最新-2018年高考山东理科数学试题详细解析精品.pdf

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1、2018 年普通高等学校全国统一考试（山东卷） 理科数学 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的的四个选项中， 只有一个项是符合题目要求的。 （1）设集合 2 60Mx xx，13Nxx ，则MN A.1,2)B. 1,2C. (2,3D. 2,3 【解析】：32Mxx，|13Nxx，则1,2)MN，答案应选A。 （2）复数 2 ( 2 i zi i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【解析】： 2 2(2)34 255 iii z i 对应的点为 34 (,) 55 在第四象限，答案应选D. （3

2、）若点( ,9)a在函数3 x y的图象上，则tan 6 a 的值为 A.0B. 3 3 C. 1D. 3 【 解 析 】： 因 为 点( ,9)a在 函 数3 x y的 图 象 上 ， 所 以 2 393 a ，2a， tantan3 63 a ，答案应选D. （4）不等式5310xx的解集是 A. 5,7 B. 4,6 C. (, 57,) D. (, 46,) 【解析】： 解法一：当5x时，原不等式可化为2210x，解得6x；当35x时，原不 等式可化为810，不成立；当3x时，原不等式可化为2210x，解得4x. 综上可知6x，或4x，答案应选D。 解法二：可以作出函数53yxx的图象

3、，令5310xx=可得4x=或 6x，观察图像可得6x，或4x可使5310xx成立，答案应选D。 解法三： 利用绝对值的几何意义，53xx表示实数轴上的点x到点3x与5x的 距离之和， 要使点x到点3x与5x的距离之和等于10，只需4x=或6x，于是当 6x，或4x可使5310xx成立，答案应选D。 （5）对于函数( )yf x，xR， “( )yf x的图象关于y轴对称”是“( )yf x是奇 函数”的 A 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.即不充分也不必要条件 【解析】：若( )yf x是奇函数，则( )yf x的图象关于y轴对称；反之不成立，比如偶 函数( )yf x，满

4、足( )yf x的图象关于y轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。 （6）若函数( )sin(0)f xx在区间0, 3 上单调递增，在区间, 32 上单调递减， 则 A.3B. 2C. 3 2 D. 2 3 【解析】： 解法一： 函数( )sin(0)f xx在区间0, 2 上单调递增， 在区间 3 , 22 上单调递 减，则 23 ，即 3 2 ，答案应选C。 解法二：令2,2() 22 xkkkZ得函数( )fx在 22 , 22 kk x 为 增 函 数 ， 同 理 可 得 函 数( )f x在 223 , 22 kk x为 减 函 数 ， 则 当 0, 23 k时符合题意，即 3 2

5、 ，答案应选C。 解法三：由题意可知当 3 x时，函数( )sin(0)f xx取得极大值，则)0 3 f， 即cos0 3 ，即() 32 kkZ，结合选择项即可得答案应选C。 解法四：由题意可知当 3 x时，函数( )sin(0)f xx取得最大值， 则2() 32 kkZ， 3 6() 2 kkZ，结合选择项即可得答案应选C。 （7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x（万元）4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 ? ?ybxa中的 ? b为 9.4 ，据此模型预报广告费用为6 万元是销售额 为 A.63.6 万元B. 65

6、.5 万元C. 67.7 万元D. 72.0 万元 【解析】由表可计算 42357 42 x , 49263954 42 4 y ,因为点 7 (,42) 2 在回归直线 ? ?ybxa 上, 且 ? b为 9.4，所以 7 ?429.4 2 a , 解得 9.1a ,故回归方程为 ?9.49.1yx , 令 x=6得 ? y 65.5, 选 B. （8）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线均和圆 22 :650C xyx相 切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 A. 22 1 54 xy B. 22 1 45 xy C. 22 1 36 xy

7、D. 22 1 63 xy 【解析】：圆 22 :650C xyx化为标准方程 22 (3)4xy，圆心（ 3,0 ） ，所以双 曲线的右焦点为（3,0） ，3,c而 3 2 b c ，则 2 2,5ba，答案应选A。 （9）函数2sin 2 x yx的图象大致是 【解析】：函数2sin 2 x yx为奇函数，且 1 2cos 2 yx，令0y得 1 cos 4 x，由于 函 数co syx为 周 期 函 数 ， 而 当2x时 ，2 si n0 2 x yx， 当2x时 ， 2 si n0 2 x yx，则答案应选C。 （10 ）已知( )f x是R上最小正周期为2 的周期函数，且当02x时，

8、 3 ( )f xxx， 则函数( )f x的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】：当02x时 32 ( )(1)f xxxx x，则(0)(1)0ff，而( )fx是R上 最小正周期为2 的周期函数， 则(2)(4)(6)(0)0ffff，(3)(5)(1)0fff， 答案应选 B。 (11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题： 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； 2 x A. O y 4 2 x B O y 4 2 x C. O y 4 2x D. O y 4 存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； 存在圆柱，其正（主）视图

9、、俯视图如右图。 其中真，命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】：均是正确的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱，让其直角三角形 直角边对应的一个侧面平卧；直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；圆柱平 躺即可使得三个命题为真， 答案选 A。 （12）设 1234 ,A AA A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 1312( )A AA AR, 1412( )A AA AR,且 11 2，则称 34 ,A A调和分割 12 ,A A，已知平面上的点,C D 调和分割点,A B，则下面说法正确的是 A. C 可能是线段AB的中点 B. D可能是线段AB的中点 C. C,D

10、可能同时在线段AB上 D. C,D不可能同时在线段AB的延长线上 【解析】：根据题意可知 11 2 cd ，若 C或 D是线段 AB的中点，则 1 2 c，或 1 2 d，矛 盾；若 C,D 可能同时在线段AB上，则01,01,cd则 11 2 cd 矛盾，若 C,D 同时在 线段 AB的延长线上，则1,1cd， 11 02 cd ，故 C,D 不可能同时在线段AB的延长 线上，答案选D。 二、填空题：本大题共4 小题 ，每小题4 分，共 16 分。 （13）执行右图所示的程序框图，输入2,3,5lmn， 则输出的y 的值是。 【解析】： 当输入 l=2， m=3 ， n=5 时不满足 222

11、 0lmn， 因此执行：702115ylmn 702213155278。由于 278118 ，故执行105yy,执行后 y=278-118=173 ，再执行一次y=y-118 后 y 的值为 173-118=68 ，此时 68118 不成立，故 输出 68. 答案应填： 68. （14）若 6 2 () a x x 展开式的常数项为60，则常数a的值为。 【解析】： 6 2 () a x x 的展开式通项 6 16 2 () kkk k a TC x x 6 3 6 () kk Ca x，令 630,2,kk 22 6 ()1560,4Caaa。 答案应填： 4. （15 ）设函数( )(0)

12、 2 x f xx x ，观察： 1( ) ( ) 2 x fxf x x ， 21 ( )( ) 34 x fxffx x ， 32 ( )( ) 78 x fxffx x ， 43 ( )( ) 1516 x fxffx x ， 根据上述事实，由归纳推理可得： 当*nN，且2n时， 1 ( )( ) nn fxffx。 【解析】：由题意 21 22 ( )( ) (21)2 x fxffx x ， 32 33 ( )( ) (21)2 x fxffx x ， 4344 ( )( ) (21)2 x fxffx x ，以此类推可得 1 ( )( ) (21)2 nnnn x fxffx x

13、。 答案应填： (21)2 nn x x 。 16.已知函数( )log(0, a f xxxb a且1)a。 当234ab时函数( )f x的零点为 0 ( ,1)(*)xn nnN， 则n。 【解析】：根据(2)log 22log230 aa fba， (3)log 32log340 aa fba，而函数( )f x在(0,)上连续，单调递增，故 函数( )f x的零点在区间(2,3)内，故2n。 答案应填： 2. 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分。 17.（本小题满分12 分） 在ABC中，内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 cos2cos2 cos ACca B

14、b ， （）求 sin sin C A 的值； （）若 1 cos,2 4 Bb，求ABC的面积 S。 【思路分析】 （）已知三角等式中既含有角度又含有边长，由于所求为角的函数值，因此 可考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数，进行化简得到 sinsinsincos2sincos2cossinABABCBCB ，再逆用两角和的正弦公式即得； （）依据题设条件，欲求ABC的面积 S 可考虑正弦面积公式 1 sin 2 sacB，如何求出 a,c 呢？由（）知 sin sin C A 的值，利用正弦定理的a,c 的一个方程，又有余弦定理 222 2cosbacacB得 到 第 二 个 方 程

15、 ， 将 两 个 方 程 联 立 解 出a,c的 值 ， 代 入 1 sin 2 sacB得到三角形的面积。 解： （）在ABC中，由 cos2cos2 cos ACca Bb 及正弦定理可得 cos2cos2sinsin cossin ACCA BB ， 即sinsin2cossin2sincossincosABCBCBAB 则sinsinsincos2sincos2cossinABABCBCB sin()2sin()ABCB，而ABC，则sin2sinCA， 即 sin 2 sin C A 。 另解 1：在ABC中，由 cos2cos2 cos ACca Bb 可得 cos2 cos2 c

16、oscosbAbCcBaB 由余弦定理可得 222222222222 22 bcaabcacbacb caac ， 整理可得2ca，由正弦定理可得 sin 2 sin Cc Aa 。 另解 2：利用教材习题结论解题，在ABC中有结论 coscos,coscos,coscosabCcB bcAaC caBbA. 由 cos2cos2 cos ACca Bb 可得 cos2 cos2 coscosbAbCcBaB 即coscos2 cos2 cosbAaBcBbC，则2ca， 由正弦定理可得 sin 2 sin Cc Aa 。 （）由2ca及 1 cos,2 4 Bb可得 222222 42cos

17、44,caacBaaaa则1a，2c， S 2 1115 sin1 21cos 224 acBB，即 15 4 S。 （18） （本题满分12 分） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对 B、丙对 C各一盘。已知甲胜A、乙胜 B、丙胜 C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互 独立。 （）求红队至少两名队员获胜的概率； （）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E。 【思路分析】 （）红队至少两名队员获胜的情况有：甲乙胜丙不胜，甲丙胜乙不胜，乙丙 胜甲不胜， 甲乙丙都胜。 这四个事件彼此互斥，可利用彼此互斥事件有一个发生的概率加法 公式进

18、行求解； （） 依题意可知0,1,2,3，0对应的事件为：甲乙丙都不胜；1对应的事件为： 甲胜乙丙不胜，乙胜甲丙不胜，丙胜甲乙不胜；2对应的事件为：甲乙胜丙不胜，甲丙 胜乙不胜，乙丙胜甲不胜；3对应的事件为：甲乙丙都胜。 解析： （）记甲对 A、乙对 B、丙对 C各一盘中甲胜A、乙胜 B、丙胜 C分别为事件,D E F, 则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件 ,D E F，根据各盘比赛结果相互独立可得 故红队至少两名队员获胜的概率为 ()()()()PP DEFP DEFP DEFP DEF ()( ) ()() () ()() () ()() () ()P D P E P FP D P

19、E P FP D P E P FP D P E P F 0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.50.55. （）依题意可知0,1,2,3， (0)()() () ()(1 0.6) (1 0.5) (1 0.5)0.1PP DEFP D P E P F； (1)()()()PP DEFP DEFP DEF 0.6(10.5)(10.5)(10.6)0.5(10.5)(10.6)(10.5)0.50.35; (2)()()()PP DEFP DEFP DEF 0.60.5(10.5)(10.6)0.50.50.6(10.5)0.50.4; (3)

20、()0.60.50.50.15PP DEF. 故的分布列为 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 故00.11 0.352 0.430.151.6E. 19. （本小题满分12 分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形， 0 90ACB，EA平面ABCD，/ /EFAB， / /FGBC，/ /EGAC，2ABEF （）若M是线段AD的中点，求证：/ /GM平面ABFE； （）若2ACBCAE，求二面角ABFC的大小 几何法： 【思路分析】 （）证明直线与平面平行最常用的方法有两种，一是判定定理，二是平面与 平面平行的性质。本题两种方法都可以证明。 思路一： 注

21、意到四边形ABCD为平行四边形，且/ /FGBC ，从而 / /FGAD，又点M是 线段AD的中点，所以/ /FGAM，四边形AMGF为平行四边形，则/ /GMAF，由直线 与平面平行的判定定理得证； 思路二：取BC的中点为N,连接 MN,GN, 易证明平面MNG/ 平面 ABFE ，再由平面与平面 平行的性质可得/ /GM平面ABFE。 （）求解二面角的平面角一般可考虑几何法和向量法两种方法。 思路一：（几何法） 因为EA平面ABCD ，则平面 ABEF平面 ABCD,因而可考虑三垂 线定理法作出二面角的平面角。取AB 的中点 H，则CHAB，CH 平面ABFE，作 HRBF，则HRC为二面

22、角ABFC的平面角。然后利用直角三角形计算出角的大 小。 思路二：（向量法） 易知两两垂直，因此可以分别以AC,AD,AE为 x 轴， y 轴， z 轴建立空 间直角坐标系，利用向量的坐标运算求出两个半平面的法向量，再由公式求得二面角 ABFC的大小； 证明： （）/ /EFAB，2ABEF可知延长BF交AE于点P， 而/FGBC，/ /EGAC， 则PBF平面,BFGC PAE平面AEGC，即P平面BFGC平面AEGCGC， 于是,BF CG AE三线共点， 1 / / 2 FGBC，若M是线段AD的中点，而/ /ADBC, 则/ /FGAM，四边形AMGF为平行四边形，则/ /GMAF，又

23、GM平面ABFE， A B C D E F G M 所以/ /GM平面ABFE； （）由EA平面ABCD， 作C HA B， 则CH平面ABFE， 作H TB F， 连接CT， 则CTBF，于是CTH为二面角ABFC的平面角。 若2ACBCAE，设1AE，则2ACBC， 2 2,2ABCH ，H为AB的 中点， 222 tan 22 2 AEAE FBA ABEFAB ， 3 sin 3 FBA， 36 sin2 33 HTBHABF，在Rt CHT中tan3 CH CTH HT , 则60CTH，即二面角ABFC的大小为60。 坐标法： （） 证明：由四边形ABCD为平行四边形， 0 90A

24、CB，EA平面ABCD， 可得以点A为坐标原点，,AC AD AE所在直线分别为, ,x y z建立直角坐标系， 设= ,AC a ADb AEc，则(0,0,0)A, 1 ( ,0,0),(0, ,0),(0,0),( ,0) 2 C aDbMbB ab. 由/EGAC可得 ()EGACR ， 1 (,) 2 GMGEEAAMabc 由/ /FGBC可得 ()FGBCADR , 11 22 GMGFFAAMADBA EAAD 1 (,(1) ,) 2 abc，则 1 2 ， 1 2 GMBA EA，而GM平面ABFE， 所以/ /GM平面ABFE； （） （）若2ACBCAE，设1AE，则2

25、ACBC， (2,0,0),(0,0,1),(2,2,0),(1,1,1)CEBF,则(0,2,0)BCAD,( 1,1,1)BF, (2, 2,0)AB,设 11112222 ( , ),(,)x y zx y zn =n分别为平面ABF与平面CBF的法向量。 则 11 111 220 0 xy xyz ，令 1 1x，则 11 1,0yz， 1 (1,1,0)n =； 2 222 20 0 y xyz ，令 2 1x，则 22 0,1yz， 2 (1 ,0,1)n。 于是 12 12 12 1 cos 2 n n n ,n nn ，则 12 60n ,n， 即二面角ABFC的大小为60。

26、20. （本小题满分12 分）等比数列 n a中， 123 ,a aa分别是下表第一、二、三行中的某一 个数，且 123 ,a a a中的任何两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行3210 第二行6414 第三行9818 （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b满足：1ln n nnn baa，求数列 n b的前n项和 n S 【思路分析】 （）可采用逐项分析验证的方法得到只有 123 2,6,18aaa一组值符 合题意，由此得到公比q 的值，进而求出数列 n a的通项公式；（）将（）得到的 n a代 入 n b并进行化简，得 1 2 3( 1) (ln2ln3)( 1)

27、ln3 nnn n bn，由三部分的和构成，因 此考虑利用拆项法求和，又由于式子中含有( 1) n ，因而还应该考虑分n 为奇数和偶数两种 情况求和。 解析： （）由题意可知 123 2,6,18aaa，公比 32 12 3 aa q aa ， 通项公式为 1 2 3 n n a； （） 111 1ln2 3( 1) ln 2 32 3( 1) ln 2(1)ln 3 n nnnnn nnn baan 当2 (*)nk kN时， 122nk Sbbb 21 2(1 33)1( 23)( (22)(21)ln3 k kk 2 13 2ln 331ln 3 132 k nn k 当21(*)nkk

28、N时 1221nk Sbbb 22 2(1 33)(12)(23)(22)ln3ln 2 k kk 21 13 2(1)ln 3ln 2 13 k k (1) 31ln 3ln 2 2 nn 故 31ln 3, 2 (1) 31ln 3ln 2 2 n n n n n S n n 为偶数； ， 为奇数 . 另解：令 1 1 ( 1) ln 2 3 n nn n T ，即 11 ( 1) ln 2( 1) (1)ln 3 nn nn n Tn 223 1( 1)( 1) ln 2( 1)1( 1)2( 1)(1)ln3 nn n Tn 231341 ( 1)( 1)( 1)ln 2( 1)1 (

29、 1)2( 1)(1)ln3 nn n Tn 则 1231 2 1( 1)ln 2( 1)( 1)( 1)( 1)(1)ln3 nnn n Tn 21 11 11 ( 1)( 1) 1( 1)ln 2( 1)(1)ln 3 222 n nn n Tn 12111 1( 1)ln 2( 1)( 1)(21)ln 3 24 nn n Tn 故 1 12 2(1 33) n nnn SbbbT 121 11 311( 1)ln 2(1)( 1)(21)ln 3 24 nnn n. 21. （本小题满分12 分）某企业拟建造如图所示的容器 （不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆 柱形，左右两端

30、均为半球形，按照设计要求容器的容 积为 80 3 立方米，且2lr假设该容器的建造费 用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方 米建造费用为c（3c）千元设该容器的建造费用为y千元 （）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； （）求该容器的建造费用最小时的r 【思路分析】 （）本小题难度较小，比较容易理解题意，但需要注意运算。首先应该根 据所给容器的体积把圆柱的高l用r表示出来，再求出y关于r的函数表达式。而函数的定 义域应由2lr解出，同时注意0r； （）由（）得到的y关于r的函数表达式，要求y 最小时 r 的值，需要考虑运用导数 求函数的最值。因

31、为0y得到的 3 20 2 r c 与函数的定义域的关系不能确定，因此需要 分类讨论。 解析： （）由题意可知 23 480 () 33 r lrlr 2，即 2 8 04 2 33 lrr r ，则02r. 容器的建造费用为 22 2 804 2346()4 33 yrlrcrrr c r ， 即 22160 84yrr c r ，定义域为02rr. （） 2 160 168yrrc r ，令0y，得 3 20 2 r c . 令 3 20 2, 2 r c 即4.5c， （1）当34.5c时， 3 20 2, 2c 当02r，0y，函数y为减函数，当2r时 y有最小值； （2）当4.5c时

32、， 3 20 2, 2c 当 3 20 0 2 r c ，0y；当 3 20 2 r c 时0y， 此时当 3 20 2 r c 时y有最小值。 22. （本小题满分12 分）已知动直线l与椭圆C： 22 1 32 xy 交于 1122 ,P x yQ xy两 不同点，且OPQ的面积 6 2 OPQ S，其中O为坐标原点 （）证明： 22 12 xx和 22 12 yy均为定值； （）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值； （） 椭圆C上是否存在三点,D E G，使得 6 2 ODEODGOEG SSS？若存在，判 断DEG的形状；若不存在，请说明理由 【思路分析】这个题目关键是做好第（）

33、问，由于第（）问作为起点比前几年第（） 问高了些 （前几年第 （） 问多数为求曲线方程，比较简单， 而今年的第 （） 问思维量大、 运算量大，还需要进行分类讨论），所以考生普遍感到较难事实上，第（）问完全可以 通过特殊情况的研究获得正确的结果，做第（）， （）问时只要充分利用第（）问的结 果，是不难做好的 解析： （）当直线l的斜率不存在时，,P Q两点关于x轴对称，则 1212 ,xxyy， 由 11 ,P xy在椭圆上，则 22 11 1 32 xy ，而 11 6 2 OPQ Sx y，则 11 6 ,1 2 xy 于是 22 12 3xx， 22 12 2yy. 当直线l的斜率存在，设

34、直线l为ykxm，代入 22 1 32 xy 可得 22 23()6xkxm，即 222 (23)6360kxkmm，0，即 22 32km 2 1212 22 636 , 2323 kmm xxx x kk 222 121212 11()4PQkxxkxxx x 22 2 2 2 6 32 1 23 km k k 2 1 m d k ， 22 2 112 6 326 22232 POQ km SdPQm k 则 22 322km，满足0 2 2222 12121222 63(2) ()2()23 2323 kmm xxxxx x kk ， 222222 121212 222 (3)(3)4(

35、)2 333 yyxxxx， 综上可知 22 12 3xx， 22 12 2yy. （） ）当直线l的斜率不存在时，由（）知 1 6 26; 2 OMxPQ 当直线l的斜率存在时，由（）知 12 3 22 xxk m ， 2 1212 31 () 222 yyxxk kmm mm ， 2 2 221212 222 9111 ()()(3) 2242 xxyyk om mmm 222 2 2 2222 24(32)2(21)1 (1)2(2) (23) kmm PQk kmm 22 22 1125 (3)(2) 4 OMPQ mm ，当且仅当 22 11 32 mm ，即2m时等号 成立，综上可

36、知OMPQ的最大值为 5 2 。 （）假设椭圆上存在三点,D E G，使得 6 2 ODEODGOEG SSS， 由（）知 222222 3,3,3 DEEGGD xxxxxx， 222222 2,2,2 DEEGGD yyyyyy. 解得 222 3 2 DEG xxx, 222 1 DEG yyy， 因此, DEG xxx只能从 6 2 中选取，, DEG yyy只能从1中选取， 因此,D E G只能从 6 (, 1) 2 中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点， 这与 6 2 ODEODGOEG SSS相矛盾， 故椭圆上不存在三点,D E G，使得 6 2 ODEODGOEG

37、 SSS。 【解后反思】 （）这是大多数学生熟悉的解法，特别是从特殊情况讨论的办法，值得同学 们重视 一般地， 定值问题都可以利用特殊情况确定这个定值，使对一般情况的研究有了方 向 解法二：若使用面积公式 11 16 | 22 OPQ Smxx，其中 11 2 | 23 xx k ，同样能 得到 22 322km，这个办法可以使运算量减小，应该适当考虑这个办法一般地，用割 补法求三角形的面积时，分割线段最好在坐标轴上 考虑利用三角形的面积公式 1 sin 2 SabC，于是把点转化为向量，利用向量的夹角公 式 证明： 2222 1122 1 sin 2 OPQ SxyxyPOQ 22222 1

38、122 1 1cos 2 xyxyPOQ 22221212 1122 2222 1122 1 1 2()() x xy y xyxy xyxy 22222 11221212 1 ()()() 2 xyxyx xy y 2 1221 16 () 22 x yx y， 2 1221 ()6x yx y， 即 2222 12211212 62x yx yx x y y，又 22 11 236xy， 22 22 236xy， 222222222222 112212122112 23)(23)46()9xyxyx xx yx yy y( 2222 12121212 436 12936x xx x y y

39、y y， 2 1212 3)0x xy y(2， 1212 30x xy y2， 222222 121212 (26)(26)94xxy yx x，整理得， 22 12 3xx， 又 2222 1212 2()3()12xxyy， 22 12 2yy 解法优点是不需要分类讨论，但是计算比较麻烦，变形技巧较高，不容易掌握，若是 利用三角换元法对 2 1221 ()6x yx y进行变形，可以避开较高的技巧，于是有下面的解法 三 解法三：推导 2 1221 ()6x yx y的过程同解法 根据椭圆的标准方程，令 1 3cosx， 1 2siny， 2 3cosx， 2 2siny， 则 222 1

40、221 ()( 6cossin6sincos )6sin ()6x yx y， 2 sin ()1，cos()0， 2222 12 1cos21cos2 3(coscos)3() 22 xx 3 32cos()cos()3 2 ， 又 2222 1212 2()3()12xxyy， 22 12 2yy 或者由cos()0得 2 k，kZ， 222222 12 3(coscos)3(cossin)3xx， 又 2222 1212 2()3()12xxyy， 22 12 2yy （）做第（）问应该充分利用第（）问的结论： 解法三：直接坐标化可以顺利利用第（）问的结果，但是计算比较复杂： 22222

41、2 1212 1212 | |()() ()() 22 xxyy OMPQxxyy 2222 12121212 1 ()() ()() 4 xxyyxxyy 22222222 1212121212121212 1 (22)(22) 4 xxyyx xy yxxyyx xy y 12121212 1 (522)(522) 4 x xy yx xy y 2 1212 125 254() 44 x xy y， 当且仅当 1212 0x xy y时取等号， 结合第（） 问 1212 30x xy y2可得 1212 0x xy y， 此时 1 | 0x， 2 |3x， 1 | 0y， 2 |2y，符合条件 因此，|OMPQ的最大值为 5 2 精品推荐强力推荐值得拥有