剖析：这是一个典型的直角翻折问题 我们的思路很自然的想到构造其外接矩形处理 RT 1 5 tan, 2 1 2, ,2 ,2 12 343 4 ,(,) 22555 5 OA BABEF OBBOC BCOAOA OCABA BEF OFAA EB OFa A FbA Ea BEb ab abA ab 构造的外接矩形 ， 易求： 易证： 设 （2016 福州）如图，矩形ABCD 中， AB4，AD 3，M

17、 是边 CD 上一点，将 ADM 沿 直线 AM 对折，得到ANM （1）当 AN 平分 MAB 时，求 DM 的长； （2）连接 BN ，当 DM 1 时，求 ABN 的面积； 这是 2016 年福州市中考压轴题的倒数第二题，为突 出矩形构造法的通法解答，笔者进行了适度的删减 解题思路剖析：第一问求DM 的长，我们仅需抓住 已知的核心信息AN 平分 MAB，再根据翻折前后的 边角不变量，可得到DAM MAN NAB 30 问题很快解决第二问，又是一个典型的翻折问题， 此时你很自然联想到到构造ANM 的外接矩形，利用 相似求解 解：（ 1）翻折 DAM MAN AN 平分 MAB， MAN N

18、AB DAM MAN NAB 30 N90， ANAD3 DM MN3 (2) ,3 ,3 13 412 ,3 3355 111224 4 2255 ABN ANMAFED AFNNEM EMa ENbFNa AFb ab aa ba SABFN 构造的外接矩形 易证： 设 解题反思： 通过以上两道例题的分析和解读，我们不难得出一个基本事实，矩形构造法作为 一种实用快捷的通性通法，在中考当中具有举足轻重的地位，熟练掌握矩形构造法，必将为 为你的大脑装上强劲的引擎，轻松应对此类问题 既然矩形构造法具有如此强悍的使用价值，那么面对其他问题是否也能应付自如，大家不妨 跟随笔者的思路继续探讨 （201

19、6? 连云港） 如图 1，将正方形纸片ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF如 图 2，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点M，EM 交 AB 于 N若 AD2，则 MN_ 解题思路剖析：这是2016 年连云港市中考填空压轴题，的确是一道翻折题，但这仅是一个 直角梯形的翻折，好像与此前的问题没有任何关联仔细分析一下，根据翻折的性质，对称 点的连线与对称轴交于一点，我们能否将这两个直角梯形的边进行延伸，再进行矩形构造呢？ 据此， 我们的思路已经豁然开朗，延长 EM、CB、HG，再构造其外接矩形，问题得以解决。 以下我们看看此题精彩的解答过

20、程！ 22222 , 21,2 53 1(2), 44 34 1 1 43 335 12 422 EM CB HGPHEPPQDC ADAEDEHCEHxDHx EHDHDExxxDH HDEEANAEDEDHAN ANAN HDEEQPQEDEDHPQ HCG QEQEDQPC PC 解：延长交于点构造的外接矩形 ， 易证： ， 易证： ， 2222 1 2 11415 ,2 243412 511 ()() 1243 B PB AQPBGBGMGN MNGNGM ， 解题反思： 某些直角梯形的翻折问题可以转化成直角三角形的翻折问题，而后对其进行矩形 构造， 回归到我们十分熟悉的知识体系，由此

21、可见， 矩形构造法不仅适用于直角三角形的翻 折，对直角梯形的翻折问题同样适用，此时我们忍不住想再看看是否还有其他题目可以验证 这个神奇的思路呢？2016 年徐州市中考压轴题正是一个绝佳的素材，我们一起来探究一番 Q N M G P H E B C AD （2016 徐州）如图，将边长为6 的正方形纸片ABCD 对折，使 AB 与 DC 重合，折痕为 EF， 展平后，再将点B 折到边 CD 上，使边AB 经过点 E，折痕为GH，点 B 的对应点为M，点 A 的对应点为N （1）若 CM x，则 CH_（用含 x 的代数式表示） ； （2）求折痕GH 的长。 解题思路剖析： 第一问较为简单，笔者不

22、再赘述 重点研究第二问，我们是否看到了十分熟 悉的场景，不同的大餐，熟悉的味道！分别延长BA、HG、MN，再构造其外接矩形，利用 勾股及相似，构建起各边关系及等式，此问题可轻松破解 由题意 CMx，则 DM 6x，DE 3 根据翻折的性质，NMH ABC90 ， 易证 HCM MDE 3 6x x CH DE CM DM CH 即 222 222 2222 362 , 6 64(6) 46410,2, , 8810 2633 1010 10 10() 33 10 10 3 , 610 2 10 DEPQPQDE DMDQDMa PMPBa PQQMPM aa aPBCM CHQM PQMMCH CMQP CH CHBH PHPBBH GHPHGH ABPB GH 解：构造如图辅助线： ， 设 ， 易证 ， 解题反思： 以上两道都属于直角梯形的翻折，从本质上来说， 直角梯形的翻折与直角三角形 的翻折完全一样，我们仅需要将其图形补充完整，回归到我们的知识体系下，问题将迎刃而 解 2 1 2 3 CHxx