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1、各部分设计意图说明 一、入门： 力求整合相关知识，减少学生记忆，增强认知，选用基本问题作为习题，提升学生基础 知识应用能力。 二、提高： 总结相关知识推衍出的常用结论，学生可以通过这些结论的证明实际演练基础知识的应 用，选择教学进度内、提升难度后的例题和练习再次强化学生分析问题、解决问题能力。 三、中考视角：选题以中考考查范围为视角，提高学生各部分知识的综合应用能力。题目中将加入 部分原创试题，目的是让学生开拓视野，给老师中考复习增加素材。 与圆有关的角复习 一、入门 （一）、定义： 圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。如图 1， AOB 是圆心角， 它所对的弧是劣弧 AB ， 其实，这个图里还
2、有一个圆心角，就是AOB 优弧 AB所对的圆心角，很多时候我们都忽略 它的存在，有时候它也很有用，比如，证明圆内接四边形性质时。 圆周角：顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。换个角度看，圆周角就 是两条有公共端点的弦所夹成的角。如图1，AOB 是圆周角，它是由弦AC、弦 BC 所夹成 的，点 C 是它的顶点，而剩余的两个弦的端点，恰好构成了圆周角作对弧 AB。 由此，可知，圆周角和圆心角同根同源，圆心角、圆周角的转化都以它们所对的弧为基础 （二）、定理与性质： 1、课本上，我们有弧、弦、圆心角的关系定理，还有圆周角定理及其推论，如果我们将它们整合一 下可以得到 五量关系定理： 在同
3、圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角，两条弦，两条弦的弦心距、两条弧中，有一组量 相等，其余各组量分别对应相等。应用五量关系，证明圆中相关要素的相等关系是比较好的选择。 例题 1： 如图 2， O 中，弦 AB、CD 交于点 E，且 AB=CD，求证： AC=BD 解析： 因为是在同圆中，已知弦相等，我们可以推出弦所对的弧相等，也可以推出 弦所对的圆周角相等. 方法一：证明：如图2， AB=CD AB = CD AC = BD AC=BD 方法二：证明：如图3，连 OA，OB，OC，OD AB=CD AOB= COD A B O C 图 1 E A B O C D 图 2 E A B O C D
4、 图 3 AOC= BOD AC=BD 2、由圆周角定理还可以得到 半圆或（直径）所对的圆周角是90o；90o的圆周角所对的弦是直径。 圆内接四边形对角互补。 这是圆中经常用到的推论，除了用于证明，遇直径经常连接直径所对的圆周角。 例 2：如图 4，AB 是 O 的直径， BD 是 O 的弦，延长BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？ 解析： AB 是 O 的直径，则连AD 后， BDA=90，即 ADBC，因 AC=AB，由 等腰三角形三线合一，BD=DC（证略） 3、练习 1. 如图 5，已知点 E 是 O 上的点，B、C 分别是劣弧 AD的三等分点 ,
5、46BOC ， 则 AED的度数为 2. 如图 6， O 中OABC，25CDA，则AOB的度数为 3. 如图 7，点CD、在以 AB为直径的 O 上，若28BDC ，则ABC度 4. 如图 8， O 中，弦ABDC，的延长线相交于点 P，如果120AOD ，25BDC，那么 P 5. 如图 9，AB=OA=OB=OC，则 ACB 的大小是（） A40B30C20D35 二、提高 （一）、典型结论： 1、将圆周角、圆心角与圆内其它知识整合在一起，可以得到许多结 论：如图10， O 内切于 ABC，D、E、 F 分别为切点，为 DF 上 任意一点。将相应各点连接在一起可以得到如下结论： （1）
6、BOC= （2） DEF = 事实上，当点E 在优弧 DF 上（与 D、F 不重合）运动时，总有该结 论成立 （3） DF= 2、实际计算中，我们还可以发现弦长、半径与弦所对圆心角之间的关系： 已知， O 半径为 R，当弦 AB=R 时，圆心角AOB=60 ； 当弦 AB=R 时，圆心角AOB=90 ； C B D A O A D C P B O 图 5 图 6 图 7 图 8 图 9 图 4 E F E A B O C D 图 10 A B C D E 图 11 当弦 AB=R 时，圆心角AOB=120 （本条结论应用程度相当高一定要熟记）； 3、圆内接四边形外角等于内对角 （二）、例题 例
7、 3：如图 11， A、B、 C、D 四点均在一圆弧上，弦BC / AD，且直线AB 与直线 CD 相交 于 E 点。若BCA=10 ，BAC=60 ，则BEC=（） A、35B、40C、60D、70。 分析： 由三角形外角知识可知EBC=BCA+BAC=70 ，由 BC / AD，可得EAD= EBC=70 ， 由 A、B、 C、D 四点共圆，EAD+BCD=180 ，又因BCE+BCD=180 可得BCE=70 ，则BEC=40 例 4： 如图 12， O 为 ABC 的外接圆， 其中 D 点在 AC上， 且 ODAC 已知 A=36 ， C=60 ，则 BOD 的度数为何？（） A、13
8、2B、144C、156D、 168 分析： 本题 一种解法 是连接 CO，由圆周角定理可得BOC=72 ，由等腰三角形内角 和求 BCO=54 ，则 OCA=6，由 ODAC 可得 COD=84 ，则 BOD=BOC+ COD=156 本题 另一种解法 ，连接 CO，由圆周角定理可得BOC=72 ，因为 ODAC，由垂径 定理， DC= AC, 则有 COD= AOC=ABC=180 -36 -60 =84 ， BOD=BOC+COD=156 例 5：如图 13，BC 为 O 的直径， ADBC 于 D，P 是 AC上一动点，连接 PB 分别交 AD、AC 于点 E，F （1）当 PA= AB
9、时，求证： AE=BE； （2）当点 P 在什么位置时，AF=EF？证明你的结论 分析： (1) 可连 AB，由 BC 是直径， ADBC，由同角的余角相等可知BAD =C，由 PA= AB可得 ABE=BAD。 (2) 我们可以通过倒推的方法解决这类问题。当 AE=BE 时，可得 AEF=AFE，由（1）可知，ABP+ AFB=90， PBD +BED=90，由此可知，ABP=PBD，所以 PA= PC。按此思路，正推回去 即可。 （1）证明：连接AB， BC 为 O 的直径， AB AC 又 ADBC， BAD+DAC=C+ DAC=90 BAD=C PA= AB ABE=C ABE=BA
10、D AE=BE （2）当 PA= PC时， AF=EF 证明： PA= PC PBC=C 90- PBC=90- C 即 BED=DAC 图 12 图 13 BED=AEF DAC=AEF AF=EF （三）、学段练习 1. 如图 15，在 O 中，圆心角60BOC，则圆周角BAC等于（） A60B50C40D30 2. 如图 16， 量角器外缘边上有APQ， ，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30， 则PAQ 的大小为（）A10B20C30D40 3. 如图 17，正方形ABCD内接于 O，点E在劣弧AD上，则BEC等于（） 45603055 4. 如图 18, 已知 CD 为 O
11、 的直径，过点D 的弦 DE 平行于半径OA, 若 D 的度数是50o, 则 C 的 度数是（） A.50 o B. 40 o C. 30 o D.25 o 5 如图 19 所示，小华从一个圆形场地A 点出发，沿着与半径OA夹角为的方向行走，走 到场边缘B后，再沿着与半径OB夹角为的方向折向行走，按照这种方式，小华第五次走到 场地边缘时处于弧 AB上，此时56AOE ，则的度数是（） A52B60C72D76 6如图 20，已知在 O 中，半径 OA OB，C 是 OB 延长线上一点，AC 交 O 于 D，求证： 弧 AD 的度数是 C 的 2 倍 三、中考视角 1如图 21，四边形ABCD
12、内接于 O， DAB=130 ，连接 OC，点 P 是半径 OC 上任意一点， 连接 DP，BP，则 BPD 可能为度（写出一个即可） 2如图 22，MN 是 O 的直径， MN=4，AMN=40 ，点 B 为弧 AN 的中点 ，点 P 是直径 MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为 3如图 23，等边 ABC 内接于 O，P 是 AB 上任一点（点P 不与点 A、B 重合），连AP、 BP，过点 C 作 CMBP 交 PA 的延长线于点M （1）填空： APC= ， BPC= ； （2）求证： ACM BCP； （3）若 PA=1，PB=2，求梯形PBCM 的面积 O C B A 图 15 A E D CB O 图 17 E A O D C 图 18 图 16 图 19 图 20 图 21 图 22 图 23