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1、专训 5圆与学科内知识的综合应用 名师点金： 圆的知识是初中数学的重点内容，也是历年中考命题的热点，在中考中常常与三角函 数、相似、二次函数等结合，作为压轴题出现 圆与三角函数的综合 1【中考遂宁】如图，AB 为 O 的直径，直线CD 切 O 于点 D，AM CD 于点 M，BN CD 于点 N. (1)求证： ADC ABD ； (2)求证： AD 2AM AB； (3)若 AM 18 5 ，sin ABD 3 5，求线段 BN 的长 (第 1 题) 圆与相似的综合 2如图， RtABC 内接于 O， AC B90 ，点 P在AB 上移动， P，C 分别位于AB 的异侧 (P 不与 A，B
2、重合 )， PCD 也为直角三角形，PCD90 ，且 RtPCD 的斜边 PD 经过点 B，BA ，PC 相交于点E.来源 学& 科& 网 Z&X&X&K (1)当 BA 平分 PBC 时，求 BE CD的值； (2)已知 AC1，BC 2，求 PCD 面积的最大值 来源 学。科。网 (第 2 题) 圆与二次函数的综合 3如图，在平面直角坐标系中，A 与 x 轴相交于C(2，0)，D(8，0)两点，与y 轴相切于点B(0，4) (1)求经过 B，C，D 三点的抛物线的函数表达式 (2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE 与 A 相切 (3)在 x 轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使 B DF
3、 的面积最大，最大值是多少？ 并求出点F 的坐标 (第 3 题) 来源 学科网 ZXXK 答案 1(1)证明： 如图，连接OD. (第 1 题) 直线 CD 切 O 于点 D， CDO90 .AB 为 O 的直径， ADB 90 . 1 2 2 390 ， 1 3.OBOD， 3 4. 1 4， 即 ADC ABD. (2) 证明 ：AM CD， AMDADB90 . 又 1 4 ， ADM ABD. AM AD AD AB . AD 2AM AB. 来源 学科网 ZXXK (3)解： sin ABD 3 5， ABD 1， sin 1 3 5.AM 18 5 ， AD 6. AB10. BD
4、AB 2 AD28.BNCD， BND 90 . DBN BDN 1 BDN 90 . DBN 1.sin DBN 3 5. DN 24 5 .BN BD 2DN232 5 . 2解： (1)连接 PA.BA 平分 PBC， PBA CBA ACP. ACP PCB BCD PCB 90 ， ACP BCD. BCD CBA PBA. A BCD. PBA D. BCD D. BCBD. 又 PCD90 ，易证得PBBCBD. 又 AB CD， PEEC. BE 是 PCD 的中位线 BE CD 1 2. (2) PCD ACB 90 ， CAB CPD， ABC PDC. PC CD AC
5、CB 1 2.S PCD 1 2PC CD 1 2PC 2PCPC 2. 当 PC 最大时， PCD 的面积最大， 即 PC 为 O 的直径时， PCD 的面积最大 当 PCABAC 2 BC2 5时， PCD 的面积的最大值为(5) 25. 3(1)解： 设抛物线的函数表达式为y ax 2bxc， 把点 B(0，4)，C(2，0)，D( 8，0)的坐标分别代入，得 4c， 04a2bc， 064a8bc， 解得 a 1 4， b 5 2， c 4. 经过 B，C，D 三点的抛物线的函数表达式为y 1 4x 25 2x4. (2)证明： y 1 4x 25 2x4 1 4(x 5) 29 4， E 5， 9 4 . 设直线 CE 的函数表达式为ymxn， 直线 CE 与 y 轴交于点G，则 0 2mn， 9 4 5mn， 解得 m 3 4， n 3 2， 直线 CE 的函数表达式为y 3 4x 3 2. 在 y 3 4x 3 2中，令 x0，则 y 3 2， G 0， 3 2 . 如图，连接AB，AC ，AG ， 则 BGOB OG43 2 5 2， CGOC 2OG2 22 3 2 2 5 2， BGCG.