江苏省盐城市、南京市数学一模试卷及解析.pdf

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1、江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请 把答案写在答题纸的指定位置上） 1 （5 分）已知集合 A=x| x（x4）0 ，B= 0，1，5，则 AB= 2 （5 分）设复数 z=a+i（aR，i 为虚数单位），若（ 1+i）?z为纯虚数，则 a 的 值为 3 （5 分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学 六年级 4000名学生中随机抽取 100名学生进行问卷调查， 所得数据均在区间 50， 100 上，其频率分布直方图如图所示， 则估计该县小学六年级学生中每天用于阅 读的时间在 70，8

2、0） （单位：分钟）内的学生人数为 4 （5 分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的 y 的值为 5 （5 分）口袋中有形状和大小完全相同的4 个球，球的编号分别为 1，2，3，4， 若从袋中一次随机摸出2 个球，则摸出的2 个球的编号之和大于4 的概率 为 6 （5 分）若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数p 的值为 7 （5 分）设函数 y=exa 的值域为 A，若 A? 0，+） ，则实数 a 的取值 范围是 8 （5 分）已知锐角 ，满足（tan 1） （tan 1）=2，则 +的值为 9 （5 分）若函数y=sin x 在区间 0，2 上单调递增，则实数

3、 的取值范围 是 10 （5 分）设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，若 an 的前 2017 项中的奇数项和 为 2018，则 S 2017的值为 11 （5 分）设函数 f（x）是偶函数，当x0 时，f（x）=， 若函数 y=f（x）m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，若直线 y=k（x3）上存在一点 P，圆 x2+（y1）2=1上存在一点 Q，满足=3，则实数 k 的最小值为 13 （5 分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶 点称为 “ 晶格点 ” 若 A，B，C，D 四点均位于图中的 “ 晶格点 ”

4、处，且 A，B的位置 所图所示，则的最大值为 14 （5 分）若不等式 ksin 2B+sinAsinC 19sinBsinC对任意 ABC都成立，则实数 k 的最小值为 二、解答题（共6 小题，满分 90 分） 15 （14 分）如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA=CB ，点 M，N 分别是 AB，A1B1的中点 （1）求证： BN平面 A1MC； （2）若 A1MAB1，求证： AB1A1C 16 （14 分）在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c 已知 c= （1）若 C=2B ，求 cosB的值； （2）若=，求 cos（B）的值 17 （14分）有一矩形硬

5、纸板材料（厚度忽略不计） ，一边 AB长为 6 分米，另一 边足够长现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下 的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示， 重叠部分忽略 不计） ，其中 OEMF 是以 O 为圆心、 EOF=120 的扇形，且弧，分别与边 BC ，AD相切于点 M，N （1）当 BE长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积； （ 2 ） 当BE 的 长 是 多 少 分 米 时 ， 折 卷 成 的 包 装 盒 的 容 积 最 大 ？ 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C ：（ab0） 的下顶点为 B，点 M，N 是椭圆

6、上异于点 B的动点，直线 BM，BN分别与 x 轴交 于点 P，Q，且点 Q是线段 OP的中点当点 N 运动到点（）处时，点 Q 的坐标为（） （1）求椭圆 C的标准方程； （2）设直线 MN 交 y 轴于点 D，当点 M，N 均在 y 轴右侧，且=2时，求直 线 BM 的方程 19 （16 分）设数列 an满足 a=an+1an1+ （a2a1）2，其中 n2，且 nN， 为常数 （1）若 an是等差数列，且公差d0，求 的值； （2）若 a1=1，a2=2，a3=4，且存在 r 3，7 ，使得 m?annr 对任意的 n N*都成立，求 m 的最小值； （3）若 0，且数列 an 不是常数

7、列，如果存在正整数T，使得 an+T=an对任意 的 nN*均成立求所有满足条件的数列an中 T的最小值 20 （16 分）设函数 f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，cR） （1）当 c=0时，若函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=1处有相同的切线，求a，b 的值； （2）当 b=3a 时，若对任意 x0（1，+）和任意 a（0，3） ，总存在不相 等的正实数 x1，x2，使得 g（x1）=g（x2）=f（x0） ，求 c 的最小值； （3）当 a=1时，设函数 y=f（x）与 y=g（x）的图象交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点求证： x1x2x2bx

8、1x2x1 选做题 （在 21.22.23.24四小题中只能选做2 题，每小题 10 分，计 20 分请 把答案写在答题纸的指定区域内） 选修 4-1：几何证明选讲 图 21 （10 分）如图，已知 AB为O 的直径，直线 DE与O相切于点 E，AD垂直 DE于点 D若 DE=4 ，求切点 E到直径 AB的距离 EF 选修 4-2：矩阵与变换 22 （10分）已知矩阵 M=，求圆 x2+y2=1在矩阵 M 的变换下所得的曲线方 程 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，直线cos （ +）=1 与曲线 = r（r0）相切，求 r 的值 选修 4-5：不等式选讲 24已知实数 x，y

9、 满足 x2+3y2=1，求当 x+y 取最大值时 x 的值 25 （10 分）如图，四棱锥PABCD的底面 ABCD是菱形， AC与 BD交于点 O， OP底面 ABCD ，点 M 为 PC中点， AC=4 ，BD=2，OP=4 （1）求直线 AP与 BM 所成角的余弦值； （2）求平面 ABM 与平面 PAC所成锐二面角的余弦值 26 （10 分）已知 nN*，nf（n）=Cn 0C n 1+2C n 1C n 2+ +nC n n1C n n （1）求 f（1） ，f（2） ，f（3）的值； （2）试猜想 f（n）的表达式（用一个组合数表示） ，并证明你的猜想 2018 年江苏省盐城市、

10、南京市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请 把答案写在答题纸的指定位置上） 1 （5 分）已知集合 A=x| x（x4）0 ，B= 0，1，5，则 AB= 1 【解答】 解：集合 A= x| x（x4）0 =x| 0x4 ，B= 0，1，5， AB= 1 故答案为： 1 2 （5 分）设复数 z=a+i（aR，i 为虚数单位），若（ 1+i）?z为纯虚数，则 a 的 值为1 【解答】 解： z=a +i， （1+i）?z=（1+i） （a+i）=a1+（a+1）i， 又（1+i）?z为为纯虚数， a1=0即 a

11、=1 故答案为： 1 3 （5 分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学 六年级 4000名学生中随机抽取 100名学生进行问卷调查， 所得数据均在区间 50， 100 上，其频率分布直方图如图所示， 则估计该县小学六年级学生中每天用于阅 读的时间在 70，80） （单位：分钟）内的学生人数为1200 【解答】 解：由频率分布直方图得： 该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 70，80） （单位：分钟）内的频率 为： 1（0.005+0.035+0.020+0.010）10=0.3， 估计该县小学六年级4000 名学生中每天用于阅读的时间在 70，80） （单位：

12、分钟）内的学生人数为： 40000.3=1200 故答案为： 1200 4 （5 分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的 y 的值为1 【解答】 解：根据题意知，执行程序后，输出函数 y=， 当 x=0时，y=e0=1 故答案为： 1 5 （5 分）口袋中有形状和大小完全相同的4 个球，球的编号分别为 1，2，3，4， 若从袋中一次随机摸出2 个球，则摸出的2 个球的编号之和大于4 的概率为 【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4 个球，球的编号分别为 1，2，3， 4， 从袋中一次随机摸出2 个球，基本事件总数n=6， 摸出的 2 个球的编号之和大于4 包含的基本事件有： （1，4

13、） ， （2，3） ， （2，4） ， （3，4） ，共 4 个， 摸出的 2 个球的编号之和大于4 的概率为 p= 故答案为： 6 （5 分）若抛物线y2=2px 的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p 的值为6 【解答】 解：双曲线的方程， a 2=4，b2=5，可得 c= =3， 因此双曲线的右焦点为 F（3，0） ， 抛物线 y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重合， =3，解之得 p=6 故答案为： 6 7 （5 分）设函数 y=exa 的值域为 A，若 A? 0，+） ，则实数 a 的取值 范围是（， 2 【解答】 解：函数 y=e x a 的值域为 A ex=2， 值域为 A

14、= 2a，+） 又A? 0，+） ， 2a0， 即 a2 故答案为：（， 2 8 （5 分）已知锐角 ，满足（tan 1） （tan 1）=2，则 +的值为 【解答】 解：（ tan 1） （tan 1）=2，可得： tan +tan +1=tantan， tan（ + ）=1， 锐角 ， ，可得： + （0， ） ， += 故答案为： 9 （5 分）若函数 y=sin x在区间 0，2 上单调递增，则实数的取值范围是 （0， 【解答】 解：由函数 y=sin x，图象过原点，可得 0 在区间 0，2 上单调递增， ， 即 故答案为：（0， 10 （5 分）设 Sn为等差数列 an 的前 n

15、项和，若 an 的前 2017 项中的奇数项和 为 2018，则 S2017的值为4034 【解答】 解：因为Sn为等差数列 an 的前 n 项和，且 an的前 2017 项中的奇数 项和为 2018， 所以 S奇=a1+a3+a5+ +a2017=1009（a1+a2017）=1009a1009=2018，得 a1009=2 则 S偶=a2+a4+a6+ +a2016=1008（a2+a2016）=1008a1009=10082=2016 则 S2017=S奇+S偶=2018+2016=4034 故答案为： 4034 11 （5 分）设函数 f（x）是偶函数，当x0 时，f（x）=， 若函数

16、 y=f（x）m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 1，） 【解答】 解：由 0x3 可得 f（x） 0， ， x3 时，f（x）（ 0，1） 画出函数 y=f（x）与 y=m 的图象，如图所示， 函数 y=f（x）m 有四个不同的零点， 函数 y=f（x）与 y=m 的图象有 4 个交点， 由图象可得 m 的取值范围为 1，） ， 故答案为： 1，） 12 （5 分）在平面直角坐标系xOy中，若直线 y=k（x3）上存在一点 P，圆 x2+（y1）2=1上存在一点 Q，满足=3，则实数 k 的最小值为 【解答】 解：设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ； 则 y1=k（x13）

17、， +（y21） 2=1； 由=3，得， 即， 代入得+=9； 此方程表示的圆心（ 0，3）到直线 kxy3k=0的距离为 dr； 即3， 解得k0 实数 k 的最小值为 故答案为： 13 （5 分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶 点称为 “ 晶格点 ” 若 A，B，C，D 四点均位于图中的 “ 晶格点 ” 处，且 A，B的位置 所图所示，则的最大值为24 【解答】 解：建立如图的直角坐标系，则A（，） ，B（0，0） ， 那么容易得到 C（0，5）时， D 的位置可以有三个位置，其中D1（，） ， D2（，0） ，D3（，） ， 此时=（，） ，=（，） ，=（

18、，5） ，=（ ，） ， 则?=21，?=24，?=22.5， 则的最大值为 24， 故答案为： 24 14 （5 分）若不等式 ksin 2B+sinAsinC 19sinBsinC对任意 ABC都成立，则实数 k 的最小值为100 【解答】 解： ksin 2B+sinAsinC 19sinBsinC ，由正弦定理可得： kb2+ac19bc， k， 只需 k 大于右侧表达式的最大值即可，显然cb 时，表达式才能取得最大值， 又cbab+c， bcabc， 19+（）=20（）2=100（10） 2， 当=10时，20（） 2 取得最大值 201010 2=100 k100，即实数 k 的

19、最小值为 100 故答案为： 100 二、解答题（共6 小题，满分 90 分） 15 （14 分）如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，CA=CB ，点 M，N 分别是 AB，A1B1的中点 （1）求证： BN平面 A1MC； （2）若 A1MAB1，求证： AB1A1C 【解答】证明： （1）因为 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 ABA1B1，且 AB=A1B1， 又点 M，N 分别是 AB、A1B1的中点，所以 MB=A1N，且 MBA1N 所以四边形 A1NBM 是平行四边形，从而A1MBN 又 BN?平面 A1MC，A1M? 平面 A1MC，所以 BN平面 A1MC； （2

20、）因为 ABC A1B1C1是直三棱柱， 所以 AA1底面 ABC ，而 AA1? 侧面 ABB1A1， 所以侧面 ABB 1A1底面 ABC 又 CA=CB ，且 M 是 AB的中点，所以 CMAB 则由侧面 ABB 1A1底面 ABC ，侧面 ABB1A1底面 ABC=AB ， CMAB，且 CM? 底面 ABC ，得 CM侧面 ABB1A1 又 AB1? 侧面 ABB 1A1，所以 AB1CM 又 AB1A1M，A1M、MC 平面 A1MC，且 A1MMC=M， 所以 AB1平面 A1MC 又 A1C? 平面 A1MC，所以 ABA1C 16 （14 分）在 ABC中，角 A，B，C的对

21、边分别为 a，b，c 已知 c= （1）若 C=2B ，求 cosB的值； （2）若=，求 cos（B）的值 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 因 为c=， 则 由 正 弦 定 理 ， 得 sinC=sinB （2 分） 又 C=2B ，所以 sin2B=sinB，即 2sinBcosB=sinB （4 分） 又 B是ABC的内角，所以 sinB0，故 cosB= （6 分） （2）因为=，所以 cbcosA=bacosC ，则由余弦定理， 得 b2+c 2a2=b2+a2c2， 得 a=c （10 分） 从而 cosB=， （12 分） 又 0B ，所以 sinB= 从而 cos （B+）

22、=cosBcossinBsin= （14 分） 17 （14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计） ，一边 AB长为 6 分米，另一 边足够长现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下 的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示， 重叠部分忽略 不计） ，其中 OEMF 是以 O 为圆心、 EOF=120 的扇形，且弧，分别与边 BC ，AD相切于点 M，N （1）当 BE长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积； （ 2 ） 当BE 的 长 是 多 少 分 米 时 ， 折 卷 成 的 包 装 盒 的 容 积 最 大 ？ 【解答】 解： （1）在图甲中，连

23、接 MO 交 EF于点 T设 OE=OF=OM=R ， 在 RtOET中，因为 EOT= EOF=60 ， 所以 OT= ，则 MT=0MOT= 从而 BE=MT= ，即 R=2BE=2 故所得柱体的底面积S=S扇形OEFSOEF=R 2 R 2sin120 =， 又所得柱体的高 EG=4 ， 所以 V=S EG=4 答：当 BE长为 1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为4立方分米 （2）设 BE=x ，则 R=2x ，所以所得柱体的底面积 S=S扇形OEFSOEF=R 2 R 2sin120 =（）x 2， 又所得柱体的高 EG=6 2x， 所以 V=S EG= （2） （x3+3x 2）

24、，其中 0x3 令 f（x）=x3+3x2，0x3， 则由 f （x）=3x2+6x=3x（x2）=0， 解得 x=2 列表如下： x（0，2）2（2，3） f （x）+0 f（x）增极大值减 所以当 x=2时，f（x）取得最大值 答：当 BE的长为 2分米时，折卷成的包装盒的容积最大 18 （16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C ：（ab0） 的下顶点为 B，点 M，N 是椭圆上异于点 B的动点，直线 BM，BN分别与 x 轴交 于点 P，Q，且点 Q是线段 OP的中点当点 N 运动到点（）处时，点 Q 的坐标为（） （1）求椭圆 C的标准方程； （2）设直线 MN 交 y 轴

25、于点 D，当点 M，N 均在 y 轴右侧，且=2时，求直 线 BM 的方程 【解答】 解： （1）由 N（） ，点 Q 的坐标为（） ，得直线 NQ 的 方程为 y=x， 令 x=0，得点 B 的坐标为（ 0，） 所以椭圆的方程为+=1 将点 N 的坐标（，）代入，得+=1，解得 a2=4 所以椭圆 C的标准方程为+=1 （2） ：设直线 BM 的斜率为 k（k0） ，则直线 BM 的方程为 y=x 在 y=kx中，令 y=0，得 xP=， 而点 Q 是线段 OP的中点，所以 xQ= 所以直线 BN的斜率 kBN=kBQ=2k 联立，消去 y，得（ 3+4k2）x28kx=0，解得 xM= 用

26、 2k 代 k，得 xN= 又=2， 所以 xN=2（xMxN） ，得 2xM=3xN， 故 2=3，又 k0，解得 k= 所以直线 BM 的方程为 y=x 19 （16 分）设数列 an满足 a=an+1an1+ （a2a1）2，其中 n2，且 nN， 为常数 （1）若 an是等差数列，且公差d0，求 的值； （2）若 a1=1，a2=2，a3=4，且存在 r 3，7 ，使得 m?annr 对任意的 n N*都成立，求 m 的最小值； （3）若 0，且数列 an 不是常数列，如果存在正整数T，使得 an+T=an对任意 的 nN*均成立求所有满足条件的数列an中 T的最小值 【解答】 解：

27、（1）由题意，可得 a=（an+d） （and）+d 2， 化简得（ 1）d2=0，又 d0，所以 =1 （2）将 a1=1，a2=2，a3=4，代入条件， 可得 4=14+ ，解得 =0 ， 所以 a=an+1an1，所以数列 an 是首项为 1，公比 q=2的等比数列， 所以 an=2n 1 欲存在 r 3，7 ， 使得 m?2n 1nr，即 rnm?2n1 对任意 nN*都成立， 则 7nm?2n 1，所以 m 对任意 nN*都成立 令 bn=，则 bn+1bn=， 所以当 n8 时，bn+1bn；当 n=8时，b9=b8；当 n8 时，bn+1bn 所以 bn的最大值为 b9=b8=，

28、所以 m 的最小值为； （3）因为数列 an不是常数列，所以T2， 若 T=2，则 an+2=an恒成立，从而 a3=a1，a4=a2， 所以， 所以 （a2a1）2=0，又 0，所以 a2=a1，可得 an 是常数列，矛盾 所以 T=2不合题意 若 T=3，取 an=（*） ，满足 an+3=an恒成立 由 a22=a1a3+ （a2a1） 2，得 =7 则条件式变为 an2=an+1an1+7 由 22=1（ 3）+7，知 a3k12=a3k2a3k+ （a2a1） 2； 由（ 3）2=21+7，知 a3k2=a3k1a3k+1+ （a2a1）2； 由 12=2（ 3）+7，知 a3k+1

29、2=a3ka3k+2+ （a2a1）2； 所以，数列（ *）适合题意 所以 T的最小值为 3 20 （16 分）设函数 f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，cR） （1）当 c=0时，若函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=1处有相同的切线，求a，b 的值； （2）当 b=3a 时，若对任意 x0（1，+）和任意 a（0，3） ，总存在不相 等的正实数 x1，x2，使得 g（x1）=g（x2）=f（x0） ，求 c 的最小值； （3）当 a=1时，设函数 y=f（x）与 y=g（x）的图象交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x1x2）两点求证： x1x2x2bx1x2x1

30、【解答】 解： （1）由 f（x）=lnx，得 f（1）=0，又 f （x）=，所以 f （1）=1， 当 c=0时，g（x）=ax+，所以 g （x）=a， 所以 g （1）=ab， 因为函数 f（x）与 g（x）的图象在 x=1处有相同的切线， 所以，即， 解得 a=，b=； （2）当 x01 时，则 f（x0）0，又 b=3a，设 t=f（x0） ， 则题意可转化为方程ax+c=t（t0）在（0，+）上有相异两实根x1，x2 即关于 x的方程 ax 2（c+t）x+（3a）=0（t0） 在（0，+）上有相异两实根x1，x2 所以，得， 所以 c2t 对 t（0，+） ，a（0，3）恒成立

31、 因为 0a3，所以 22?=3（当且仅当 a=时取等号） ， 又t0，所以 2t 的取值范围是（， 3） ，所以 c3 故 c 的最小值为 3 （3）当 a=1 时，因为函数 f（x）与 g（x）的图象交于 A，B两点， 所以，两式相减，得b=x1x2（1） ， 要证明 x1x2x2bx1x2x1， 即证 x1x2x2x1x2（1）x1x2x1， 即证， 即证 1ln1 令=t，则 t1，此时即证 1lntt1 令 （t）=lnt+1，所以 （t）=0， 所以当 t1 时，函数 （t）单调递增 又 （1）=0，所以 （t）=lnt+ 10，即 1lnt 成立； 再令 m（t）=lntt+1，

32、所以 m （t）=1=0， 所以当 t1 时，函数 m（t）单调递减， 又 m（1）=0，所以 m（t）=lntt+10，即 lntt1 也成立 综上所述，实数 x1，x2满足 x1x2x2bx1x2x1 选做题 （在 21.22.23.24四小题中只能选做2 题，每小题 10 分，计 20 分请 把答案写在答题纸的指定区域内） 选修 4-1：几何证明选讲 图 21 （10 分）如图，已知 AB为O 的直径，直线 DE与O相切于点 E，AD垂直 DE于点 D若 DE=4 ，求切点 E到直径 AB的距离 EF 【解答】 解：如图，连接 AE ，OE ， 因为直线 DE与O相切于点 E，所以 DE

33、 OE ， 又因为 ADDE于 D，所以 ADOE ，所以 DAE= OEA ， 在O中，OE=OA ，所以 OEA= OAE ， （5 分） 由得 DAE= OAE ，即 DAE= FAE ， 又ADE= AFE ，AE=AE ， 所以 ADE AFE ，所以 DE=FE ， 又 DE=4 ，所以 FE=4 ， 即 E到直径 AB的距离为 4 （10 分） 选修 4-2：矩阵与变换 22 （10分）已知矩阵 M=，求圆 x2+y2=1在矩阵 M 的变换下所得的曲线方 程 【解答】 解：设 P（x0，y0）是圆 x2+y2=1 上任意一点， 则=1， 设点 P（x0，y0）在矩阵 M 对应的变

34、换下所得的点为Q（x，y） ， 则=， 即，解得， （5 分） 代入=1，得=1， 圆 x2+y2=1 在矩阵 M 的变换下所得的曲线方程为=1 （10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在极坐标系中，直线cos （ +）=1 与曲线 =r （r0）相切，求 r 的值 【解答】 解：直线 cos （ +）=1，转化为：， 曲线 =r （r0）转化为： x2+y2=r2， 由于直线和圆相切， 则：圆心到直线的距离d= 所以 r=1 选修 4-5：不等式选讲 24已知实数 x，y 满足 x2+3y2=1，求当 x+y 取最大值时 x 的值 【解答】 解：由柯西不等式，得 x2+（）2 12

35、+（）2 （x?1+） 2， 即（x+y） 2 而 x2+3y2=1，所以（ x+y）2，所以， （5 分） 由，得，所以当且仅当 x=，y=时， （x+y）max= 所以当 x+y 取最大值时 x值为 （10 分） 25 （10 分）如图，四棱锥PABCD的底面 ABCD是菱形， AC与 BD交于点 O， OP底面 ABCD ，点 M 为 PC中点， AC=4 ，BD=2，OP=4 （1）求直线 AP与 BM 所成角的余弦值； （2）求平面 ABM 与平面 PAC所成锐二面角的余弦值 【解答】 解： （1）因为 ABCD是菱形，所以 ACBD又 OP底面 ABCD ， 以 O 为原点，直线

36、OA，OB，OP分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直 角坐标系 则 A（2，0，0） ，B（0，1，0） ，P（0，0，4） ，C （2，0，0） ，M（1，0，2） =（2，0，4） ，=（01，1，2） ， cos，= 故直线 AP与 BM 所成角的余弦值为 （5 分） （2）=（2，1，0） ，=（1，1，2） 设平面 ABM的一个法向量为=（x，y，z） ， 则，令 x=2，得=（2，4，3） 又平面 PAC的一个法向量为=（0，1，0） ， cos = 故平面 ABM与平面 PAC所成锐二面角的余弦值为 （10 分） 26 （10 分）已知 nN*，nf（n）=Cn0C

37、n1+2Cn1Cn2+ +nCnn 1C nn （1）求 f（1） ，f（2） ，f（3）的值； （2）试猜想 f（n）的表达式（用一个组合数表示） ，并证明你的猜想 【解答】 解： （1）由条件， nf（n）=CCCC， 在中令 n=1，得 f（1）=1 在中令 n=2，得 2f（2）=6，得 f（2）=3 在中令 n=3，得 3f（3）=30，故 f（3）=10 （2）猜想 f（n）= 要证猜想成立，只要证等式n=?+2?+ +n?成立 由（1+x）n=+x+x2+ +xn， 两边同时对 x 求导数，可得 n（1+x）n 1= +2x+3x 2+n xn 1， 把 等 式 和 相 乘 ， 可 得 n（ 1+x） 2n1=（ +x+x2+ +x n ） ? （+2x+3x2+nxn 1 ） 等 式 左 边xn的 系 数 为n， 等 式 右 边xn的 系 数 为 ?+?2+?3+ +n?n =?+2?+3?+ +n?=CCCC， 根据等式恒成立，可得n=CCCC 故 f（n）=成立