2017年中考数学专题汇编----《解直角三角形的应用》专题练习.pdf

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1、2017 年中考数学专题汇编-解直角三角形的应用专题练习 1如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A 处测得正前方小岛 C的俯角为 30 ，面向小岛方向继续飞行10km 到达 B处，发现小岛在其正后方， 此时测得小岛的俯角为45 ，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果 保留根号） 2如图，一艘轮船航行到B 处时，测得小岛A 在船的北偏东 60 的方向，轮船 从 B处继 续向正东方向航行200 海里到达 C处时， 测得小岛 A在船的北偏东 30 的方向己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶， 试问轮船有无触礁的危险？（1.732） 3如图，一艘船以每小时

2、30 海里的速度向北偏东75 方向航行，在点 A 处测得 码头 C在船的东北方向，航行40 分钟后到达 B处，这时码头 C恰好在船的正北 方向，在船不改变航向的情况下， 求出船在航行过程中与码头C的最近距离 （结 果精确到 0.1 海里，参考数据1.41，1.73） 4为了维护国家主权和海洋权利， 海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理， 如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50 海里的速度向正东方航行，在A 处测得灯塔 P在北偏东 60 方向上，继续航行1 小时到达 B 处，此时测得灯塔P 在北偏东 30 方向上 （1）求 APB的度数； （2）已知在灯塔 P的周围 25 海里内有暗礁，

3、问海监船继续向正东方向航行是否 安全？ 5如图，C地在 A 地的正东方向， 因有大山阻隔， 由 A地到 C地需绕行 B地已 知 B地位于 A 地北偏东 67 方向，距离 A 地 520km，C 地位于 B 地南偏东 30 方 向若打通穿山隧道， 建成两地直达高铁， 求 A 地到 C地之间高铁线路的长（结 果保留整数） （参考数据： sin67 ，cos67，tan67，1.73） 6如图，海中一渔船在A 处且与小岛 C 相距 70nmile，若该渔船由西向东航行 30nmile 到达 B 处，此时测得小岛C位于 B 的北偏东 30 方向上；求该渔船此时 与小岛 C之间的距离 7科技改变生活，手

4、机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古 镇 C游玩，到达 A地后，导航显示车辆应沿北偏西60 方向行驶 4 千米至 B地， 再沿北偏东 45 方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇 C恰好在 A 地的正 北方向，求 B，C两地的距离 8如图，建筑物C在观测点 A 的北偏东 65 方向上，从观测点A 出发向南偏东 40 方向走了 130m 到达观测点 B，此时测得建筑物 C在观测点 B的北偏东 20 方 向上，求观测点 B与建筑物 C之间的距离 （结果精确到 0.1m参考数据： 1.73） 9如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C已知 AB=1400米，AC=1000米， B点位

5、于 A 点的南偏西 60.7 方向， C点位于 A 点的南偏东 66.1 方向 （1）求 ABC的面积； （2）景区规划在线段BC的中点 D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD试 求 A、D 间的距离（结果精确到 0.1 米） （参考数据： sin53.2 0.80，cos53.2 0.60，sin60.7 0.87，cos60.7 0.49， sin66.1 0.91，cos66.1 0.41，1.414） 10如图，海中有一小岛A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航 行，在 B点测得小岛 A 在北偏东 60 方向上，航行 12 海里到达 D 点，这时测得 小岛 A 在北偏东

6、 30 方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的 危险？ 11如图，小明家在学校O 的北偏东 60 方向，距离学校80 米的 A 处，小华家 在学校 O的南偏东 45 方向的 B处，小华家在小明家正南方向，求小华家到学校 的距离 （结果精确到 1 米，参考数据：1.41，1.73，2.45） 12如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收 到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时， B船在 A 船的正南方向 5 海里 处，A船测得渔船 C在其南偏东 45 方向，B 船测得渔船 C在其南偏东 53 方向， 已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B船的航速为

7、25海里 /小时，问 C船至少要等 待多长时间才能得到救援？ （参考数据： sin53 ，cos53 ，tan53 ， 1.41） 13如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 64 方向，距离灯塔 120 海里的 A处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 45 方向上的 B处，求 BP和 BA的长（结果取整数） 参考数据： sin64 0.90，cos64 0.44，tan642.05，取 1.414 14如图，港口 B位于港口 A 的南偏东 37 方向，灯塔 C恰好在 AB的中点处一 艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的 D 处，它沿正北方向航行 5km 到达 E处

8、，测得灯塔 C在北偏东 45 方向上，这时，E处距离港口 A 有多远？ （参考数据： sin37 0.60，cos370.80，tan370.75） 15一艘渔船位于港口A 的北偏东 60 方向，距离港口20 海里 B 处，它沿北偏 西 37 方向航行至 C处突然出现故障，在C 处等待救援， B，C之间的距离为 10 海里，救援船从港口A 出发 20 分钟到达 C处，求救援的艇的航行速度 （sin37 0.6，cos370.8，1.732，结果取整数） 16超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路MN 上， 小型车限速为每小时120 千米，设置在公路旁的超速监测点C ，现测得

9、一辆小型 车在监测点 C的南偏西 30 方向的 A处，7 秒后，测得其在监测点 C的南偏东 45 方向的 B 处，已知 BC=200米，B 在 A 的北偏东 75 方向，请问：这辆车超速了 吗？通过计算说明理由 （参考数据：1.41，1.73） 17今年，我国海关总署严厉打击“ 洋垃圾 ” 违法行动，坚决把 “ 洋垃圾 ” 拒于国门 之外如图，某天我国一艘海监船巡航到A 港口正西方的 B 处时，发现在 B 的 北偏东 60 方向，相距 150海里处的 C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在 A 港口的北偏东 30 方向上，海监船向A 港口发出指令，执法船立即从A 港口沿 AC方向驶出，在 D

10、 处成功拦截可疑船只，此时D 点与 B 点的距离为 75海里 （1）求 B点到直线 CA的距离； （2）执法船从 A 到 D 航行了多少海里？（结果保留根号） 18如图所示， C城市在 A 城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高 速公路（即线段 AC ） ，经测量，森林保护区的中心P在 A 城市的北偏东 60 方向 上，在线段 AC上距 A城市 120km 的 B处测得 P在北偏东 30 方向上，已知森林 保护区是以点 P 为圆心，100km 为半径的圆形区域， 请问计划修建的这条高速公 路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：1.73） 19一艘轮船位于灯塔P南偏西 60 方向的 A

11、处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P 南偏西 45 方向上的 B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P的最短距离（结果保留根号） 20如图，码头 A、B 分别在海岛 O 的北偏东 45 和北偏东 60 方向上，仓库C 在海岛 O 的北偏东 75 方向上，码头 A、B 均在仓库 C的正西方向，码头B和仓 库 C的距离 BC=50km ，若将一批物资从仓库C用汽车运送到 A、B两个码头中的 一处，再用货船运送到海岛O，若汽车的行驶速度为50km/h，货船航行的速度 为 25km/h，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛O？（两个码头物资装 船所用的时间相同，参考数据：1.4，1

12、.7） 21某课桌生产厂家研究发现， 倾斜 12 24 的桌面有利于学生保持躯体自然姿 势根据这一研究， 厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面新桌面的设计 图如图 1，AB可绕点 A 旋转，在点 C处安装一根可旋转的支撑臂CD，AC=30cm （1）如图 2，当 BAC=24 时，CDAB，求支撑臂 CD的长； （2）如图 3，当 BAC=12 时，求 AD的长 （结果保留根号） （ 参 考 数 据 ： sin24 0.40， cos24 0.91， tan24 0.46， sin12 0.20） 22 放风筝是大家喜爱的一种运动， 星期天的上午小明在市政府广场上放风筝如 图，他在 A 处不

13、小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D 处，此时风筝 AD与水平线的夹角为30 ，为了便于观察， 小明迅速向前边移动， 收线到达了离 A处 10 米的 B处，此时风筝线 BD与水平线的夹角为45 已知点 A，B，C在同 一条水平直线上， 请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线 AD，BD均为线段，1.414，1.732，最后结果精确到1 米） 23“ 低碳环保，你我同行 ” 近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了 极大的方便 图是公共自行车的实物图，图是公共自行车的车架示意图，点 A、D、C、E在同一条直线上， CD=30cm ，DF=20cm ，AF=25cm ，F

14、DAE于点 D， 座杆 CE=15cm ，且 EAB=75 （1）求 AD的长； （2） 求点 E到 AB的距离 （参考数据：sin75 0.97， cos750.26， tan75 3.73） 24如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB 是 A 到 l 的小路现新修一条路AC 到公路 l小明测量出 ACD=31 ，ABD=45 ， BC=50m 请你帮小明计算他家到公路l 的距离 AD 的长度？（精确到0.1m；参 考数据 tan310.60，sin31 0.51，cos31 0.86） 25如图 1 是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图 2

15、） ，支架与坐板均用线段表示， 若座板 DF平行于地面 MN，前支撑架 AB与后支 撑架 AC分别与座板 DF交于点 E、 D， 现测得 DE=20厘米， DC=40厘米， AED=58 ， ADE=76 （1）求椅子的高度 （即椅子的座板 DF与地面 MN 之间的距离） （精确到 1 厘米） （2）求椅子两脚 B、C之间的距离（精确到1 厘米） （参考数据： sin58 0.85， cos580.53，tan58 1.60，sin76 0.97cos760.24，tan76 4.00） 26校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载 某中 学数学活动小组设计了如下检测公路上

16、行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选 取一点 C，再在笔直的车道 L上确定点 D，使 CD与 L垂直，测得 CD的长等于 24 米，在 L上点 D 的同侧取点 A、B，使 CAD=30 ，CBD=60 （1）求 AB的长（结果保留根号）； （2）已知本路段对校车限速为45 千米/小时，若测得某辆校车从A 到 B 用时 2 秒，这辆校车是否超速？说明理由 （参考数据：1.73，1.41） 27如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板 AC和环扣（不计宽 度，记为点 A）组成，其侧面示意图为 ABC ，测得 AC BC，AB=5cm ，AC=4cm ， 现为了书写记事方便，须调整台历的摆

17、放，移动点C至 C ，当 C =30时，求移 动的距离即 CC 的长（或用计算器计算， 结果取整数，其中=1.732，=4.583） 28如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为 42cm，灯罩 BC长为 32cm， 底座厚度为 2cm，灯臂与底座构成的 BAD=60 使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30 ，此时灯罩顶端 C到桌面的高度 CE是多少 cm？（结果 精确到 0.1cm，参考数据：1.732） 29如图 1 是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2 所示 的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为 24cm， 点 P为眼睛所在

18、位置， D 为 AO的中点，连接 PD，当 PDAO时，称点 P为“ 最 佳视角点 ” ，作 PC BC ，垂足 C在 OB的延长线上，且 BC=12cm （1）当 PA=45cm时，求 PC的长； （2）若AOC=120 时，“ 最佳视角点 ”P 在直线 PC上的位置会发生什么变化？此 时 PC的长是多少？请通过计算说明 （结果精确到 0.1cm，可用科学计算器，参 考数据：1.414，1.732） 30一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm ，拉杆最大伸长距 离 BC=35cm ， （点 A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮A， A 与水平地面切于点D，A

19、E DN，某一时刻，点B距离水平面 38cm，点 C距 离水平面 59cm （1）求圆形滚轮的半径AD的长； （2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂 在点 C 处且拉杆达到最大延伸距离时，点C 距离水平地面 73.5cm，求此时拉杆 箱与水平面 AE所成角 CAE的大小（精确到 1 ，参考数据：sin50 0.77，cos50 0.64，tan50 1.19） 31如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m 的顶灯已知梯 子由两个相同的矩形面组成， 每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚 的固定跨度为 1m矩形面与地面所成的角为 78 李师傅

20、的身高为 l.78m，当 他攀升到头顶距天花板0.050.20m 时，安装起来比较方便 （1）求每条踏板间的垂直高度 （2）请问他站立在梯子的第几级踏板上安装比较方便？，请你通过计算判断说 明 （参考数据： sin78 0.98，cos78 0.21，tan784.70） 32如图，一种某小区的两幢10 层住宅楼间的距离为AC=30m，由地面向上依 次为第 1层、第 2 层、 、第 10 层，每层高度为 3m假设某一时刻甲楼在乙楼 侧面的影长 EC=h ，太阳光线与水平线的夹角为 （1）用含 的式子表示 h（不必指出 的取值范围）； （2） 当 =30时， 甲楼楼顶 B点的影子落在乙楼的第几层

21、？若每小时增加 15 ， 从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？ 33如图（ 1） ，一扇窗户垂直打开，即OMOP，AC 是长度不变的滑动支架， 其中一端固定在窗户的点A 处，另一端在线段 OP上滑动，将窗户 OM 按图示方 向向内旋转 45 到达 ON位置，如图（2） ，此时，点 A、C的对应位置分别是点B、 D，测量出 ODB为 37 ，点 D 到点 O 的距离为 28cm （1）求 B点到 OP的距离 （2）求滑动支架 AC的长 （参考数据： sin37 =，cos37=，tan37=） 34随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭某大型 超市为缓解停车难问题，

22、建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图按规定， 停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入如图，地面所 在的直线 ME 与楼顶所在的直线AC是平行的， CD的厚度为 0.5m，求出汽车通 过坡道口的限高 DF的长（结果精确到 0.1m，sin28 0.47，cos280.88，tan28 0.53） 35 综合实践课，小明所在小组要测量护城河的宽度，如图所示是护城河的一段， 两岸 ABCD，河岸 AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10 米小 明先用测角仪在河岸CD的 M 处测得 =36，然后沿河岸走 50 米到达 N 点，测 得=72请你根据这些数据帮小明他们算出河宽F

23、R （结果保留整数） （参考数据： sin36 0.59，cos36 0.81，tan36 0.73，sin72 0.95，cos72 0.31，tan72 3.08） 36如图 1 是一个新款水杯， 水杯不盛水时按如图2 所示的位置放置， 这样可以 快速晾干杯底，干净透气；将图2 的主体部分的抽象成图3，此时杯口与水平直 线的夹角 35 ，四边形 ABCD可以看作矩形，测得AB=10cm，BC=8cm ，过点 A 作 AFCE ，交 CE于点 F （1）求 BAF的度数； （sin35 0.5736，cos350.8192，tan350.7002） （2）求点 A 到水平直线 CE的距离 A

24、F的长（精确到 0.1cm） 37给窗户装遮阳棚， 其目的为最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度 地使冬天温暖的阳光射入室内， 现请你为我校新建成的高中部教学楼朝南的窗户 设计一个直角形遮阳蓬BCD ，如图，已知窗户AB高度为 h=2米，本地冬至日正 午时刻太阳光与地面的最小夹角=32，夏至日正午时刻太阳光与地面的最大夹 角 =79，请分别计算直角形遮阳蓬BCD中 BC 、CD的长（结果精确到0.1 米） 38如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开 小桌板后，桌面会保持水平，其中图1、图 2 分别是小桌板收起时和展开时的实 物，图 3中的实线是小桌板展开后的示

25、意图，其中OB表示小桌板桌面的宽度， BC表示小桌板的支架，连接OA，此时 OA=75厘米， AOB= ACB=37 ，且支架 长 BC与桌面宽 OB的长度之和等于OA的长度，求点 B 到 AC的距离 （参考数 据 sin37 0.6，cos370.8，tan37 0.75） 39摇椅是老年人很好的休闲工具，右图是一张摇椅放在客厅的侧面示意图，摇 椅静止时，以 O 为圆心 OA为半径的的中点 P着地，地面 NP与相切，已知 AOB=60 ，半径 OA=60cm ，靠背 CD与 OA的夹角 ACD=127 ，C为 OA的中点， CD=80cm ，当摇椅沿滚动至点 A 着地时是摇椅向后的最大安全角

26、度 （1）静止时靠背 CD的最高点 D 离地面多高？ （2）静止时着地点P至少离墙壁 MN 的水平距离是多少时？才能使摇椅向后至 最大安全角度时点D不与墙壁 MN 相碰 （精确到1cm，参考数据取 3.14，sin37 =0.60，cos37 =0.80，tan37=0.75， sin67 =0.92，cos67=0.39，tan67 =2.36，=1.41，=1.73） 40图（1）为一波浪式相框（厚度忽略不计） ，内部可插入占满整个相框的照片 一张，如图（ 2） ，主视图（不含图中虚线部分）为两端首尾相连的等弧 构成，左 视图和俯视图均为长方形（单位：cm） ： （1）图中虚线部分的长为c

27、m，俯视图中长方形的长为cm； （2）求主视图中的弧所在圆的半径； （3）试计算该相框可插入的照片的最大面积（参考数据： sin22.5 ，cos22.5 ，tan22.5 ，计算结果保留 ） 参考答案与解析 1 （2017?宿迁）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A 处测 得正前方小岛 C的俯角为 30 ，面向小岛方向继续飞行10km 到达 B 处，发现小 岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45 ，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞 行的高度（结果保留根号） 【 分 析 】 C 作CD AB， 由 CBD=45 知BD=CD=x， 由 ACD=30 知 AD=x，根据 AD+BD=

28、AB列方程求解可得 【解答】 解：过点 C作 CD AB于点 D， 设 CD=x ， CBD=45 ， BD=CD=x ， 在 RtACD中， tan， AD=x， 由 AD+BD=AB可得x+x=10， 解得： x=55， 答：飞机飞行的高度为（55）km 【点评】此题考查了俯角的定义、 解直角三角形与矩形的性质 注意能借助俯角 构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用 2 （2017?安徽模拟）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛 A 在船的北偏东 60 的方向，轮船从 B处继 续向正东方向航行200海里到达 C处时，测得小岛 A 在船的北偏东 30 的方向己知在

29、小岛周围170 海里内有暗礁，若轮船不改变航 向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（1.732） 【分析】 如图，直角 ACD和直角 ABD有公共边 AD，在两个直角三角形中， 利用三角函数即可用AD 表示出 CD与 BD ，根据 CB=BD CD即可列方程，从而 求得 AD的长，与 170海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险 【解答】 解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险 理由如下：如图所示 则有 ABD=30 ，ACD=60 CAB= ABD， BC=AC=200 海里 在 RtACD中，设 CD=x海里， 则 AC=2x ，AD=x， 在 RtABD中，AB=2AD=2

30、x， BD=3x， 又BD=BC +CD， 3x=200 +x， x=100 AD=x=100173.2， 173.2海里 170海里， 轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险 【点评】本题主要考查了三角形的计算， 一般的三角形可以通过作高线转化为解 直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路 3 （2017?营口）如图，一艘船以每小时30 海里的速度向北偏东75 方向航行， 在点 A 处测得码头 C在船的东北方向，航行40 分钟后到达 B处，这时码头 C恰 好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C 的最近距离（结果精确到 0.1 海里，参

31、考数据1.41，1.73） 【分析】过点 C作 CE AB于点 E，过点 B作 BDAC于点 D，由题意可知：船在 航行过程中与码头C的最近距离是 CE ， 根据 DAB=30 ， AB=20， 从而可求出 BD、 AD的长度，进而可求出CE的长度 【解答】 解：过点 C作 CE AB于点 E，过点 B作 BDAC于点 D， 由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是 CE ， AB=30=20， NAC=45 ，NAB=75 ， DAB=30 ， BD= AB=10 ， 由勾股定理可知： AD=10 BC AN， BCD=45 ， CD=BD=10 ， AC=10+10 DAB=30 ，

32、 CE= AC=5+513.7 答：船在航行过程中与码头C的最近距离是 13.7 海里 【点评】本题考查解三角形的应用， 解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及勾 股定理，本题属于中等题型 4 （2017?长沙）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常 态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50 海里的速度向正 东方航行，在 A 处测得灯塔 P在北偏东 60 方向上，继续航行1 小时到达 B处， 此时测得灯塔 P 在北偏东 30 方向上 （1）求 APB的度数； （2）已知在灯塔 P的周围 25 海里内有暗礁， 问海监船继续向正东方向航行是否 安全？ 【分析】 （1）

33、在 ABP中，求出 PAB 、PBA的度数即可解决问题； （2）作 PHAB于 H求出 PH的值即可判定； 【解答】 解： （1）PAB=30 ，ABP=120 ， APB=180 PAB ABP=30 （2）作 PHAB于 H BAP= BPA=30 ， BA=BP=50 ， 在 RtPBH中，PH=PB?sin60 =50=25， 2525， 海监船继续向正东方向航行是安全的 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图 形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键 5 （2017?青岛）如图， C地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到 C地

34、 需绕行 B 地已知 B地位于 A 地北偏东 67 方向，距离 A 地 520km，C地位于 B 地南偏东 30 方向若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到 C地之间高 铁线路的长（结果保留整数） （参考数据： sin67 ，cos67，tan67，1.73） 【分析】 过点 B作 BDAC于点 D， 利用锐角三角函数的定义求出AD及 CD的长， 进而可得出结论 【解答】 解：过点 B作 BDAC于点 D， B地位于 A 地北偏东 67 方向，距离 A 地 520km， ABD=67 ， AD=AB?sin67 =520=480km， BD=AB?cos67 =520=200km C地位于

35、 B地南偏东 30 方向， CBD=30 ， CD=BD?tan30 =200 =， AC=AD +CD=480 +480+115=595（km） 答：A地到 C地之间高铁线路的长为595km 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，熟记锐角三角函数的 定义是解答此题的关键 6 （2017?泸州）如图，海中一渔船在A 处且与小岛 C相距 70nmile，若该渔船 由西向东航行 30nmile 到达 B处，此时测得小岛C位于 B 的北偏东 30 方向上； 求该渔船此时与小岛C之间的距离 【分析】 过点 C作 CDAB于点 D，由题意得： BCD=30 ，设 BC=x ，解直角三 角形即

36、可得到结论 【解答】 解：过点 C作 CD AB于点 D，由题意得： BCD=30 ，设 BC=x ，则： 在 RtBCD中，BD=BC?sin30 = x，CD =BC?cos30 =x； AD=30x， AD 2+CD2=AC2，即： （30+ x）2+（x）2=70 2， 解之得： x=50（负值舍去）， 答：渔船此时与 C岛之间的距离为 50 海里 【点评】此题考查了方向角问题 此题难度适中， 注意能借助于方向角构造直角 三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键 7 （2017?成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明 一家自驾到古镇C游玩，到达 A 地后

37、，导航显示车辆应沿北偏西60 方向行驶 4 千米至 B地，再沿北偏东 45 方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇 C恰 好在 A 地的正北方向，求B，C两地的距离 【分析】 过 B作 BDAC于点 D，在直角 ABD中利用三角函数求得BD的长， 然后在直角 BCD中利用三角函数求得BC的长 【解答】 解：过 B作 BDAC于点 D 在 RtABD中，AD=AB?cos BAD=4cos60 =4=2（千米） ， BD=AB?sin BAD=4 =2（千米） ， BCD中， CBD=45 ， BCD是等腰直角三角形， CD=BD=2（千米） ， BC=BD=2（千米） 答：B，C两地的距离是

38、 2千米 【点评】此题考查了方向角问题 此题难度适中， 解此题的关键是将方向角问题 转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解 8 （2017?鞍山）如图，建筑物C 在观测点 A 的北偏东 65 方向上，从观测点A 出发向南偏东40 方向走了 130m 到达观测点 B，此时测得建筑物C在观测点 B 的北偏东 20 方向上，求观测点 B与建筑物 C之间的距离 （结果精确到 0.1m 参 考数据：1.73） 【 分 析 】 过 A 作AD BC 于 D 解Rt ADB， 求 出 DB=AB=65m， AD=BD=65m再解 RtADC ，得出 CD=AD=65m，根据 BC=BD +CD即可

39、求 解 【解答】 解：如图，过 A 作 ADBC于 D 根据题意，得 ABC=40 +20 =60 ，AB=130m 在 RtADB中， DAB=30 ， DB= AB= 130=65m，AD=BD=65m BAC=180 65 40 =75 ， C=180 ABC BAC=180 60 75 =45 在 RtADC中， tanC=1， CD=AD=65m， BC=BD +CD=65 +65177.5m 故观测点 B与建筑物 C之间的距离约为 177.5m 【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题一 般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 9 （2017

40、?连云港）如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C已知 AB=1400 米，AC=1000米，B点位于 A点的南偏西 60.7方向，C点位于 A 点的南偏东 66.1 方向 （1）求 ABC的面积； （2）景区规划在线段BC的中点 D 处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD试 求 A、D 间的距离（结果精确到 0.1 米） （参考数据： sin53.2 0.80，cos53.2 0.60，sin60.7 0.87，cos60.7 0.49， sin66.1 0.91，cos66.1 0.41，1.414） 【分析】 （1）作 CE BA于 E在 RtACE中，求出 CE即可解决问题； （2）接

41、AD，作 DF AB于 F ，则 DFCE 首先求出 DF 、AF，再在 RtADF中 求出 AD即可； 【解答】 解： （1）作 CE BA于 E 在 RtAEC中， CAE=180 60.766.1=53.2， CE=AC?sin 53.210000.8=800米 SABC=?AB?CE= 1400800=560000平方米 （2）连接 AD，作 DF AB于 F ，则 DFCE BD=CD ，DFCE ， BF=EF ， DF= CE=400米， AE=AC?cos53.2 600米， BE=AB +AE=2000米， AF= EB AE=400米， 在 RtADF中，AD=400=56

42、5.6米 【点评】本题考查解直角三角形方向角问题，勾股定理、 三角形的中位线定理 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中 考常考题型 10 （2017?十堰）如图，海中有一小岛A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼 群由西向东航行，在B 点测得小岛 A 在北偏东 60 方向上，航行 12 海里到达 D 点，这时测得小岛A 在北偏东 30 方向上如果渔船不改变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？ 【分析】 过 A 作 ACBD 于点 C，求出 CAD 、CAB的度数，求出 BAD和 ABD，根据等角对等边得出AD=BD=12 ，根据含30 度角的直角三角形性质求

43、出 CD ，根据勾股定理求出AC即可 【解答】解：只要求出 A 到 BD的最短距离是否在以A 为圆心，以 8 海里的圆内 或圆上即可， 如图，过 A 作 AC BD于点 C，则 AC的长是 A 到 BD的最短距离， CAD=30 ，CAB=60 ， BAD=60 30 =30 ，ABD=90 60 =30 ， ABD= BAD ， BD=AD=12海里， CAD=30 ，ACD=90 ， CD= AD=6海里， 由勾股定理得： AC=610.3928， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险 【点评】考查了勾股定理的应用和解直角三角形，此题是一道方向角问题， 结合 航海中的实际问题， 将解直

44、角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实 际生活的思想 11 （2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东 60 方向，距离学校80 米 的 A 处，小华家在学校O 的南偏东 45 方向的 B处，小华家在小明家正南方向， 求小华家到学校的距离（结果精确到 1 米，参考数据：1.41，1.73， 2.45） 【分析】 作 OCAB 于 C，由已知可得 ABO中A=60 ，B=45 且 OA=80m ， 要求 OB的长，可以先求出OC和 BC的长 【解答】 解：由题意可知：作OC AB于 C， ACO= BCO=90 ，AOC=30 ，BOC=45 在 RtACO中， ACO=90 ，

45、AOC=30 ， AC= AO=40m，OC=AC=40m 在 RtBOC中， BCO=90 ，BOC=45 ， BC=OC=40 m OB=40402.4598（米） 答：小华家到学校的距离大约为98 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，对于解一般三角形， 求三角形的边或 高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 12 （2017?河南）如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻， 两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时， B船在 A 船的正南 方向 5 海里处， A 船测得渔船 C在其南偏东 45 方向， B 船测得渔船 C在其南偏 东

46、 53 方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B船的航速为 25 海里/小时，问 C 船至少要等待多长时间才能得到救援？ （参考数据：sin53 ， cos53 ， tan53 ，1.41） 【分析】 如图作 CE AB 于 E设 AE=EC=x ，则 BE=x 5，在 RtBCE中，根据 tan53 =，可得=，求出 x，再求出 BC 、AC，分别求出 A、B 两船到 C的 时间，即可解决问题 【解答】 解：如图作 CE AB于 E 在 RtACE中， A=45 ， AE=EC ，设 AE=EC=x ，则 BE=x 5， 在 RtBCE中， tan53=， =， 解得 x=20， AE=EC=20 ， AC=20=28.2， BC=25， A船到 C的时间=0.94小时， B船到 C的时间 =1小时， C船至少要等待 0.94小时才能得到救援 【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、锐角三角函数、速度、时 间、路程之间的关系等知识， 解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常 考题型 13 （2017?天津）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东 64 方向，距离灯塔120 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，