平行四边形经典例题.pdf

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1、. ;. 平行四边形 一、基础知识平行四边形 平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形 定 义 有两组对边分别平行的四边 形是平行四边形。 有 一 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 是 矩形。 有一组邻边相等的平 行四边形是菱形。 有一组邻边相等且 有一个角是直角的 平行四边形。 两腰相等的梯形是等 腰梯形。 性 质 1、对边平行且相等。 2、对角相等，邻角互补。 3、对角线互相平分 1、四个角都是直 角。 2、对角线相等。 1、四条边都相等。 2、两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线 平分一组对角。 具有平行四边形、 矩 形、菱形的所有特 征。 1、两腰相等两底平行 2、同一底上的两角相

2、 等 3、两条对角线相等 判 定 1、定义： 2、判定定理： （1）两组对边分别相等的四 边形是平行四边形。 （2）两组对角分别相等的四 边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形。 （4）对角线互相平分的四边 形是平行四边形。 1、定义： 2、判定定理： （ 1）对角线相等 的 平 行 四 边 形 是 矩形。 （ 2）有三个角是 直 角 的 四 边 形 是 矩形。 1、定义： 2、判定定理： （1）一组邻边相等的 平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直 的四边形是菱形。 1、先证明是矩形再 证明一组邻边相等。 2、先证明是菱形再 证一个角是直角。 1、定义：先判断是

3、梯 形在证明两腰相等。 2、同一底上的两个角 相等的梯形是等腰梯 形。 3、对角线相等的梯形 是等腰梯形。 对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形 二、 1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2、由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、例题 例 1、 如图 1， 平行四边形ABCD 中， AEBD， CFBD， 垂足分别为E、 F. 求证：BAE = DCF. 例 2、如图 2，矩形 ABCD中， AC与 BD交于 O 点， BEAC于 E ，CF BD 于 F. 求证： BE = CF. 例 3、已知

4、：如图 3，在梯形 ABCD中，ADBC ，AB = DC ，点 E、F 分别在 AB、CD上，且 BE = 2EA ， CF = 2FD. 求证： BEC = CFB. （图 1） C A B D E F O A B C D E F （图 2） A B C D 图 3 E F . ;. 例 4、如图 6，E 、F分别是ABCD的 AD、BC边上的点，且AE = CF. （1）求证： ABE CDF ； （2）若M、N 分别是 BE 、DF 的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE 是怎样的四 边形，并证明你的结论. 例 5、如图 7 ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交

5、于点E，F.，求证：四边形AFCE是菱形 . 例 6、如图 8，四边形 ABCD是平行四边形， O 是它的中心， E、F是对角线 AC上的点 . （1）如果，则 DEC BFA （请你填上一个能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论. 例 7、如图 9，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，对角线 AC和 BD相交于点 O，E是 BC边上一个动点（点E 不与 B、C 两 点重合），EF BD交 AC于点 F，EG AC交 BD于点 C. （1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB； （2）请你将上述题目的条件“ 梯形 ABCD中，ADBC，AB = DC ” 改为另一种四边形，

6、其他条件不变，使得结论，“ 四边形 EFOG 的周长等于2OB ”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明. 例 8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积 两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上） ，并给予合理 的解释 . A D B C E F (图 6) M N 备用图（ 1）备用图（ 2） 图 13 图 7 A B C D E F O 图 8 B C D A E F A B C D 图 9 E G O F . ;. R P D C B A E F 第 12题图 四、练习 一、选择题 1. 下列命题正确的是（） (A)

7、、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形 (C) 、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 2. 已知平行四边形 ABCD 的周长 32, 5AB=3BC, 则AC 的取值范围为 ( ) A. 6AC10； B. 6AC16； C. 10AC16； D. 4AC16 3. 两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（） （A）1 （B）2 （C）3 （D ）4 4延长平形四边形ABCD 的一边 AB到 E，使 BEBD ，连结 DE交 BC于 F，若 DAB 120, C

8、FE 135， AB 1，则 AC 的长为 （） （A）1 （B）1.2 （C ） 3 2 （D）1.5 5若菱形 ABCD 中，AE垂直平分 BC 于E，AE1cm，则 BD 的长是（） （A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm 6. 若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( ) （A）互相垂直（B）相等（C）互相平分（D）互相垂直且相等 7. 如图，等腰 ABC中，D 是 BC边上的一点， DE AC ，DFAB，AB=5那么四边形AFDE 的周长是（） （A）5 （B）10 （C）15 （D）20 (第7题）（第 8题）（第 9题）（第 10题

9、） 8. 如图，将边长为8cm的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边中点 E处，点 A落在点 F处，折痕为 MN ，则线段 CN 的长是（） （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ，B=90 ，AC将梯形分成两个三角形，其中AC D 是周长为 18 cm 的等边三角形，则该 梯形的中位线的长是( ) (A)9 cm (B)12cm (c) 2 9 cm (D)18 cm 10. 如图，在周长为 20cm的ABCD 中，AB AD ，AC 、BD 相交于点 O，OE BD 交AD 于E，则 ABE 的周长为（） (

10、A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 11. 如图 2， 四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠， 使点B恰好落在CD边的中点E处， 折痕为AF 若CD6， 则AF等于 （） （A） 34 （B） 33 （C） 24 （D） 12. 如图，已知四边形ABCD 中， R、P分别是 BC 、CD 上的点， E、F分别是 AP 、RP 的中点，当点 P在CD 上从 C向D移动而点 R不动时，那么下列结论 成立的是（ ) A、线段 EF的长逐渐增大 B、线段 EF 的长逐渐减小 C、线段 EF的长不变 D、线段 EF 的长与点 P 13. 在梯形 ABCD 中， AD/BC，对角

11、线 AC BD ，且 cmAC5 ，BD=12c m ，则梯形中位线的长等于（） A BC D O E A B C D E F 图2 . ;. A B C D E F O 第 10 题图 D A B C P M N （1）（ 2） 图 9 A B C D E F O 图 A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm 14. 国家级历史文化名城金华，风光秀丽，花木葱茏某广场上一个形状是 平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6 种颜色的花 如果有 ABEFDC ，BC GHAD ，那么下列说法中错误的是（） A红花、绿花种植面积一定相等 B紫花、橙花种植面积一

12、定相等 C红花、蓝花种植面积一定相等 D蓝花、黄花种植面积一定相等 二、填空题 1. 如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为形。 2. 若正方形的对角线长为2错误 ! 未找到引用源。 cm，则正方 形的面积为。 3. 若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是 4. 已知：平行四边形ABCD 的周长是 30cm ，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，AOB 的周长比 BOC 的周长长 5cm ，则这个平行四边形的各边 长为。 5. 已知：平行四边形ABCD 中， AEBC交 CB的延长线于点E，AFCD交 CD的延长线于点F，ABBC CD DA

13、32cm ，BC 3 5 AB， EAF 2C ，则 BE长为，则C . 6. 在平面直角坐标系中，点 A、B、C的坐标分别是A(2，5)，B(3，1) ，C(1，1) ，在第一象限内找一点D ，使四边形ABCD 是平行四边形，那么点D的坐标是 7. 已知：如图 8，正方形 ABCD 中，对角线 AC 和BD 相交于点 O ，E 、F分别是边 AB、BC 上的点，若 AE4cm ，DF 3cm，且 OE OF ，则EF 的长为。 8 如图 9（1) 是一个等腰梯形，由6 个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2) 所示的一个菱形对于图10(1) 中的等腰梯形， 请写出它的内角的度数或腰与底边长

14、度之间关系的一个正确结论： 9如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，EF，分别是ABCD，的中点，18ADBCPEF o ， 则 PFE的度数是 10如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长6 和 8，点 P是对角线AC上的一个动点，点M 、N分别是边AB、BC的中点，则PM +PN 的最小值是 _ 11. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形 ABCD还应满足的一个条件是 。 （12题）（13题）（14题） 12、 如图所示， O 为矩形 ABCD 的对角线交点，DF 平分 ADC 交AC 于E，BC 于F，

15、 BDF=15 ，则 COF=_ 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，23ABBC， 则图中阴影部分的面积为 14、如图，矩形 1111 的面积为，顺次连结各边中点得到四边形 2222 B，再顺次连结四边形 2222 B四边中点得 C F D B E A P （第 9 题） 黄 蓝 紫 橙 红 绿 A G E D H C F B 第 14 题 O F E D CB A . ;. 到四边形 3333 ，依此类推，求四边形 nnnn 的面积是。 15、如图已知O是 ABCD的对角线交点， AC24，BD38，AD14，那么 OBC的周长等

16、于。 16、在平行四边形ABCD中， CB+D,则 A， D。 17、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为cm。 18、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为 30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为 _cm。 19、菱形 ABCD中， A60o，对角线 BD 长为 7cm，则此菱形周长 cm。 20、如果一个正方形的对角线长为2，那么它的面积。 21、如图 2 矩形 ABCD的两条对角线相交于O,AOB60o,AB8,则矩形对角线的长。 22、如图 3,等腰梯形ABCD中， ADBC，ABDE，BC8，AB6，AD5 则 CDE周长。 21、正方形的对称

17、轴有条 22、如图 4，BD 是ABCD的对角线，点E、F在 BD 上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是 23、要从一张长为40cm，宽为 20cm 的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为 12cm 的矩形纸片，最多能剪出张。 三、解答题 1. 如图，在四边形ABCD 中， A=60,B=D=90,BC=2,CD=3, 求 AB的长。 2. 如图，在等腰梯形ABCD中， AD BC,AB=CD=2, BAD=120 ,对角线 AC平分 BCD ，求等腰梯形ABCD 的周长。 3. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C 与 A 重合，点 D落到 D 处，折痕为 EF

18、（1）求证： ABE AD F； （2）连接 CF，判断四边形 AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论 4已知：如图，在梯形ABCD 中， AD BC ，AB=CD ，对角线 AC 、BD相交于点 E， ADB=60 ， BD=10 ，BEED=4 1，求梯形 ABCD 的腰长 . A B C D E F D E DA A B D C O A B D C O A B D C E A D B C F E . ;. 5. 如图，菱形ABCD ，E，F 分别是 BC ，CD上的点， B EAF 60， BAE 18求 CEF的度数。 6. 已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，

19、AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E， （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是一个正方形？并给出证明 7. 如图，四边形ABCD 中，一组对边AB=DC=4 ，另一组对边AD BC ，对角线 BD与边 DC互相垂直， M 、N、H分别是 AD 、BC 、BD的 中点，且 ABD=30 求： （1）MH的长（ 2）MN的长。 8. 如图所示，在 ABC中， BAC=90 ,ADB,BE 平分 ABC,EF BC,那么 AE=CF 吗？证明你的结论。 9. 如图， ABCD 是正方形， CE BD ，BEBD ，BE交 DC于点 F，

20、求证： （1） BEC 30（2）DE DF A B C D M N E (第 6 题) F D C B A E A D C B F E . ;. 10. 如图，在正方形ABCD 中， P为对角线 BD上一点， PE BC ，垂足为E， PF CD ，垂足为F， 求证： EFAP 11. 如图，四边形ABCD 的对角线 AC 、BD交于点 P，过点 P 作直线交 AD于点 E, 交 BC于点 F。若 PE=PF,且 AP+AE=CP+CF （1）求证： PA=PC; （2）若 AD=12,AB=15,DAB=60 , 求四边形 ABCD 的面积 . 10如图所示，已知在ABCD 中， E，F分

21、别是 AD ， BC的中点，求证：MN BC 11已知：如图，E为ABCD 中 DC边的延长线上的一点，且CE DC ，连结 AE 分别交 BC 、BD于点 F、G，连结 AC交 BD于 O ，连结 OF 求证： AB 2OF 12. 如图，在矩形 ABCD 中， AD=8cm ，AB=6cm ，点 A 处有一动点 E 以1cms的速度由点 A向点 B运动，同时点 C处也有一动点 F以2cms 的速度由点 C向点 D运动，设运动的时间为x（s） ，四边形 EBFD 的面积为 y（cm 2） ，求 y与x的函数关系式及自变量 x的取值范围。 . ;. 21，如图 16，已知四边形ABCD是平行四

22、边形， BCD的平分线CF交边 AB于 F，ADC的平分线DG交边 AB于 G. （1）线段 AF与 GB 相等吗？ （2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得EFG为等腰直角三角形,并说明理由 . 22，如图 17，已知ABCD中， E为 AD的中点， CE的延长线交BA的延长线于点E. （1）试说明线段CD与 FA相等的理由； （2）若使 F BCF ，ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理 由(不要再增添辅助线). 23， （08 上海市）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，E是BD延长线上的点，且 ACE是等边三角形 （1）

23、求证：四边形ABCD是菱形； （2）若2AEDEAD，求证：四边形ABCD是正方形 24，已知：如图19，四边形 ABCD是菱形， E是 BD延长线上一点，F是 DB 延长线上一点，且DEBF.请你 以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等 （只须证明一组线段相等即可）. （1）连结 _； （2）猜想： _=_； （3）证明： 25，如图 20，已知正方形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，E是 AC上一点，连结EB，过点 A 作 AM BE，垂足为 M， AM 交 BD 于点 F. (1)试说明 OEOF； (2)如图 21，若

24、点 E在 AC的延长线上， AMBE于点 M，交 DB 的延长线于点F，其它条件不变， 则结论“OE OF”还成立吗 ?如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由. E C D B A O O C 图 19 D A B E F 图 20 E M F C O D B A 图 21 E F O C M D A B AB CD E F 图 17 图 16 O F D B E C A 图 18 . ;. 13. 如图在直角梯形ABCD中, AD BC, B=90AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm, 动点 P从 A 开始沿 AD边向 D 以 1cm/s 的速度运动 , 动 点 Q从 C开

25、始沿 CB向 B以 3cm/s 的速度运动 ,P,Q 分别从点 A,C 同时出发 , 当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动, 设 运动的时间t,t分别为何值时 , 四边形 PQCD 为平行四边形 , 等腰梯形 ? 14已知：如图，在直角梯形ABCD 中， B90o,AD BC，AD 24cm，BC26cm，动点 P 从 A 点开始沿 AD 边向 D 以 1cm/ 秒的速度运动，动点Q 从 C 点开始沿CB 边向 B 以 3cm/ 秒的速度运动，P、Q 分别从 A、C 同时出发，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒， t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？等

26、腰梯形？ . 在 ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的AEF和四边形 EBCF可以拼接成平行四边 形 EBCP ，接切线与拼图过程如图所示，依照上述方法，安要求完成下列操作设计，并画出图形说明。 （1）在 ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼成矩形。 （2）在 ABC 中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼成菱形。 （3）在 ABC 中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼成 正 方 形。 （4）在 ABC （AB AC ）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，画出切线与拼 图 示 意图。 15 如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3 个全等的图形（图

27、甲） ；将余下的部分分成4 个全等的图形（图已）仿 照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分。（1）分成 3 个全等的图形（在图一中画出示意图）； （2）分成四个全等的图形（在图二中画出示意图）； （3）你还能利用所得的4 个全等的图形拼成一个平行四边形吗？若能，画出大致的示意图。 A B Q C D P A P B D D Q C . ;. F E D C B A A D CB 16. 如图是王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分 成面积相等的两部分. 请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形, 并简要写出作图的主

28、要步骤. 解: 作图步骤： 17. (1)如图 25-1 ，在四边形ABCD中，ABAD ， B D90， E、F 分别是边 BC 、CD上的点，且 EAF=1 2 BAD.求证 :EF BE FD; (2) 如图 25-2 在四边形ABCD中， AB AD ， B+D180， E、F 分别是边 BC 、CD上的点，且 EAF=1 2 BAD, (1) 中的结论 是否仍然成立？不用证明. (3) 如图 25-3 在四边形 ABCD中， ABAD ， B+ADC 180， E、F 分别是边 BC 、CD延长线上的点，且EAF=1 2 BAD, (1) 中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若 不

29、成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 18. 将边长 OA=8 ，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点 C、A分别在x轴和 y 轴上 . 在OA、OC边上选取适当的点 E、F，连接 EF ，将 EOF沿 EF折叠， 使点O落在AB边上的点D处 图图图 （1）如图，当点F 与点 C 重合时， OE的长度为； （2）如图，当点F 与点 C 不重合时，过点D 作 DG y 轴交 EF于点T，交OC于点G. x y T GF E C O BAD y x E B A C(F) O D x y G T F E B A C O D . ;. 求证： EO=DT ； （3）在（

30、 2）的条件下，设()T xy，写出y与x之间的函数关系式为，自变量x的取值范围是； （4）如图，将矩形 OABC变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且 OC=10 ，OC边上的高等于8，点 F 与点 C不重合，过 点 D 作 DG y 轴交 EF 于点T，交OC于点G，求出这时()T xy，的坐标y与x之间的函数关系式（不求自变量x的取 值范围） 19. (1) 如图 101 所示，BD, CE分别是 ABC的外角平分线，过点A作 AFBD, AG CE,垂足分别为F，G ，连结 FG ，延长 AF, AG ， 与直线 BC分别交于点 M 、N，那么线段FG与 ABC的周长之间存在的数量关

31、系是什么？即：FG （ABBC+AC ）（直接写 出结果即可） （2）如图 102，若 BD ，CE分别是 ABC的内角平分线；其他条件不变，线段FG与 ABC三边之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明 （3）如图 103，若 BD为 ABC的内角平分线， CE为 ABC 的外角平分线，其他条件不变，线段FG与 ABC三边又有怎样的数 量关系？ 直接写出你的猜想即可不需要证明。 20. 已知正方形 ABCD 和等腰 Rt 0 ,90 ,BEF EFBEBEFV按图 1放置，使点 F在BC 上，取 DF的中点 G ，连 EG 、CG. (1)探 索EG 、CG 的数量关系，并说明理由；（2）将图 1中BEFV绕B 点顺时针旋转 0 45得图 2，连结 DF, 取DF的中点 G，问（ 1） 中的结论是否成立，并说明理由； （3）将图 1 中BEFV绕 B点转动任意角度（旋转角在0 到 0 90之间）得图3，连结 DF ，取 DF的中点 G ，问（ 1）中的结论是 否成立，请说明理由； 图1 G FB D A C E 图2 G F B D A C E 图3 G F B D A C E GF E D CB A N M F G ED C B A