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1、河南省开封市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 A= 1，3，5，7，B= x| 2x5 ，则 AB 的真子集个数为 （） A2 个 B 3 个 C 4 个 D8 个 2 （5 分）复数在复平面内对应的点在（） A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 3 （5 分）已知向量=（m1，1） ， =（m，2） ，则“m=2 ”是“ ” 的（） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4 （5 分）在 ABC中，a=2，b=，B=，则 A=
2、（） ABC D或 5 （5 分）若，则 sin2 = （） ABC D 6 （5 分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，其中一 个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（） ABC D 7 （5 分）已知曲线=1（a0，b0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线 的距离为，则该双曲线的方程为（） ABx2y2=1 C Dx2y2=2 8 （5 分）我国古代名著庄子 ?天下篇中有一句名言 “ 一尺之棰，日取其半， 万世不竭 ” ，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木 棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7 天后所剩木棍的长 度（单位
3、：尺），则处可分别填入的是（） AB CD 9 （5 分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相 外切，且球 O1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三 个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（） ABC D 10 （5 分）函数 y=xln| x| 的图象大致是（） ABC D 11 （5 分）抛物线 M：y2=4x的准线与 x 轴交于点 A，点 F为焦点，若抛物线M 上一点 P满足 PAPF ， 则以 F为圆心且过点 P的圆被 y 轴所截得的弦长约为 （参 考数据：2.24） （） ABCD 12 （5 分）已知函数，若函数 F
4、 （x）=f（x） 3 的所有零点依次记为x1，x2， x3，xn，且x1x2 x3 xn，则 x1+2x2+2x3+ +2xn1+xn=（） AB445C455D 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 （5 分）则 f（f（2） ）的值为 14 （5 分）已知函数 f（x）=ax 3+bx+1 的图象在点（ 1，f（1） ）处的切线方程为 4xy1=0，则 a+b= 15 （5 分）设 x，y 满足约束条件，且 x，yZ，则 z=3x+5y 的最大 值为 16 （5 分）一个棱长为5 的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小 正四面体，若小正四面体在纸盒内可
5、以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值 为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知正项等比数列 an 满足 a3a9=4a52，a2=1 （）求an 的通项公式； （）记 bn=2nan，求数列 bn 的前 n 项和 Sn 18 （12 分）如图 1，在矩形 ABCD中，AD=2AB=4 ，E是 AD的中点将 ABE沿 BE折起使 A 到点 P的位置，平面 PEB 平面 BCDE ，如图 2 （）求证： PB平面 PEC ； （）求三棱锥 DPEC的高 19 （12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期 间，某购物
6、平台的销售业绩高达1271 亿人民币与此同时，相关管理部门推出 了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200 次成功交易，并 对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商 品和服务都做出好评的交易为80 次 （）完成下面的22 列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服 务好评有关？ 对服务好评对服务不满意合计 对商品好评 对商品不满意 合计200 （）若针对商品的好评率， 采用分层抽样的方式从这200 次交易中取出 5 次交 易，并从中选择两次交易进行客户回访，求至少有一次好评的概率 附： P（K 2k） 0.150.100.050.02
7、50.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 （，其中 n=a+b+c+d） 20 （12 分） 给定椭圆 C ：+=1 （ab0） ， 称圆心在原点 O， 半径为 的圆是椭圆 C的“ 准圆” 已知椭圆 C的离心率，其“ 准圆” 的方程为 x2+y2=4 （I）求椭圆 C的方程； （II）点 P是椭圆 C的“ 准圆” 上的动点，过点 P作椭圆的切线 l1，l2交“ 准圆” 于点 M，N （1）当点 P为“ 准圆” 与 y 轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明 l1 l2； （2）求证：线段 MN 的长为定值 21 （1
8、2 分）已知函数 f（x）=（t1）xe x，g（x）=tx+1ex （）当 t1 时，讨论 f（x）的单调性； （）f（x）g（x）在 0，+）上恒成立，求t 的取值范围 选修 4-4：极坐标与参数方程 22 （10 分）已知直线l：3xy6=0，在以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线C： 4sin =0 （）将直线 l 写成参数方程（t 为参数， 0， ） ， ）的形式， 并求曲线 C的直角坐标方程； （）过曲线 C上任意一点 P作倾斜角为 30 的直线，交 l 于点 A，求| AP| 的最 值 选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式 | x+1|+
9、| 2x1| 3 的解集为 x| mxn （I）求实数 m、n 的值； （II）设 a、b、c 均为正数，且 a+b+c=nm，求+ 的最小值 2018 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）设集合 A= 1，3，5，7，B= x| 2x5 ，则 AB 的真子集个数为 （） A2 个 B 3 个 C 4 个 D8 个 【解答】 解：集合 A=1，3，5，7，B= x| 2x5， 则 AB= 3，5， AB的真子集是 ?， 3， 5 ，共 3 个
10、故选： B 2 （5 分）复数在复平面内对应的点在（） A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 【解答】 解：=， 复数在复平面内对应的点的坐标为（） ，在第四象限 故选： D 3 （5 分）已知向量=（m1，1） ， =（m，2） ，则“m=2 ”是“ ” 的（） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【解答】 解：=（m1，1） ， =（m，2） ， ? m（m1）2=0 由 m（m1）2=0，解得 m=1 或 m=2 “m=2 ”是“ ” 的充分不必要条件 故选： A 4 （5 分）在 ABC中，a=2，b=，B=，则 A=（） ABC D或 【解答
11、】 解：在 ABC中， a=2，b=，B=， 由正弦定理可得： sinA=， A（， ） ， A=或 故选： D 5 （5 分）若，则 sin2 = （） ABC D 【解答】 解：， sin2 = cos（）=cos2（） = 21 =1=12= 故选： C 6 （5 分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，其中一 个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（） ABC D 【解答】解：茎叶图表示的是甲、乙两人在5 次综合测评中的成绩，其中一个数 字被污损， 甲的平均成绩为：=（88+89+90+91+92）=90， 乙的平均成绩超过甲的平均成绩， 设数字被污损
12、为 x， 83+83+87+（90+x）+99450，x8， x=9， 乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为p= 故选： A 7 （5 分）已知曲线=1（a0，b0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线 的距离为，则该双曲线的方程为（） ABx2y2=1 C Dx2y2=2 【解答】解：根据题意，若曲线=1 （a0， b0） 为等轴双曲线， 则 a2=b2， c=a，即焦点的坐标为（a，0） ； 其渐近线方程为 xy=0， 若焦点到渐近线的距离为，则有=a=， 则双曲线的标准方程为=1，即 x2y2=2； 故选： D 8 （5 分）我国古代名著庄子 ?天下篇中有一句名言 “ 一尺之棰，日取其半， 万世
13、不竭 ” ，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木 棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7 天后所剩木棍的长 度（单位：尺），则处可分别填入的是（） AB CD 【解答】 解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下， 由此得出 第 7 次剩下， 可得为 i7？ s= i=i+1 故选： D 9 （5 分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相 外切，且球 O1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三 个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（） ABC D 【解答】 解：由题意可以判断出两球在正方体
14、的面AA1C1C 上的正投影与正方形 相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部 分，由于两球不等，所以排除A；B正确； 故选 B 10 （5 分）函数 y=xln| x| 的图象大致是（） ABC D 【解答】 解：函数 f（x）=xln| x| ，可得 f（x）=f（x） ， f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，D， 当 x0时，f（x）0 ，故排除 B 又 f （x）=lnx+1，令 f （x）0 得：x，得出函数 f（x）在（，+）上是 增函数， 故选： C 11 （5 分）抛物线 M：y2=4x的准线与 x 轴交于点 A，点 F为焦点，若抛物线M
15、 上一点 P满足 PAPF ， 则以 F为圆心且过点 P的圆被 y 轴所截得的弦长约为 （参 考数据：2.24） （） ABCD 【解答】 解：由题意， A（1，0） ，F（1，0） ， 点 P在以 AF为直径的圆 x2+y2=1 上 设点 P的横坐标为 m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x1=0， m0，m=2+， 点 P的横坐标为 2+， | PF | =m+1=1+， 圆 F的方程为（ x1） 2+y2=（ 1） 2， 令 x=0，可得 y=， | EF | =2=2=， 故选： D 12 （5 分）已知函数，若函数 F （x）=f（x） 3 的所有零点依次记为x1，x2， x3，xn，
16、且x1x2 x3 xn，则 x1+2x2+2x3+ +2xn1+xn=（） AB445C455D 【解答】 解：函数， 令 2x=+k得 x=+，kZ，即 f（x）的对称轴方程为 x=+， kZ f（x）的最小正周期为T= ，0x， 当 k=30时，可得 x=， f（x）在 0， 上有 30 条对称轴， 根据正弦函数的性质可知：函数与 y=3的交点 x1，x2关于 对称， x2，x3关于对称， ， 即 x1+x2=2，x2+x3=2， ，xn1+xn=2（） 将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+ +2x28+x29=2 （+ +） = （2+5+8+ +89） =455 则x1+2x2+2
17、x3+ +2xn1+xn=（ x1+x2） +（ x2+x3） +x3+ +xn1+（ xn1+xn） =2 （）=455 ， 故选： C 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 （5 分）则 f（f（2） ）的值为2 【解答】 解：由题意，自变量为2， 故内层函数 f（2）=log3（221）=12， 故有 f（1）=2e1 1=2， 即 f（f（2） ）=f（1）=2e1 1=2， 故答案为2 14 （5 分）已知函数 f（x）=ax 3+bx+1 的图象在点（ 1，f（1） ）处的切线方程为 4xy1=0，则 a+b=2 【解答】 解：函数 f（x）=ax 3+
18、bx+1的导数为 f （x）=3ax 2+b， f（x）的图象在点（ 1，f（1） ）处的切线方程为4xy1=0， 可得 3a+b=4，f（1）=3=a+b+1， 解得 a=1，b=1， 则 a+b=2 故答案为： 2 15 （5 分）设 x，y 满足约束条件，且 x，yZ，则 z=3x+5y 的最大 值为13 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图， 作出直线 3x+5y=0， x，yZ， 平移直线 3x+5y=0至（1，2）时，目标函数z=3x+5y 的最大值为 13 故答案为： 13 16 （5 分）一个棱长为5 的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小 正四面体，若小正四面体在纸
19、盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值 为 【解答】解：在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意 转动， 小正四面体的外接球是纸盒的内切球， 设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a， 纸盒的内切球半径是=， 设小正四面体的棱长是x，则=x，解得 x=， 小正四面体的棱长的最大值为， 故答案为： 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知正项等比数列 an 满足 a3a9=4a52，a2=1 （）求an 的通项公式； （）记 bn=2nan，求数列 bn 的前 n 项和 Sn 【解答】 解： （）正项等比数列 an
20、 满足 a3a9=4a52，a2=1 则：， 解得：， 所以：； （）由于：， 则：=n?2n 1， 所以：+ +n?2n 1， 则：+ +n?2n 得：， 即： 18 （12 分）如图 1，在矩形 ABCD中，AD=2AB=4 ，E是 AD的中点将 ABE沿 BE折起使 A 到点 P的位置，平面 PEB 平面 BCDE ，如图 2 （）求证： PB平面 PEC ； （）求三棱锥 DPEC的高 【解答】 解： （）证明： AD=2AB ，E为线段 AD的中点， AB=AE ， 取 BE中点 O，连接 PO ，则 POBE ， 又平面 PEB 平面 BCDE ，平面 PEB 平面 BCDE=BE
21、 ， PO 平面 BCDE ，则 POEC ， 在矩形 ABCD中， AD=2AB ，E为 AD的中点， BE EC ，则 EC 平面 PBE ， EC PB， 又 PB PE ，且 PE EC=E ， PB 平面 PEC （）以 OB所在直线为 x轴，以平行于 EC所在直线为 y 轴，以 OP所在直线为 z轴建立空间直角坐标系， PB=PE=2 ，则 B（，0，0） ，E（，0，0） ，P（0，0，） ，D（2， ，0） ，C（，2，0） ， =（，0，） ，=（，2，） ， cos EPC=，可得： sinEPC=，可得： SEPC=| ?| ?sinEPC=22=2， VPECD=VDE
22、PC，设三棱锥 DPEC的高为 h，则可得：SECD?OP= SEPC?h，可 得：=2h， 解得：三棱锥 DPEC的高 h=1 19 （12 分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017 年双 11 期 间，某购物平台的销售业绩高达1271 亿人民币与此同时，相关管理部门推出 了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200 次成功交易，并 对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商 品和服务都做出好评的交易为80 次 （）完成下面的22 列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服 务好评有关？ 对服务好评对服务不满意合计 对商
23、品好评 对商品不满意 合计200 （）若针对商品的好评率， 采用分层抽样的方式从这200 次交易中取出 5 次交 易，并从中选择两次交易进行客户回访，求至少有一次好评的概率 附： P（K 2k） 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 （，其中 n=a+b+c+d） 【解答】 解： （）根据题意，对商品好评次数为2000.6=120， 对服务好评次数为2000.75=150， 填写 22 列联表如下； 对服务好评对服务不满意合计 对商品好评8040120 对商品不满意701080 合计1505
24、0200 计算 K 2= 11.116.635， 有 99%的把握认为商品好评与服务好评有关； （）根据分层抽样原理，从这200 次交易中取出 5 次交易， 抽取商品好评次数为120=3，不满意次数为2， 分别记为 a、b、c、D、E，从中选择两次交易，基本事件为 ab、ac、aD、aE 、bc、bD、bE、cD、cE、DE共 10 种， 至少有一次好评的事件为 ab、ac、aD、aE 、bc、bD、bE、cD、cE共 9 种， 故所求的概率为 P= 20 （12 分） 给定椭圆 C ：+=1 （ab0） ， 称圆心在原点 O， 半径为 的圆是椭圆 C的“ 准圆” 已知椭圆 C的离心率，其“
25、准圆” 的方程为 x2+y2=4 （I）求椭圆 C的方程； （II）点 P是椭圆 C的“ 准圆” 上的动点，过点 P作椭圆的切线 l1，l2交“ 准圆” 于点 M，N （1）当点 P为“ 准圆” 与 y 轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明 l1 l2； （2）求证：线段 MN 的长为定值 【 解 答 】 解 ： （ I） 由 准 圆 方 程 为x 2+y2=4， 则 a2+b2=4， 椭 圆 的 离 心 率 e=， 解得： a=，b=1， 椭圆的标准方程：； （）证明： （1）准圆 x2+y2=4与 y 轴正半轴的交点为P（0，2） ， 设过点 P（0，2）且与椭圆相切的直线为y
26、=kx+2， 联立，整理得（ 1+3k2）x2+12kx+9=0 直线 y=kx+2 与椭圆相切， =144k249（1+3k2）=0，解得 k=1， l1，l2方程为 y=x+2，y=x+2=1，=1， ?=1，则 l1l2 （2）当直线 l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在， 则 l1：x=， 当 l1：x=时，l1与准圆交于点（，1） （，1） ， 此时 l2为 y=1（或 y=1） ，显然直线 l1，l2垂直； 同理可证当 l1：x=时，直线 l1，l2垂直 当 l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0） ，其中 x02+y02=4 设经过点 P（x0，y0）与椭圆
27、相切的直线为y=t（xx0）+y0， 由得 （1+3t2）x 2+6t（y0tx0）x+3（y0tx0）23=0 由=0化简整理得（3x02）t 2+2x0y0t+1y02=0， x02+y02=4 ，有（ 3x02）t 2+2x0y0t+（x 023）=0 设 l1，l2的斜率分别为 t1，t2， l1，l2与椭圆相切， t1，t2满足上述方程（ 3x02）t2+2x0y0t+（x023）=0， t1?t2=1，即 l1，l2垂直 综合知： l1，l2经过点 P（x0，y0） ，又分别交其准圆于点M，N，且 l1，l2 垂直 线段 MN 为准圆 x2+y2=4的直径， | MN| =4， 线
28、段 MN 的长为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）=（t1）xe x，g（x）=tx+1ex （）当 t1 时，讨论 f（x）的单调性； （）f（x）g（x）在 0，+）上恒成立，求t 的取值范围 【解答】 解： （）由 f（x）=（t1）xex，得 f （x）=（t1） （x+1）ex， 若 t1，则 x1时，f （x）0，f（x）递减， x1 时，f （x）0，f（x） 递增， 若 t1，则 x1时，f （x）0，f（x）递增， x1 时，f （x）0，f（x） 递减， 故 t1 时，f（x）在（， 1）递减，在（ 1，+）递增， t1 时，f（x）在（， 1）递增，在（ 1，+）
29、递减； （2）f（x）g（x）在 0，+）上恒成立， 即（t1）xe xtx1+ex0 对? x0 成立， 设 h（x）=（t1）xe xtx1+ex， h（0）=0，h （x）=（t1） （x+1）ext+ex，h （0）=0， h （x）=e x （t1）x+2t1 ， t=1 时，h （x）=ex0，h （x）在 0，+）递增， h （x）h （0）=0，故 h（x）在 0，+）递增， 故 h（x）h（0）=0，显然不成立， t1，则 h （x）=ex（x+） （t1） ， 令 h （x）=0，则 x=， 当0 即 t或 t1 时， 若 t，则 h （x）在 0，+）为负， h （x）递
30、减， 故有 h （x）h （0）=0，h（x）在 0，+）递减， h（x）h（0）=0成立， 若 t1，则 h （x）在 0，+）上为正， h （x）递增， 故有 h （x）h （0）=0，故 h（x）在 0，+）递增， 故 h（x）h（0）=0，不成立， 0 即t1 时， h （x）在 0，）内有 h （x）h （0）=0，h（x）递增， 故 h（x）在 0，）内有 h（x）h（0）=0不成立， 综上， t 的范围是（， 选修 4-4：极坐标与参数方程 22 （10 分）已知直线l：3xy6=0，在以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴 为极轴的极坐标系中，曲线C： 4sin =0 （）将直线
31、 l 写成参数方程（t 为参数， 0， ） ， ）的形式， 并求曲线 C的直角坐标方程； （）过曲线 C上任意一点 P作倾斜角为 30 的直线，交 l 于点 A，求| AP| 的最 值 【解答】 解： （）直线 l：3xy6=0，转化为直角坐标方程为： （t 为参数） ， 曲线 C： 4sin =0转化为直角坐标方程为：x2+y24y=0 （）首先把 x2+y24y=0的方程转化为： x2+（y2）2=4， 所以经过圆心，且倾斜角为30 的直线方程为：， 则：， 解得：， 则：=， 则：| AP | 的最大值为：， | AP | 的最小值为： 选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式 | x+1|+| 2x1| 3 的解集为 x| mxn （I）求实数 m、n 的值； （II）设 a、b、c 均为正数，且 a+b+c=nm，求+ 的最小值 【解答】 解： （）| x+1|+| 2x1| 3， 或或， 解得： 1x1， 故 m=1，n=1； （）由（ ）a+b+c=2， 则+ =（+） （a+b+c） = 1+1+1+（+）+（+）+（+） +（2+2+2） =+3=， 当且仅当 a=b=c= 时“=”成立