2018年全国中考数学数式运算、因式分解、分式、数的开方专题复习汇总.pdf

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1、2018 年全国中考数学数式运算、因式分解、分式、数的开 方专题复习汇总 【新课标要求】 1有理数 (1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小 (2)从代数意义、几何意义两方面理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝 对值的方法 (绝对值内不含字母) (3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主 ) (4)理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算 (5)运用有理数的运算解决简单的问题 2实数 (1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，掌握用根号表示数的平方根、算术平方根、 立方根 (2)了解乘方与开方互为逆运算，会用平

2、方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某 些数的立方根 (3)了解无理数和实数的概念、实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值 (4)掌握用有理数估计一个无理数的大致范围 (5)了解实际问题中的近似计算，会按问题的要求对结果取近似值 (6)了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运 算法则，掌握实数的简单四则运算 3代数式 (1)理解用字母表示数的意义，能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示 (2)对一些简单代数式的实际背景或几何意义进行解释 (3)掌握求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，选择所需要的公式，并会代入具体的 值进行计算

3、4整式与分式 (1)了解整数指数幂的意义和基本性质；掌握用科学记数法表示数 (2)理解整式及相关概念，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算 (3)能推导乘法公式： 22 )(bababa； 222 2)(bababa，了解公式的几 何背景，并能利用公式进行简单计算 (4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)、十字相乘法、分组分解法进行因式 分解 (5)了解分式及相关概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、 减、乘、除运算 【课时分布】 本单元在第一轮复习时大约需7课时下表为内容及课时安排( 仅供参考 ) 课时内容 1 实数相关概念及简单混合

4、运算 1 整式相关概念及运算 1 数式运算单元测试与评析 1 因式分解 1 分式 1 数的开方 1 因式分解、分式、数的开方单元测试与评析 【知识网络结构】 【基础知识专题讲解】 专题 1： 实数的概念与分类 1无理数的概念及实数的分类： 0 正整数 整数 负整数 有理数 实数 有限小数或无限循环小数 正分数 分数 负分数 无理数 无限不循环小数 2研究实数的工具数轴：明确实数与数轴上的点一一对应(数形结合 ) 3相反数：若a,b 互为相反数，则0ab 4绝对值：它的几何意义：在数轴上表示数a 对应的点与原点的距离 它的代数意义： (0) 0(0) (0) a a aa a a 5倒数：若a,

5、b 互为倒数，则ab=1(注意互逆运用 ) 6三种非负数： 2 0 n aa aa；( n 为整数 ) 有理数 无理数 实数 实际问题 用字母表 示数 单项式 多项式 整式 计 算 实 际 问 题 立方根 平方根 约分 化简 计算 二次根式 分式 因式分解 通分 公式法 提公因式法 分式的加减 数的开方 分式的基本性质 十字相乘法 分式的乘除 例 1 2， 0，1，3 四个数中，最小的数是( ) A2 B0 C1 D 3 【考点】有理数大小比较 【分析】根据有理数比较法则或利用数轴解决 【解 】选 D 例 2 设边长为3 的正方形的对角线长为a，下列关于a 的四种说法：a 是无理数； a 可以

6、用数轴上的一个点来表示；3a4； a 是 18 的算术平方根其中，所有正确说 法的序号是 ( ) ABCD 【考点】无理数的概念、无理数大小估计、数的开方运算、勾股定理 【分析】由勾股定理，得：3 24.2a，所以错误，其它都正确 【解 】选 C 例 3若5 的值在两个整数a 与 a+1 之间，则a= 【考点】估计无理数的大小 【分析】 45 9，459，即 253 由5 的值在两个整数a 与 a+1 之 间，得 a=2 【解 】a=2 【说明】 实数概念复习注意以下几点： 1. 对于有理数和无理数的理解认识要从数的表示形式入手，特别是对于 22 7 这样的有理数； 2. 初中遇到的无理数有三

7、种形式：特定结构的数， 如 5.020 020 002； 开方开不尽的数， 如2 、3 等；特定意义的数，如 ，sin 45 等它们的本质特征都是无限不循环小数； 3. 判断一个实数是有理数还是无理数，不能只看表面，要经过化简后才能下结论例如： 0 (23) 化简后等于1，因此 0 (23) 不是无理数； 4. 要会用有理数估计一个无理数的大小，体现数学中的转化思想，培养估算意识 专题 2：实数的运算 【基本知识 】 1运算法则 (略) 2运算律：交换律、结合律、分配律 3运算顺序：先乘方、开方，然后乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号 的先算括号里面的 例 4计算： 30 ( 1

8、)( 31)9 【考点】实数的运算，算术平方根，零指数幂，乘方 【分析】按乘方、零指数幂、算术平方根3 个考点分别进行计算，然后根据实数运算法则求 得计算结果 【解 】原式 - 1+1+3=3 例 5某商场促销方案规定：商场内所有商品案标价的80%出售，同时，当顾客在商场 内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额. 消费金额 ( 元) 300400 400500 500600 600700 700900 返还金额 ( 元) 30 60 100 130 150 注： 300400 表示消费金额大于300 元且小于或等于400 元，其他类同 . 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优

9、惠。例如，若购买标价为400 元 的商品，则消费金额为320 元，获得的优惠额为400 (1 80%) 30=110( 元) 购买一件标价为1000 元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ 【考点】运用有理数运算解决简单的问题 【分析】按实际问题列出式子计算 【解】购买一件标价为1000 元的商品，消费金额为800 元， 顾客获得的优惠额为1000 (1 80%) 150=350(元 ) 【说明】 实数运算复习注意点： 1. 乘方运算注意事项：注意分清底数；注意书写格式，若底数为负数或分数，书写时一定要 加括号，注意运算顺序，运算时要先算乘方； 2. 有理数运算的合理性：几个分数、小数相加，尽量化

10、成小数相加；几个分数、小数相乘， 尽量化成分数相乘；能“整”不“分”、能“正”不“负” 专题 3：近似数与有效数字、科学记数法 1近似数的表示方法：精确到哪一位或者精确到小数点后第几位；保留几个有效数字 2确定有效数字的方法：找出左边第一个非零的数字和精确到数位上的数字，两者及两者 之间的所有数字都是这个数的有效数字 3把一个数表示成10 n a ( 110a，n 为不等于 0 的整数 ) 的形式 例 6第二届亚洲青年运动会将于2013 年 8 月 16 日至 24 日在南京举办， 在此期间约有 13 000 名青少年志愿者提供服务，将13 000 用科学记数法表示为. 【考点】科学记数法 【

11、分析】根据科学记数法的定义，13 000 一共 5 位整数位，从而13 000=1.3 104 【解 】13 000=1.3 104 【说明】 科学记数法的规律：原数的绝对值大于10 时，原数利用科学记数法写成10 n a形式， 注意 110a，n 等于原数的整数位数减1;原数的绝对值小于1时， 原数利用科学记数 法写成10 n a形式，注意 110a，n 等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数(包 括小数点前面的零)例如 0.000 123=1.23 10 4 专题 4：整式的有关概念 1定义：单项式和多项式统称整式 2单项式： 数字与字母的积所组成的代数式叫单项式，单独一个数字或字母也是

12、单项式单 项式的属性有系数和次数 3多项式：几个单项式的和叫做多项式多项式的属性有次数和项数 例 7 1 (32) n mxy是关于 x，y 的 5 次单项式，且系数为1，则 m= ，n= 【考点 】单项式相关概念 【分析 】从单项式的次数和系数概念入手列出方程解决 【解 】m=1，n=5 【说明 】 1. 单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如： 21 4 3 a b ，应写成 213 3 a b； 2. 圆周率 是一个无理数， 在判断某一项的系数时，应将 作为系数， 如 2 2 x 的系数是2 ， 次数 2； 3计算单项式的次数时，要把所有字母的指数相加如单项式 2 5 3 x y 的

13、系数是 5 3 ，次数 是 3； 4. 多项式中的项若不含字母，只是一个数字，则此项为常数项，写项时不要漏掉 专题 5：整式的化简与求值 1整式的加减有括号先去括号，再合并同类项 2整式的乘法(1)幂的运算法则；(2)整式乘法常见类型；(3)乘法公式 3整式的除法 例 8化简： 2 (1)2xx = 【考点】整式的加减、完全平方公式 【分析】应用完全平方公式公式展开后合并同类项 【解 】原式 =x 2 +2x+1- 2x=x 2+1 例 9下列计算中，正确的是( ) A(a 3b)2=a6b2 B a?a 4=a4 Ca 6 a2=a3 D3a+2b=5ab 【考点】同底数幂的除法；合并同类项

14、；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【分析】根据积的乘方，等于把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘， 底数不变指数相加；同底数幂相除， 底数不变指数相减对各选项分析判断后利用排 除法求解 【解 】A. (a 3 b) 2=a6b2，故本选项正确； B. a?a 4=a5，故本选项错误； C. a 6 a 2=a62=a4，故本选项错误； D. 3a 与 2b 不是同类项，不能合并，故本选项错误 故选 A 【说明】 1在中考中，直接考查整式乘法的题目并不多，而是在很多其它问题的解决中用到乘法公 式，这就要求熟悉乘法公式的特点，看清项数及公式形式中的a、b，准确进行计算； 2要准

15、确认识平方差和完全平方公式，必须结合面积法证明这两个公式，这种证明方法在 初中数学中体现了数形结合的思想； 3在化简求值时要注意：当字母是负数时，代入后应加上括号，另外字母是分数时，遇到 乘方也要加括号 专题 6：因式分解 1因式分解的概念把一个多项式化为几个整式乘积形式，叫做因式分解，也叫做分解因 式； 2因式分解法常用方法 (1)提公因式法：()mambmcm abc (2)公式法： 22 ()()abab ab ； 222 2()aabbab； 3322 ()()abab aabb； 3322 ()()abab aabb； (3)十字相乘法： 2 ()()()xpq xpqxpxq 例

16、10分解因式： 322 288xx yxy 【考点】提公因式法和应用公式法因式分解 【分析】因式分解的一般思考方法是：先看是否有公因式可提，再看能否用公式，二次三项 式一般可以考虑用十字相乘法，对于项数为四项或四项以上的，考虑用分组分解法 【解 】原式 = 22 2 (44)x xxyy= 2 2 (2 )x xy 例 11 当 m+n=3 时，式子m 2+2mn+n2 的值为 【考点】利用因式分解方法解决问题 【分析】将代数式化为完全平方公式的形式，代入即可得出答案 【解】 m2+2mn+n2=(m+n)2=9 故答案 为： 9 【说明】 1分解因式是研究代数式的一种手段，不是目的分解因式的

17、思路和方法始终贯穿在数学 变换中，通过分解因式将多项式合理变形，是求代数式的值的常用的解题方法，许多有 关整式、分式以及二次根式的化简与计算都离不开分解因式公因式； 2因式分解的思考方法是：先提公因式，再由项数定方法(二项考虑平方差公式、三项考虑 完全平方公式或十字相乘法、四项以上考虑分组分解法)， 最后考虑分解到不能分解为止； 3提取公因式后所得结果应为：n 项式 =公因式 新的 n 项式；公因式可能是单项式也可能 是多项式对多项式在教学中要注意下述变形：abba ，()baab ， 22 ()()baab， 33 ()()baab， (1)(2)(1)(2)aaaa； 4运用公式的关键是熟

18、悉公式的结构特点，了解公式中a、b 的广泛含义，才能准确、迅速 解题 专题 7：分式的概念 形如 A B ( A、B 是整式，且B 中含有字母， B0 ) 的式子叫做分式；整式和分式统称为有 理式 1. 若分式 A B 有意义，则0B；2. 若分式 A B 无意义，则0B； 3. 若分式 A B =0，则0,0AB；4. 若分式 A B 0，则 A，B 同号； 5. 若分式 A B 0，则 A，B 异号 例 12使式子 1 1 1x 有意义的x 的取值范围是 【考点】分式有意义的条件 【分析】要使分式有意义，则满足分母不为0 【解 】x 1 例 13 使分式 1 21 x x 的值为零的条件是

19、x= 【考点】分式值为零的条件 【分析】要使分式值为零，则满足分子等于0 且分母不为0 【解】10x且 210x得1x 【说明】 1. 分式的分母不能为零、二次根式被开方数大于等于零、零指数底数不为零是考虑一个代数 式有意义及函数自变量取值范围三个重要方面； 2. 看到一个分式就要反应出分母不为零这个要求； 3. 对分式的处理有时需要看成一个整体分式，有时需要把分子分母分开看成为两个整式相 除 专题 8：分式性质及运算 1分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以( 或除以 ) 同一个不为零的整式，分式的值不 变 AAM BBM , AAM BBM ( 其中 M 是不为零的整式) 2分式的运算与分

20、数的运算相仿 例 14 若所分式 ab ab ( a、b 均为正数 ) 中的 a、b 都扩大为原来的2倍，则分式的值等于 原来的倍 【考点】分式的基本性质 【分析】本题实质是在分子上乘上4、分母上同乘上2，亦可用特殊值代入方法解决。对此 题可以做一个变式，让学生真正认识到题目的本质是分式的基本性质 【解 】分式的值等于原来的2 倍 例 15 先化简，再求值： 23 (1) 11 x x xx ，其中32x 【考点】分式的化简求值 【分析】 将原式括号中各项通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后再利用平方差公 式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运 算，约分得

21、到最简结果，即可得到原式的值 【解 】 232(1)(1)3 (1) 11111 xxxx x xxxxx 2 24211 111(2)(2)2 xxxx xxxxxx 当32x时，原式 = 13 3322 【说明】 1. 在分式约分时，分子分母公因式的判断方法：(1)系数取分子、分母系数的最大公约数作 为公因式的系数；(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式；(3)如果分子、分母是 多项式，则应先把分子、分母因式分解，然后判断公因式； 2. 在分式的运算中要注意负号及括号的处理，分式的加减运算要把分子作为一个整体进行加 减，一定要添加括号； 3. 分式的计算 (或化简 )主要依据分式的约

22、分和通分，运算时要注意观察式子的特点，灵活运 用运算法则，防止盲目繁琐的运算；若分式的分子、分母是多项式时，可考虑先进行因 式分解分式的计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是中考 的重要题型之一，复习中要重视 专题 9：二次根式的有关概念及二次根式的性质 1. 形如 a ( 0a)的式子叫做二次根式； 2. 可以从以下三个方面理解最简二次根式： (1)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；(2)被开方数中不含分母； (3)分母中不含有根号 3. 判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须把它们化为最简二次根式，然后看它们的被 开方数是否相同 4. 二次根式的性质： a 0( a 0) ；( a ) 2 a(a0) ； 2 aa； ab a b(a0 ，b 0) ； a b a b (a0 ，b0) 例 16若式子 1 2 x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ( ) A1xB1xC1xD1x