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1、利用周期性求函数解析式 周期性是函数的一种性质，当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时， 再相关性质，求函数的解析式，就能简单一些了。今天我们就根据实际例子，看看如何利用 周期性，求函数的解析式。 先看例题 例：设f(x) 是定义在区间(,)上，且以2 为周期的函数，对kZ，用 k I表示区间 (21,21)kk，已知当 0 xI时， 2 ( )f xx，求f(x) 在 k I上的解析式 解：由已知，当k=0 时， 0 ( 1,1)I 我们利用区间转移的方法，如果 k xI 即 0 (21,21)2xkkxkI 121xk 则有： 2 (2 )(2 )f xkxk 又因为该函数以2
2、 为周期，所以有(2 )( ),f xkf x 所以函数在 k I上的解析式为： 2 ( )(2 )f xxk 一般规律： 区间转移： 将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间。 进而求出，该区间上的函数解析式 再看一个例题加深印象 练：设f(x) 是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x=1 对称，当2,0x时， 2 2.fxxx当2,4x时，求f(x) 的解析式 首先通过题目条件，证明函数为周期函数 因为函数关于x=1对称，且函数为奇函数 所以有(2)()f xfxfx 又因为(2)( )f xf x 所以： (4)(2)f xf xfxfx 所以函数为周期函数，且周期
3、T=4 因为函数在2,0x上的解析式已知，所以 由2,4 ,4 2,0,xx 可得： 22 (4)2(4)(4)68.fxf xxxxx 总结： 1. 根据题目条件，判断、证明函数为周期函数. 2. 将未知区间上的自变量加（或减）周期的整数倍后，转化到已知区间. 3. 根据题目条件，以及函数性质，确定所求区间上的解析式 练习： 1. 设f(x) 是在 ( ,+ ) 上以 4 为周期的函数， 且f(x) 是偶函数， 在区间 2，3上时，f(x)= 2(x3) 2+4，求当 x1,2 时f(x) 的解析式 . 若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D 在y=f(x) (0x2)的图象上，求这
4、个矩形面积的最大值. 2. 已知函数y=f(x) 是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)( 1x1)是奇函数， 又知y=f(x) 在 0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x=2 时，函数取得最小值， 最小值为 5. (1) 证明 :f(1)+f(4)=0; (2) 试求y=f(x),x1,4 的解析式； (3) 试求y=f(x) 在 4，9上的解析式 . 答案： 2. (1)证明: y=f(x) 是以 5 为周期的周期函数， f(4)=f(4 5)=f( 1), 又y=f(x)( 1x1)是奇函数，f(1)= f( 1)= f(4), f(1)+f(4)=0. (2)
5、解 :当x1,4 时，由题意，可设f(x)=a(x2) 25( a0), 由f(1)+f(4)=0 得a(1 2) 2 5+a(4 2)25=0， 解得a=2,f(x)=2(x 2) 25(1 x4). 当 0x1 时，f(x)= 3x, 当1x0 时，f(x)= 3x, 当 4x6 时， 1x51, f(x)=f(x5)= 3(x5)= 3x+15, 当 6x9 时， 1x54,f(x)=f(x5)=2(x5) 2 25=2( x7) 25. f(x)= )96(5)7(2 )64(153 2 xx xx . 精品推 荐 强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有