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1、. . 圆压轴题八大模型题（四） 泸州市七中佳德学校易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题 的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都是在固定习题模型的基础上变化 与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用 技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题。 类型 4圆内接等边三角形 如图，点P为等边 ABC外接圆劣弧BC上一点 . (1) 求证： PA PBPC； (2) 设 PA、BC交于点 M， 若 BP4，PC 2，求 CM 的长度 . 若 AB4，PC 2，求 CM 的长度 . 【分
2、析】 (1)证明：连结CD在 PA 上截取 PD=PC ， 证得 ACD BCP， AD=PB ，又 DP=PC ， 因此 PA=PB +PC. (2) O中 ABM CPM, 1 2 PCMC ABMA 1 2 PCMC ABMA 设 MC=x ，则 AM=2x,MN=2-x，又 AN=2 3 , 在 RtAMN 中，由勾股定理得CM=x= 22 13 3 . (2) 过点 C作 CE AP于 E，过点 A作 AN BC于点 N.由（1） 可得 AP=BP+CP=4+2=6,Rt PCE 中 PE=1,CE= 3 ，则 AE=5,AC=2 7,因此 AB=AC=2 7 ,由（ 2）可得CM=
3、 2 7 3 . 【典例】 （2018湖南常德）如图，已知O 是等边三角形ABC的外接圆，点D 在圆上，在CD的延 O P M C B A 图 1 2 3 2-x 2x x 2 4 N P M O C B A O D P M C B A 2 7 2 7 3 5 1 E 4 2 O A BC M P N 图（ 1） 图（ 2）图（ 3） . . 长线上有一点F，使 DFDA，AEBC交 CF于 E （1）求证： EA是 O 的切线； （2）求证： BD CF 【分析】（1）连结OA 后，由 OAC 30 ，BC AE 得 CAE BCA60 ，因此 OAE90 证得AE 是 O 的切线 . （2
4、） ADF ABC 60 ，且 DFDA 得等边 ADF， 且 ABC也是等边三角形， 可得 ADB AFC ， 因此 BDCF. 【解答】证明： （1）连接 OD， O 是等边三角形ABC的外接圆， OAC 30， BCA60， AEBC， EAC BCA 60， OAE OAC EAC 30 60 90， AE是 O 的切线； （2） ABC是等边三角形，ABAC， BAC ABC60， A、B、C、D 四点共圆，ADF ABC60， ADDF， ADF是等边三角形，AD AF， DAF60， BAC CAD DAF CAD，即 BAF CAF ， 在 BAD和 CAF中， ， BAD C
5、AF ， BDCF 【点拨】 等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似，圆上一点与圆内接等边三角形三顶点 的连线之间的关系探究，可以运用延长法与截短法；含60角三角形，知两边求第三边； 借相交弦或平行线得三角形相似，作等边三角形的高，借比例线段和勾股定理建方程求线段 是关键。 【变式运用】 1.（2011泸州）如图，点P为等边 ABC外接圆劣弧BC上一点 图 4-1 图 a . . （1）求 BPC的度数； （2）求证： PA PBPC ； （3）设 PA ，BC交于点 M，若 AB4，PC 2，求 CM 的长度 （1）解： ABC 为等边三角形，BAC60 ， 点 P 为等边 ABC 外接
6、圆劣弧BC 上一点， 四边形ABPC 是圆的内接四边形 BPC BAC180 ， BPC120 ， （2）证明：连结CD在 PA 上截取 PDPC， ABACBC， APB APC60 ， PCD 为等边三角形， PCD ACB60 ， CPCD， PCD DCM ACB DCM ，即 ACD BCP， 在 ACD 和 BCP 中， ACBC ACDBCP CPCD ， ACD BCP， ADPB， PAADDP，DP PC， PAPBPC； （3）解： PCD 和 ABC 都为等边三角形， MDC ACM60 ，CDPC， 又 DMC CMA， CDM ACM，AB4， PC2， CM ：A
7、M DM： MCDC：ACPC：AC2：41：2， 设 DMx，则 CM2x，BM4 2x，PM2x， AM4x，ADAMDM 4xx3x BMP CMA ， PBM CAM， BPM ACM ， BP：ACPM ：CM，即 3x：4（ 2 x）： 2x， 解得 x 113 3 （舍去负号）， 则 x 113 3 ， CM 22 13 3 2. 如图，已知AD 是 ABC外角 EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长 DA 交 ABC 的外接圆于点F，连结 FB 、FC. （1）求证： FBFC ； （2）FB 2FA FD； （3）若 AB是 ABC的外接圆的直径，EAC 120， BC6
8、cm，求 AD 的长 . 证明：（ 1） AD 平分 EAC， 图 b 图 4-2 . . EAD DAC. 四边形 AFBC 内接于圆， DAC FBC. EAD FAB FCB， FBC FCB， FBFC. （2） FAB FCB FBC， AFB BFD， FBA FDB， FB FA FD FB FB 2FAFD. （3）解： AB 是圆的直径， ACB90. EAC120， DAC 2 1 EAC60. 四边形 ACBF 内接于圆， DAC FBC 60，又 FBFC， BFC 是等边三角形，BAC BFC60， D30. BC6， AC23， AD2AC43 3.（2016德阳）
9、 如图， 点 D 是等边三角形ABC外接圆上一点 . M 是 BD 上一点， 且满足 DM DC，点 E是 AC与 BD的交点 . （1）求证： CM/ AD； （2）如果 AD1，CM2. 求线段 BD的长及 BCE的面积 . 解： （1）ABC是正三角形， AB BC, ADB BDC 60， 又 DMDC，CDM是等边三角形， 即 DMCMCD， DMC60， ADB DMC60， CM AD； （2） DAC DBC， BMC ADC 120， 而 ACBC，ADCBMC， BMAD1， BDBM MD 123 由（ 1）可得，ADECME，而 AD1，CM2， 2 1 ME DE CE AE CM AD 又 MD 2， DE 2 3，ME 4 3， AE CE 1 2，且点 E在线段 AC上， AE 1 3AC， BAC BDC60， ABD ACD， ABE DCE ， DC AB EC BE, 3 4 1 3 2 2 AC AB , 又 ABAC， AB27，即 AB7BC, AD1, CM2, CMCD, AD: CD1: 2, E D M C B A 图 4-3 图 4-4 . . 又 ADE CDE 60， BD 平分 ADC， AE：CE AD： CD1：2， CE 2 3AC， S BCE 2 3S ABC 2 3 3 4 (7) 27 6 3.