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1、福鼎一中高一年段数学培优教材 高一数学备课组 第六讲平面向量（ 2） 例 1： （1）点 P 是 ABC的外心，且PAPBPC，则角 C 的大小为 _ （2）在 ABC中，|0BC GAAC GBAB GC ，其中 G 为 ABC的重心， 则ABC的形状是 _ （3）设 ABC的外心为 O，H 是它的垂心，求证： OHOAOBOC （4）已知 O 为 ABC所在平面内的一点，且满足 222222 |OABCOBCAOCAB，求 证：点 O 是ABC的垂心。 （5）O 为 ABC所在平面内的一点，则 O 为 ABC的垂心的充要条件是：OA OBOB OCOC OA 例 2：已知向量(cosa，s
2、in)，(cosb，sin)，且a与 b 之间有关系式： |3 |kabakb ， 其中 k0（1）证明： ()()abab ； （2）试用 k 表示 a b 例 3：已知平面上的三个向量, ,a b c的模均为1，它们相互之间的夹角都是120， （1）求证： ()abc（2）若| | 1, ()kabckR ，求k的取值范围。 例 4：已知向量 13 ( 3, 1),(,) 22 ab，存在实数,k t，使得向量 2 (3) ,xatbykatb且 xy， （1）试将k表示为t得函数( )kf t； （2）求 2 kt t 得最小值。 例 5已知向量 (cos ,sin) ,(sin2 ,1
3、 cos2 ) ,(0,1),(0, )axxbxxcx （1）向量,a b是否共线？ （2）求函数 ( )|()f xbabc的最大值。 例 6：在 RtABC 中，已知90A， BC=a，若长为2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问PQBC与的夹角 取何值时BP CQ的值最大？并求出这个最大值. 强化训练： 1已知ABC满足 2 ABAB ACBA BCCA CB，则ABC的形状是（） A 等边三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形 2已知cba,为非零的平面向量. 甲：,:,a ba cbc乙则甲是乙的（）条件 A充分条件但不是必要B必要条件但不是充分C充要条件D既非充分也非
4、必要 3已知平面上直线l 的方向向量 43 (,), 55 e点 O（0，0）和 A（1， 2）在 l 上的射影分别是 O和 A， 则O Ae，其中 = （）A 11 5 B 11 5 C2 D2 4已知12,ee是夹角为45的两个单位向量， 1212 2,2,aeebee则,a b的夹角为 _ 5如果向量a与b的夹角为，那么我们称ab为向量a与b的“向量积”，ab是一个向量，它的长 度| |sina bab，如果|3,|2,2aba b，则|ab_ 6 对 于n个 向 量 123 , n aaaa， 若 存 在n个 不 全 为 零 的 实 数 12 , n k kk， 使 得 1122 0
5、nn k ak ak a成 立 ，则 称向 量 123 , n a aaa是 “ 线性 相关 ” 的。 按此 规定 ， 能说 明 1 23(1 ,0) ,(1, 1) ,(2,2)aaa “线性相关”的实数 123 ,k kk的一组取值为 _ 7设向量(cos23 ,cos 67 ),(cos53 ,cos37 ),aba b则_ 8已知向量(1 ,1)m，向量n与m的夹角为 3 4 ，且1m n，则n=_ 9在ABC内求一点 P，使 222 APBPCP的值最小。 10已知(1 ,3) ,(1,1),abcab，是否存在实数，使a与c的夹角为锐角？说明你的理由。 11 已知向量 25 (),
6、(), | 5 cos ,sincos ,sinabab. （1）求()cos的值； （2）若 5 , 13 0,0sinsin 22 且求的值 12 已知向量,( )1(2sin,cos ),( 3cos,2cos)f xa baxx bxx定义函数. （1）求函数( )fx的最小正周期；（2）求函数( )f x的单调减区间； （3）画出函数 75 , 1212 ( )( )g xf xx 的图象，由图象研究并写出( )g x的对称轴和对称中心. O H D C B A 参考答案 例 1： （1）60（2） 等边三角形 （3）如图，联结BO 并延长交三角形外接圆于点D，则 AHDC AHCD
7、 DACH 为 OHOAAHOADCOAOCODOAOCOB （4）略（5）略 例 2： （1）| | | 1ab （2） 2 1 4 k a b k 例 3： （2） 2 202,0kkkk 例 4： （1） 3 3 ( ) 4 tt f t（2） 2 217 (2) 44 kt t t ，当2t时取最小值 7 4 例 5： （1）共线；（2） 2 ( )2sinsinf xxx； max 1 ( ) 8 f x 例 6：18 湖北高考题 22 cosBP CQaa，所以当0时，取最大值0 强化练习： 1 C 2 B 3 D 4 346 arccos 46 5 4 26 4,2,17 3 2
8、 8 (0,1)或( 1,0) 9设,ABaACbAPx，则 222222 222 |()()32()APBPCPxxaxbxab xab 22 2211 3()() 33 xababab 所以当 1 () 3 xab时取最小，易证此时点P 为三角形 ABC 的重心。 10 5 (,0)(0,) 2 11 （1） 3 cos() 5 （2） 33 65 12解： 2 ( )123 sincos2cos1f xa bxxx 3 sin 2cos22sin(2). 6 xxx （1） 2 . | T （2） 34 222222 26233 kxkkxk 2 () 63 kxkkZ 2 ( ),(). 63 f xkkkZ函数的单调减区间为 （3） 从图象上可以直观看出，此函数有一个对称中心（0 , 12 ） ，无对称轴 精品推荐强力推荐值得拥有 x 7 123126 5 12 2 6 x 2 0 2 y 0 2 0 2 0