最新-中考专题复习——与圆有关的计算与证明精品.pdf

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1、中考专题复习与圆有关的计算与证明 【中考要求及命题趋势】 1、理解圆的基本概念与性质。 2、求线段与角和弧的度数。 3、圆与相似三角形、全等三角形、三角函数的综合题。 4、直线和圆的位置关系。 5、圆的切线的性质和判定。 6、三角形内切圆以及三角形内心的概念。 7、圆和圆的五种位置关系。 8、两圆的位置关系与两个圆半径的和或差与圆心距 之间的关系式。两圆相切、相交的性质。 9、掌握弧长、扇形面积计算公式。 10 、理解圆柱、圆锥的侧面展开图。 11、掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积计算。 2018 年中考将继续考查圆的有关性质，其中圆与三角形相似（全等）。三角函数的小综合 题为考查重点；直线和圆

2、的关系作为考查重点，其中直线和圆的位置关系的开放题、探究题是 考查重点；继续考查圆与圆的位置五种关系。对弧长、扇形面积计算以及圆柱、圆锥的侧面积 和全面积的计算是考查的重点。 【应试对策】 圆的综合题，除了考切线、弦切角必须的问题。一般圆主要和前面的相似三角形，和前面 大的知识点接触。直线和圆以前的部分是重点内容，后面扇形的面积、圆锥、圆柱的侧面积， 这些都是必考的，后面都是一些填空题和选择题，考查对扇形面积公式、圆锥、圆柱的侧面积 的公式记忆。圆这一章重要的概念、定理先掌握、后应用，掌握之后，再掌握一些解题思路和 解题方法。 第一：有三条常用辅助线，一是圆心距，二是直径圆周角，第三条是切线径

3、。第二：有几 个分析思路：弧、常与圆周角互相转换；那么怎么去应用，就根据题目条件而定。 【复习要点】 1、圆的有关概念： （1）圆上任意两点间的部分叫弧，_的弧叫优弧，_的弧称为劣弧。 （2）_的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 （3）_的角叫做圆心角；顶点在圆上且两边_的角叫做圆周角。 2、圆的对称性： （1） 圆是轴对称图形， 其对称轴是 _ _；（2） 圆是中心对称图形， 其对称中心是 _。 3、垂径定理及推论 垂径定理：垂直于弦的直径_弦，并且平分_。 推论：平分弦（不是直径）的直径_这条弦，并且平分_ 4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧

4、、 两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 如图所示： AB,CD是 O的两条弦， OE,OF为 AB,CD的弦心距， 根据圆心角， 弧， 弦和弦心距之间的关系定理填空： （1）如果 AB=CD, 那么 _, _, _ （2）如果 OE=OF, 那么 _, _, _ （3）如果弧AB= 弧 CD ，那么 _, _, _ 5、圆周角定理及推论： （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 _, 如图， ACB=_ （2） 推论：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角_, 直径所对的圆周角是_， 90的圆周角所对的弦是_, 所对的弧

5、是 _. 6、确定圆的条件 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_、这个圆的圆心叫做三 角形的、这个三角形是圆的 . 7、点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 其中 r 为圆的半径，d 为点到圆心的 距离， 位置关系点在圆内点在圆上点在圆外 数量（ d 与 r ）的大小关系dr dr d r 8、直线和圆的位置关系： 直线和圆的位置关系相离相切相交 公共点个数_ _ _ 公共点名称无_ _ 直线名称无_ _ 判定条件_ _ _ 9 、切线的判定与性质 判定切线的方法有三种：利用切线的定义：即与圆有惟一公共点的直线是圆的切线。 到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。经过半径

6、的外端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的五个性质：切线与圆只有一个 公共点；切线到圆心的距离等于圆的半径；切线垂直于经过切点的半径； 经过圆心垂直于切线的直线必过切点。经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 O D C F A B E O C A B 10、切线长定理 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长. 过圆外 一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 . 11、三角形内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 . 12、圆和圆的位置关系： 位置外离外切相交内切内含 公

7、共点个数_ _ _ _ _ d 与 R、r 数量关系_ _ _ _ _ 性质无 连心线必过 切点 连心线垂直 平分公共弦 连心线必过 切点 无 13、正多边形与圆 1、正多边形的定义: 、的多边形叫做正多边形。 2、正 n 边形：如果一个正多边形有n 条边，那么这个正多边形叫做。 3、正多边形的中心: 是正多边形的中心。 4、正多边形的半径: 是正多边形的半径。 5、正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的叫做正多边形的中心角。 6、正多边形的边心距：到的距离叫做正多边形的边心距。 7、任何一个正多边形都有一个和一个 ,这两个圆是 . 8、正多边形的边心距与相等。 14、弧长和扇形面积 1

8、. 圆的周长 为，1的圆心角所对的弧长为，n的圆心角所对 的弧长为，弧长公式为 . 2. 圆的面积 为，1的圆心角所在的扇形面积为，n的圆心角所在的 扇形面积为S= 2 R = = . 3. 圆柱的侧面积公式：S=2 rl. （其中r为的半径， l 为的高） 4. 圆锥的侧面积公式：S=rl. （其中r为的半径， l为 的长） 5. 弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做。 （2）弓形的周长 （3）弓形的面积 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1 所示， s弓形= 当弓形所含的弧是优弧时，如图2 所示， s弓形 当弓形所含的弧是半圆时，如图3 所示， s

9、弓形 【备考指导】 1、“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理” 来寻找三者之间的等量关系，在一个圆中，若知圆的半径为R，弦长为a，圆心到此弦的距离 为 d，?根据垂径定理，有R 2=d2+（ 2 a ） 2，所以三个量知道两个，就可求出第三个同时其中 还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系所以，在求解圆中相关线段 的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理 和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角 形的问题 2、证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直

10、线与圆有一个公共点时，把圆心和 这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（ 2）当直线 和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，?再证圆心到直线的距离等于半径，简称 “作垂线，证半径” 3、面积的计算往往是不规则图形，不易直接求出，?所以要将其转化为与其面积相等的规 则图形，等积转化的一般方法是：（ 1）利用平移、 ?旋转或轴对称等图形变换进行转化；（2）? 根据同底（等底）同高（等高）的三角形的面积相等进行转化；（3）利用几个规则图形的面积 和或差求不规则图形的面积 【经典例析】 例 1 已知：如图， ABC 是O 的内接三角形， AD BC 于 D，A

11、E是 O 的直径，若SABC=S，O 的半径为R （1）求证： AB AC=AD AE ； （2）求证： AB AC BC=4RS 【解析】 （1）本题要证明的结论是“等积式”，?通常的思路是把等 积式转化成比例式，再找相似三角形 （2）利用（ 1）的结论和三角形的面积公式 例 2 如图所示， AB是O直径，OD 弦BC于点F， 且交O于点E， 若A E CO D B （1）判断直线BD和O的位置关系，并给出证明； （2）当108ABBC，时，求BD的长 【答案】（1）直线BD和O相切 证明： AECODB，AECABC， ABCODBOD BC， 90DBCODB90DBCABC 即90DB

12、O直线BD和O相切 （2）连接AC AB是直径， 90ACB 在RtABC中，108ABBC， 22 6ACABBC 直径10AB， 5OB 由（ 1） ，BD和O相切， 90OBD90ACBOBD 由（ 1）得ABCODB， ABCODB ACBC OBBD 68 5BD ，解得 20 3 BD 【点评】圆的切线有三种判定方法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；到圆心的距 离等于半径的直线是圆的切线；过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的 切线在证明时 一定要根据题目已知条件合理选择 例 3 如图，已知AB是O 的直径，点C在O 上，且 AB=13 ，BC=5 （1）求 sin BAC的值

13、； （2）如果 OD AC ，垂足为点D，求 AD的 长； （3）求图中阴影部分的面积（精确到01） 【答案】解： （1）AB是O 的直径， ACB=90 sin BAC= 5 13 BC AB （2）在 RtABC中， AC= 2222 135ABBC =12 又OD AC 于点 D， AD=1 2 AC=6 （3）S半圆= 1 2 （ 2 AB ） 2 = 1 2 169 4 = 169 8 SABC= 1 2 AC BC=1 2 125=30， S阴影=S半圆SABC = 169 8 30 36.3 点评“直径所对的圆周角为90”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有 关知识结合起

14、来因此对这部分知识应加以重视 例 4 已知扇形的圆心角为120，面积为300cm 2 （1）求扇形的弧长； （2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？ 解析： （1）由 S扇形= 2 360 n Rp 求出 R，再代入 L= 180 n Rp 求得 （2）若将此 扇形卷成一个圆锥，?扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其 截面是一个以底是直径，?圆锥母线为腰的等腰三角形解答如下：（ 1）如图所 示： 300= 2 120 360 R ； R=30；弧长 L= 12030 180 =20（cm） （2）如 右图所示：20=20r ； r=10 ，R=30 。 AD=

15、900 100=202S轴截面= 1 2 BC AD=1 2 2 10 202=2002（cm 2） ；因此，扇形的弧长是 20cm 卷成圆锥的轴截面是 2002cm 2 反思： 圆锥、扇形、圆之间的换算是中考中的热点、常考点，需同学们理清平面与立体之 间的变换和实质，熟悉公式并能利用题目中的数据代替公式中的量来解题。 【迎考精炼】 一、选择题： 1. （2018 年湖北孝感）如图， O是 ABC的外接圆，已知B 60，则 CAO 的度数是 ( ) A15 B30 C45 D60 2 （2018 安徽省中中考） 如图， O 过点 B 、C。圆心O在等腰直 角 ABC 的内部，BAC 90 0

16、， OA 1， BC 6，则O 的半 径 为（） A）10B）32C）23D）13 3 （2018 安徽蚌埠二中）以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将 弧BC折叠后与直径AB交于点D，若 3 2 DB AD ，且10AB， 则CB的 长为 A54 B34 C24 D 4 4.（2018 年山东青岛） 一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其 中有水部分水面宽0.8 米， 最深处水深0.2 米， 则此输水管道的直径是（） A0.4 米 B0.5 米 C0.8 米D1 米 5. （2018 年湖北襄樊）如图， AB是 O的直径，点D在AB的延长线上，DC切O于C，若 25A则D等于（） A

17、40B50C60 D 70 6. （2018 年浙江台州） 大圆半径为6，小圆半径为3，两圆 圆心距为10，则这两圆的位置关系为（） A外离 B外切相交 D内含 7（2018 河北） 如图 3，在 55 正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是 A点PB点QC点R D点M 8. （2018 湖北武汉） 如图，的直径AB长为 10，弦 AC长为 6， ACB的平分线交O于 D，则 CD的长 为（） A、7 B、7 2 C、8 2 D、9 9.（2018 广西梧州） 如图 6，AB是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论一定正确的个数 有CE=DE；BE=OE； CB

18、 =BD ；CAB=DAB；AC=AD。 （） A4 个B3 个C2 个D1 个 10. （2018四川攀枝花）如图， ABC 内接于 O，若 OA 28，则 C的大小是（） A56B62C28D32 二、填空题： 1. （2018 山东青岛）如图，点A、B、C在O上，若BAC = 24，则BOC = 48 2. （2018 杭州）如图 , 已知ABC,6BCAC，90CO是AB的中点，O与 AC，BC分别相切于点D与点E点F是O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长 线于点G. 则CG . 33 2 3( 株洲市 2018) 两圆的圆心距5d，它们的半径分别是一元二次方程 2 540xx

19、的两个 根，这两圆的位置关系是外切 4.( 兰州市 2018) 如图，扇形OAB ， AOB=90 ， P 与 OA 、OB分别相切于点F、E，并且与弧 AB切于点 C，则扇形OAB的面积与 P的面积比是 5.( 黄冈市 2018) 将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱 的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是_cm. 10. 2 3 三、解答题 （第 9 题） B C D E O A O A B C 第 1 题图 M R Q 第 7 A B C P B C A O 第 10 题 1. (2018 年四川内江 ) 如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC与 BD

20、相交于点 E、F 在 AC上， AB AD ， BFC BAD 2DFC. 求证： （1）CD DF； （2）BC 2CD 证明： （1）设 DFC ，则 BAD 2 在 ABD中， AB AD ， ABD ADB ABD 12（180- BAD ） 90- 又 FCD ABD 90- FCD+ DFC 90 CD DF （2）过 F 作 FG BC于 G 在 FGC和 FDC中 ， FCG ADB ABD FCD FGC FDC 90,FCFC FGC FDC GC CD且 GFC DFC 又 BFC 2DFC GFB GFC BC 2GC ， BC 2CD. 2. (2018年毕节地区 )

21、 （本题 12 分）如图，已知CD是ABC中AB边上的高，以CD为直径的 O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点求证：GE是O的切线 证明： （证法一） 连接OEDE， 1分 CD是 O的直径， 90AEDCED 2分 G是AD的中点， 1 2 EGADDG 4分 12 6分 34OEOD， 8分 1324即90OEGODG 10分 GE是 O的切线 12分 （证法二） 连接OEOG，1 分 AGGDCOOD， OGAC2 分 1234，4 分 OC=OE 2=4 1=36 分 又OEODOGOG， OEGODG8 分 90OEGODG 10 分 GE是 O的切线12 分 3. （20

22、18 年湖北仙桃）如图， AB为 O的直径， D是 O上的一点，过O点作 AB的垂线交AD 于点 E ，交 BD的延长线于点C，F 为 CE上一点，且FDFE (1) 请探究 FD与 O的位置关系，并说明理由； (2) 若 O的半径为2，BD 3 ，求 BC的长 解： （1）FD与 O相切，理由如下： 连接 OD.OC AB ， AOC 90， 3+A90. FE FD， 1 2. 又 2 3， 1 3，又 OA OD ， A 4. 1+490， FD与 O相切 . （2） O的半径为2， OB 2，AB 4，又 AB是 O的直径， ADB 90. OC AB ， ADB BOC 90，又 B

23、 B，RtABDRt CBO ABCB BDBO ，即 4 23 CB ， 8 3 3 BC. 4. （2018 济宁市）（6 分） 如图， AD为 ABC 外接圆的直径，ADBC ，垂足为点 F， ABC 的平分线交AD于点E，连接BD， CD . (1) 求证： BD CD ； (2) 请判断 B，E， C 三点是否在以D为圆心， 以DB为半径的圆上？并说明理由. A B C E F D ( 第 4 题) （1）证明：AD为直径，ADBC， BDCD. BDCD. 3 分 （2）答：B，E， C 三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上 . 4 分 理由：由（ 1）知：BDCD，BADCBD.

24、 DBECBDCBE，DEBBADABE，CBEABE， DBEDEB. DBDE. 6 分 由（ 1）知： BDCD. DBDEDC. B，E， C 三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 7 分 5. （宿迁市2018） （本题满分10 分）如图，AB是O的直径， P为AB延长线上任意一点，C 为半圆ACB的中点，PD切O于点D，连结CD 交AB于点E 求证：（1）PD=PE； （2）PBPAPE 2 证明： (1) 连接 OC 、OD 1 分 OD PD ， OC AB PDE=90 ODE ， PED= CEO=90 C 又 C=ODE PDE= PED 4 分 PE=PD 5 分 (

25、2) 连接 AD 、BD 6 分 ADB=90 BDP=90 ODB ， A=90 OBD 又 OBD= ODB BDP= A PDB PAD 8 分 PD PA PB PD PBPAPD 2 PBPAPE 2 10 分 6( 株洲市 2018)（本题满分8 分）如图，AB是Oe的直径，C 为圆周上一点，30ABC，Oe过点B的切线与CO的延长 线交于点D 求证： （1）CABBOD； （2）ABCODB 证明： （1）AB是O的直径，90ACB，由30ABC，60CAB 又OBOC，30OCBOBC60BOD，CABBOD 4 分 （2）在Rt ABC中，30ABC，得 1 2 ACAB，又

26、 1 2 OBAB，ACOB 由BD切O于点B，得90OBD 在ABC和ODB中， CABBOD ACBOBD ACOB ABCODB 8 分 7( 黄冈市 2018)（6 分）如图，点P为 ABC的内心，延长AP交 ABC 的外接圆于D，在 AC延长线上有一点E，满足 AD 2 AB AE ，求证： DE是 O的切线 . 证明：连结DC ，DO并延长交 O于 F，连结 AF.AD2AB AE ， BAD DAE ， BAD DAE ， ADB E. 又 ADB ACB ， ACB E，BC DE ， CDE BCD BAD DAC ，又 CAF CDF ， FDE CDE+ CDF DAC+

27、 CDF DAF 90， 故 DE是 O的切线 8.( 兰州市 2018) （本题满分10 分）如图，已知AB是 O的直径，点C 在 O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P ，AC=PC ， COB=2 PCB. （1）求证： PC是 O的切线； （2）求证： BC= 2 1 AB ； （3）点 M是弧 AB的中点， CM交 AB于点 N，若 AB=4，求 MN MC 的值 . 解： （1） OA=OC, A=ACO COB=2 A , COB=2 PCB A=ACO= PCB 1 分 AB是 O的直径 ACO+ OCB=90 2 分 PCB+ OCB=90 , 即 OC CP 3 分 OC

28、是 O的半径 PC是 O的切线4 分 （ 2） PC=AC A=P A=ACO= PCB= P COB= A+ACO,CBO= P+PCB CBO= COB 5 分 BC=OC BC= 2 1 AB 6 分 D C B O A ? P B A E O C D (3)连接 MA,MB 点 M是弧 AB的中点 弧 AM= 弧 BM ACM= BCM 7 分 ACM= ABM BCM= ABM BMC= BMN MBN MCB BM MN MC BM BM 2=MC MN 8 分 AB是 O的直径，弧AM= 弧 BM AMB=90 ,AM=BM AB=4 BM= 22 9 分 MC MN=BM 2=

29、8 10 分 参考答案 1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.A 6. 7.B 8.B 9.A 10.B 【链接中考】 1. （2018 广东广州， 24，14 分）如图，O的半径为1，点P是O上一点，弦AB垂直平分线 段OP，点D是 APB 上任一点（与端点A、B不重合），DEAB于点 E，以点D为圆心、DE长为 半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点C （1）求弦AB的长； （2）判断ACB是否为定值，若是，求出ACB的大小；否则，请说明理由； （3）记ABC的面积为S，若 2 S DE 43，求ABC的周长 . 【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则OAF为

30、直角三角形，且OA1，OF 1 2 ， 借助勾股定理可求得AF的长； （2）要判断ACB是否为定 值，只需判定CABABC的值是否是定值，由于D是ABC的 内切圆，所以AD和 BD分别为CAB和ABC的角平分线，因此只要DAEDBA是定值，那 么CABABC就是定值，而DAEDBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于AOB值的一 半； （3）由题可知 ABDACDBCD SSSS 1 2 DE (ABACBC) ，又因为 2 43 S DE ，所 以 2 1 () 2 4 3 DE ABACBC DE ，所以ABACBC8 3DE，由于DHDGDE，所以在 Rt CDH中，CH3DH3DE，同理

31、可得CG3DE，又由于AGAE，BEBH，所以ABACBC CGCHAGABBH 2 3DE 2 3 ，可得8 3DE 2 3DE 2 3 ，解得：DE 1 3 ，代入 ABACBC 8 3DE ，即可求得周长为 8 3 3 【答案】解： （1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA1 弦AB垂直平分线段OP，OF 1 2 OP 1 2 ，AFBF 在 RtOAF中，AF 22 OAOF 221 1() 2 3 2 ，AB 2AF3 （2）ACB是定值 . 理由：由（ 1）易知，AOB120， 因为点D为ABC的内心，所以，连结AD、BD，则CAB2DAE，CBA2DBA， 因为DAEDB

32、A 1 2 AOB60，所以CABCBA120，所以ACB60； （3）记ABC的周长为l，取AC，BC与D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有 DGDHDE，DGAC，DHBC. ABDACDBCD SSSS 1 2 AB?DE 1 2 BC?DH 1 2 AC?DG 1 2 (ABBCAC) ?DE 1 2 l?DE 2 S DE 43 ， 2 1 2 l DE DE 43 ，l83 DE. CG，CH是D的切线，GCD 1 2 ACB30， 在 RtCGD中，CG tan 30 DG 3 3 DE 3DE，CHCG3DE 又由切线长定理可知AGAE，BHBE， lABBCAC2

33、3 23DE83DE，解得DE 1 3 ， ABC的周长为 8 3 3 【涉及知识点】垂径定理勾股定理内切圆切线长定理三角形面积 【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合 在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较 大的综合题 2. （楚雄州本小题 13 分）已知： 如图， A与y轴交于 C、D两点， 圆心 A的坐标为 （1，0） ， A的半径为5，过点 C作 A的切线交x轴于点 B（ 4，0） C P D O B A E F C P D O B A E H G （1）求切线BC的解析式； （2）若点 P是第一象限内

34、A上的一点， 过点 P作 A的切线与直线BC相交于点G ，且 CGP=120 ，求点G的坐标； （3）向左移动 A （圆心 A始终保持在x轴上） ，与直线 BC交于 E、F，在移动过程中是否 存在点 A，使 AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由 解： （1）如图 1 所示，连接AC ，则 AC=5 在 RtAOC中， AC=5，OA=1 ，则 OC=2 点 C的坐标为（ 0，2） 设切线 BC的解析式为bkxy，它过点C（0，2） ，B（- 4，0） ，则有 04 2 bk b 解之得 2 2 1 b k 2 2 1 xy4 分 （2）如图 1 所示，设点G的坐标为

35、（a,c）, 过点 G作 GH x轴，垂足为H点， 则 OH=a, GH=c= 2 1 a + 2 5 分 连接 AP, AG 因为 AC=AP , AG=AG , 所以 Rt ACG RtAPG (HL) 所以 AGC= 2 1 120 0=600 在 RtACG中 ， AGC= 60 0，AC= 5 Sin60 0= AG AC AG = 3 152 6 分 在 RtAGH 中, AH=OHOA=a1 ，GH= 2 1 a+ 2 2 AH+ 2 GH= 2 AG 2 ) 1(a+ 2 )2 2 1 (a= 2 ) 3 152 ( 解之得： 1 a= 3 32 , 2 a= - 3 32 (

36、 舍去 ) 7 分 点 G的坐标为（ 3 32 , 3 3 + 2 ）8 分 (3) 如图 2 所示，在移动过程中，存在点A ，使 AEF为直角三角形. 9 分 要使 AEF为直角三角形 AE=AF AEF=AFE 90 0 只能是 EAF=90 0 当圆心 A在点 B的右侧时，过点A作 AM BC,垂足为点M. 在 RtAEF中 ，AE=AF=5, 则 EF=10， AM= 2 1 EF= 2 1 10 在 RtOBC 中,OC=2 , OB=4, 则 BC=2 5 BOC=BMA=90 0 ， OBC=OBM BOC BMA AM OC = AB BC AB=2 2 5 OA=OB AB=

37、42 2 5 点 A的坐标为（ 4+2 2 5 ，0）11 分 当圆心 A在点 B的左侧时，设圆心为A ，过点A作 AM BC于点 M ，可得 AM B AMB ABAB 2 2 5 O A=OB+ AB =4 +2 2 5 点 A的坐标为（42 2 5 ，0） O A C B D x y G P H 图 1 综上所述，点A的坐标为（ 4+2 2 5 ，0）或（ 42 2 5 ， 0） 13 分 3.（2018 年山东省日照市） ( 本题满分10 分) 如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC与E，交BC与D 求证： （1）D是BC的中点； （2）BECADC； （3）BC 2=2

38、AB CE 【解答】 （1）证明：AB是O的直径，ADB=90 ， 即AD是底边BC上的 高1 分 又AB=AC，ABC是等腰三角形， D是BC的中点；3 分 (2) 证明：CBE与CAD是同弧所对的圆周角， CBE=CAD5 分 又BCE=ACD， BECADC；6 分 （3）证明：由BECADC，知 BC CE AC CD ， 即CDBC=ACCE 8 分 D是BC的中点，CD= 2 1 BC 又 AB=AC，CDBC=ACCE= 2 1 BCBC=ABCE 即BC 2 =2ABCE10 分 【涉及知识点】 圆周角定理： 直径所对的圆周角为90； 同弧所对的圆周角相等两个定理 的应用。相似

39、三角形的判定和性质定理。 【点评】此题是应用与圆有关的角相等，证明相似从而证明比例式、乘积式的成立。 4. （2018 年四川省成都市） （本题满分10 分）已知： 如图，ABC内接于O，AB为直径， 弦CEAB于F，C是AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分 别交CE、BC于点P、Q （1）求证：P是ACQ的外心； （2）若 3 tan,8 4 ABCCF, 求CQ的长； （3）求证： 2 ()FPPQFP FG 【解答】 （1）证明： C是AD的中点，ACCD， CAD= ABC AB是 O的直径， ACB=90 。 CAD+ AQC=90 又 CE AB ， ABC

40、+ PCQ=90 ， AQC= PCQ ，在 PCQ中， PC=PQ ， CE 直径 AB ， A CA E， A E C D， CAD= ACE 。 在 APC中，有 PA=PC ， PA=PC=PQ， P是 ACQ 的外心。 （2）解： CE 直径 AB于 F， 在 RtBCF中，由 tan ABC= 3 4 CF BF ，CF=8，得 432 33 BFCF。 由勾股定理，得 22 40 3 BCCFBF， AB是 O的直径， 在 RtACB中，由 tan ABC= 3 4 AC BC ， 40 3 BC，得 3 10 4 ACBC。 易知 RtACB RtQCA ， 2 ACCQ BC， 2 15 2 AC CQ BC 。 （3）证明： AB是 O的直径，ACB=90 DAB+ ABD=90 又 CFAB ， ABG+ G=90 ， DAB= G； RtAFP RtGFB ， AFFP FGBF ，即AFBFFP FG 易知 RtACF RtCBF ， 2 FGAFBF（或由摄影定理得） 2 FCPFFG，由（ 1） ，知 PC=PQ ， FP+PQ=FP+PC=FC 2 ()FPPQFP FG。 【涉及知识点】垂径定理、外心的定义，勾股定理 【点评】本题巧妙将垂径定理及其推论有机的结合起来运用。 精品推荐强力推荐值得拥有