《中考专题存在性问题解题策略1-等腰三角形的存在性问题解题策略.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考专题存在性问题解题策略1-等腰三角形的存在性问题解题策略.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、中考数学压轴题解题策略（1） 等腰三角形的存在性问题解题策略 专题攻略 如果 ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC， BABC， CACB 三种情况 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使 得解题又好又快 几何法一般分三步：分类、画图、计算 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 例题解析 例?如图 1-1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 的坐标为 (3, 4)，点 P 是 x 轴正 半轴上的一个动点，如果DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标 图 1-1 【解
2、析】分三种情况讨论等腰三角形DOP： DO DP， ODOP， POPD 当 DODP 时，以 D 为圆心、 DO 为半径画圆，与x 轴的正半轴交于点P，此时点 D 在 OP 的垂直平分线上，所以点P 的坐标为 (6, 0)（如图 1-2） 当 ODOP 5 时，以 O 为圆心、 OD 为半径画圆，与x 轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图 1-3） 当 POPD 时，画 OD 的垂直平分线与x 轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图 1-4） 在 RtOPE 中，所以 3 cos 5 OE DOP OP 5 2 OE 25 6 OP 此时点 P 的坐标为 25 (,0) 6 图 1-2 图
3、1-3 图 1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中 和画好图就知道答案了，只需要对进行计算 代数法先设点P 的坐标为 (x, 0)，其中 x0，然后罗列DOP 的三边长（的平方） DO 252，OP2x2，PD2(x3)2+42 当 DODP 时， 52(x3)2+42解得 x 6，或 x0 当 x0 时既不符合点P 在 x 轴的正半轴上，也不存在DOP 当 ODOP 时， 52x2解得 x 5当 x 5 时等腰三角形DOP 是存在的，但 是点 P 此时不在x 轴的正半轴上（如图1-5） 当 POPD 时， x2(x3)2+4 2这是一个一元一次方程
4、，有唯一解，它的几何意义 是两条直线（ x 轴和 OD 的垂直平分线）有且只有一个交点 代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验 图 1-5 例?如图 2-1，在矩形ABCD 中， AB6，BC8，动点 P 以 2 个单位 /秒的速度从点 A 出发，沿AC 向点 C 移动，同时动点Q 以 1个单位 /秒的速度从点C 出发，沿CB 向点 B 移动，当P、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动在P、Q 两点移动的过程中，当 PQC 为等腰三角形时，求t 的值 图 2-1 【解析】在P、Q 两点移动的过程中，PQC 的 6个元素（ 3 个角和 3 条边）中，唯 一不变的就是P
5、CQ 的大小，夹PCQ 的两条边CQ t， CP10 2t. 因此 PQC 符合 “边角边”的解题条件，我们只需要三个C 就可以了，在C 的边上取点P 或 Q 画圆 图 2-2 图 2-3 图 2-4 如图 2-2，当 CPCQ 时， t102t，解得( 秒 ). 10 3 t 如图 2-2，当 QPQC 时，过点Q 作 QMAC 于 M，则 CM. 1 5 2 PCt 在 RtQMC 中，解得( 秒). 45 cos 5 CMt QCM CQt 25 9 t 如图 2-4，当 PQPC 时，过点P 作 PNBC 于 N，则 CN. 在 RtPNC 中，解得(秒). 1 4 2 cos 510
6、2 t CN PCN CPt 80 21 t 这道题中，我们从“有限 ” 的矩形中，选择我们需要的“无限 ”的 PCQ，使得画图 简洁，计算简练 例?如图 3-1，直线 y2x 2 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，点 P 是 x 轴正半轴 上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点 Q，如果 APQ 是等腰三角形，求 点 P 的坐标 图 3-1 【解析】我们先用代数法解这道题 由 y2x2 得， A(1，0)，B(0，2)所以 OA1，OB2 如图 3-2，由于 QPA ABO，所以 OPOQOBOA 21 设点 Q 的坐标为 (0，m)，那么点P 的坐标为 (2m， 0
7、) 因此 AP 2(2m1)2， AQ2 m21， PQ2m2(2m)25m2 当 APAQ 时，解方程 (2m1)2m21，得或所以符合条件的点0m 4 3 m P 不存在 当 PAPQ 时，解方程 (2m1)25m2，得所以25m(42 5,0)P 当 QAQP 时，解方程m215m2，得所以 1 2 m(1,0)P 图 3-2 图 3-3 图 3-4 我们再用几何法验证代数法，并进行比较如图3-3，在直线 PQ 平移的过程中，根据 “两直线平行，同位角相等” ，可知 QPO 的大小是不变的，因此PQA 也符合 “边角 边”的解题条件，我们只需要三个P，点 P 在点 A的右侧，暂时不画y
8、轴（如图3-4） 如果 APAQ，以 A 为圆心、 AP 为半径画圆，得到点Q（如图3-5） 因为点Q 在 y 轴上，于是“奇迹”出现了，点A(1, 0)怎么可以在y 轴的右侧呢？ 图 3-5 图 3-6 当 PAPQ 时，以 P 为圆心、 PA 为半径画圆，得到点Q，再过点Q 画 y 轴此时 由，解得，所以（如图 3-6） 请问代数法解得的215mm25m(42 5,0)P 点在哪里？看看图3-7 就明白了(42 5,0)P 当 QAQP 时，点 Q 在 AP 的垂直平分线上，由于A( 1, 0)，所以 P(1, 0) （如图 3- 8） 我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较
9、简便 图 3-7 图 3-8 例 ?如图 4-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A、C 分别在x、 y 轴的正半轴 上， M 是 BC 的中点 P(0, m)是线段OC 上一动点（C 点除外），直线 PM 交 AB 的延长线 于点 D当 APD 是等腰三角形时，求m 的值 图 4-1 【解析】点P(0, m)在运动的过程中，APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法 “边角边”的解题条件，我们用代数法来解 因为 PC/DB，M 是 BC 的中点，所以BDCP2 m所以 D(2, 4m) 于是我们可以罗列出APD 的三边长（的平方）： ， 22 (4)ADm 22 4APm 222 2(4
10、2)PDm 当 APAD 时，解得（如图 4-2） 22 (4)4mm 3 2 m 当 PAPD 时， 222 42(42)mm 解得（如图 4-3）或（不合题意，舍去） 4 3 m4m 当 DADP 时， 222 (4)2(42)mm 解得（如图 4-4）或（不合题意，舍去） 2 3 m2m 综上所述，当APD 为等腰三角形时，m 的值为，或 3 2 4 3 2 3 图 4-2 图 4-3 图 4-4 其实、两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单： 如图 4-2，当 APAD 时， AM 垂直平分PD，那么 PCM MBA 所以因此， 1 2 PCMB CMBA 1 2 PC 3 2 m
11、 如图 4-3，当 PAPD 时， P 在 AD 的垂直平分线上 所以 DA 2PO因此解得42mm 4 3 m 例?如图 5-1，已知 ABC 中， ABAC6，BC8，点 D 是 BC 边上的一个动点， 点 E 在 AC 边上， ADE B设 BD 的长为 x，如果 ADE 为等腰三角形，求x 的值 图 5-1 【解析】在ADE 中， ADE B 大小确定，但是夹ADE 的两条边DA、 DE 用含 有 x 的式子表示太麻烦了 本题的已知条件ADE B C 非常典型，由于ADC ADE 1， ADC B 2， ADE B，所以 1 2于是得到典型结论DCE ABD 如图 5-2，当 DADE 时， DCE ABD因此 DC AB，8x6解得 x2 如图 5-3，如果AD AE，那么 AED ADE C由于 AED 是 DCE 的一 个外角，所以AED C如果 ADE C，那么 E 与 C 重合，此时D 与 B 重合， x 0 如图 5-4，当 EAED 时， DAE ADE B C，所以 DAC ABC因 此解得 86 68 x7 2 x 图 5-2 图 5-3 图 5-4