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1、中考数学专题复习第三讲几何探究问题 【专题分析】 几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边 形的综合探索与证明以及几何动态问题等. 这是中考对几何推理与证明能力考查 的必然体现 , 重在提高学生对图形及性质的认识, 训练学生的推理能力 , 解题时应 注意演绎推理与合情推理的结合. 全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作 为中考的压轴题之一 【知识归纳】 几何探究问题是中考必考题型, 考查知识全面 , 综合性强 , 它把几何知识与代数知 识有机结合起来 , 渗透数形结合思想 , 重在考查分析问题的能力、 逻辑思维推理能 力. 如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情
2、境型等, 背景鲜活 , 具有实用性和 创造性 , 在考查考生计算能力的同时, 考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、 抽象思维能力、建模能力 , 力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去. 需要通 过观察、分析、比较、概括、推理、判断等来确定所需求的结论、条件或方法, 因而解题的策略是将其转化为封闭性问题. 常用的解题策略 : 1. 找特征或模型 : 如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等; 2. 找思路 : 借助问与问之间的联系 , 寻找条件和思路 ; 3. 照搬: 照搬前一问的方法和思路解决问题, 如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、 照搬相似等 ; 4. 找结构 : 寻找不
3、变的结构 , 利用不变结构的特征解决问题. 常见的不变结构及方 法: 有直角 , 作垂线 , 找全等或相似 ; 有中点 , 作倍长 , 通过全等转移边和角 ; 有平行 , 找相似 , 转比例 . 【题型解析】 题型 1: 与全等三角形有关的探究 例题： （2017浙江衢州） 问题背景 如图 1，在正方形 ABCD 的内部，作 DAE= ABF= BCG= CDH ，根据三角形全等 的条件，易得 DAE ABF BCG CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形 类比探究 如图 2，在正 ABC的内部，作 BAD= CBE= ACF ，AD ，BE ，CF两两相交于 D， E，F三点（ D，E，
4、F 三点不重合） （1）ABD ，BCE ，CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明 （2）DEF是否为正三角形？请说明理由 （3） 进一步探究发现，ABD的三边存在一定的等量关系， 设 BD=a ， AD=b ， AB=c ， 请探索 a，b，c 满足的等量关系 【考点】 LO ：四边形综合题 【分析】 （1）由正三角形的性质得出CAB= ABC= BCA=60 ， AB=BC ，证出 ABD= BCE ，由 ASA证明 ABD BCE 即可； （2）由全等三角形的性质得出ADB= BEC= CFA ，证出 FDE= DEF= EFD ， 即可得出结论； （3）作 AG BD于 G ，
5、由正三角形的性质得出 ADG=60 ，在 RtADG 中，DG= b，AG=b，在 RtABG 中，由勾股定理即可得出结论 【解答】解：（1）ABD BCE CAF ；理由如下： ABC 是正三角形， CAB= ABC= BCA=60 ，AB=BC ， ABD= ABC 2，BCE= ACB 3，2=3， ABD= BCE ， 在ABD 和BCE中， ABD BCE （ASA ） ； （2）DEF是正三角形；理由如下： ABD BCE CAF ， ADB= BEC= CFA ， FDE= DEF= EFD ， DEF是正三角形； （3）作 AG BD于 G ，如图所示： DEF是正三角形， A
6、DG=60 ， 在 RtADG 中，DG= b，AG=b， 在 RtABG 中，c 2=（a+ b） 2+（ b） 2， c 2=a2+ab+b2 题型 2: 与相似三角形有关的探究 例题: （2017 湖南岳阳）问题背景：已知EDF的顶点 D在ABC的边 AB所在 直线上（不与 A，B重合） ，DE交 AC所在直线于点 M ，DF交 BC所在直线于点 N， 记ADM 的面积为 S1，BND的面积为 S2 （1） 初步尝试：如图，当ABC是等边三角形， AB=6 ， EDF= A，且 DE BC ， AD=2时，则 S1S2= 12 ； （2）类比探究：在（ 1）的条件下，先将点D沿 AB平移
7、，使 AD=4 ，再将 EDF 绕点 D旋转至如图所示位置，求S1S2的值； （3）延伸拓展：当 ABC 是等腰三角形时，设 B=A=EDF= （）如图，当点 D在线段 AB上运动时，设 AD=a ，BD=b ，求 S1S2的表达式（结 果用 a，b 和 的三角函数表示） （）如图，当点D在 BA的延长线上运动时，设AD=a ，BD=b ，直接写出 S1S2 的表达式，不必写出解答过程 【分析】 （1）首先证明 ADM ，BDN都是等边三角形， 可得 S1=2 2= ，S2= （4） 2=4 ，由此即可解决问题； （2）如图 2 中，设 AM=x ，BN=y 首先证明 AMD BDN ，可得=
8、，推出 =， 推出 xy=8， 由 S1=ADAMsin60 =x， S2=DBsin60=y， 可得 S1S2= xy=xy=12； （3）如图 3 中，设 AM=x ，BN=y ，同法可证 AMD BDN ，可得 xy=ab，由 S1= ADAMsin =axsin ， S2=DBBNsin =bysin ， 可得 S1S2= （ab） 2sin2 （）结论不变，证明方法类似； 【解答】解：（1）如图 1 中， ABC 是等边三角形， AB=CB=AC=6，A=B=60 ， DE BC ，EDF=60 ， BND= EDF=60 ， BDN= ADM=60 ， ADM ，BDN 都是等边三
9、角形， S1=2 2= ，S2=（4） 2=4 ， S1S2=12， 故答案为 12 （2）如图 2 中，设 AM=x ，BN=y MDB= MDN+ NDB= A+AMD ，MDN= A， AMD= NDB ， A=B， AMD BDN ， =， =， xy=8， S1=ADAMsin60 =x，S2=DBsin60=y， S1S2=xy=xy=12 （3）如图 3 中，设 AM=x ，BN=y ， 同法可证 AMD BDN ，可得 xy=ab， S1=ADAMsin =axsin ，S2=DBBNsin =bysin ， S1S2=（ab） 2sin2 如图 4 中，设 AM=x ，BN=
10、y ， 同法可证 AMD BDN ，可得 xy=ab， S1=ADAMsin =axsin ，S2=DBBNsin =bysin ， S1S2=（ab） 2sin2 方法指导：考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似 三角形的判定和性质、 三角形的面积公式 锐角三角函数等知识， 解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题 题型 3: 与全等和相似三角形有关的探究 例题：如图示，正方形ABCD 的顶点 A 在等腰直角三角形DEF的斜边 EF上，EF 与 BC相交于点 G ，连接 CF 求证： DAE DCF ； 求证： ABG CFG 【考点】S8：相似三角形的判
11、定； KD ：全等三角形的判定与性质；KW ：等腰直角 三角形； LE：正方形的性质 【分析】由正方形ABCD 与等腰直角三角形DEF ，得到两对边相等，一对直角 相等，利用 SAS即可得证； 由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到BAG= BCF ，再由 对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证 【解答】证明：正方形ABCD ，等腰直角三角形EDF ， ADC= EDF=90 ，AD=CD ，DE=DF ， ADE+ ADF= ADF+ CDF ， ADE= CDF ， 在ADE 和CDF中， ， ADE CDF ； 延长 BA到 M ，交 ED于点 M ， ADE CDF
12、 ， EAD= FCD ，即 EAM+ MAD= BCD+ BCF ， MAD= BCD=90 ， EAM= BCF ， EAM= BAG ， BAG= BCF ， AGB= CGF ， ABG CFG 【提升训练】 1. 如图，在平行四边形ABCD 中，边 AB的垂直平分线交AD于点 E，交 CB的延 长线于点 F，连接 AF ，BE （1）求证： AGE BGF ； （2）试判断四边形 AFBE的形状，并说明理由 【考点】L5：平行四边形的性质； KD ：全等三角形的判定与性质；KG ：线段垂直 平分线的性质 【分析】 （1）由平行四边形的性质得出AD BC ，得出 AEG= BFG ，由
13、 AAS证明 AGE BGF 即可； （2）由全等三角形的性质得出AE=BF ，由 AD BC ，证出四边形 AFBE是平行四边 形，再根据 EF AB ，即可得出结论 【解答】 （1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ， AEG= BFG ， EF垂直平分 AB ， AG=BG， 在AGEH 和BGF中， AGE BGF （AAS ） ； （2）解：四边形 AFBE是菱形，理由如下： AGE BGF ， AE=BF ， AD BC ， 四边形 AFBE是平行四边形， 又EF AB ， 四边形 AFBE是菱形 2. （2017 山东烟台） 【操作发现】 （1）如图 1，ABC为
14、等边三角形，现将三角板中的60角与 ACB 重合，再将 三角板绕点 C按顺时针方向旋转（旋转角大于0且小于 30） ，旋转后三角板 的一直角边与 AB交于点 D ，在三角板斜边上取一点F，使 CF=CD ，线段 AB上取 点 E，使DCE=30 ，连接 AF ，EF 求 EAF的度数； DE与 EF相等吗？请说明理由； 【类比探究】 （2）如图 2，ABC为等腰直角三角形， ACB=90 ，先将三角板的90角与 ACB 重合， 再将三角板绕点 C按顺时针方向旋转（旋转角大于 0且小于 45） ， 旋转后三角板的一直角边与AB交于点 D ，在三角板另一直角边上取一点F，使 CF=CD ，线段 A
15、B上取点 E，使DCE=45 ，连接 AF ，EF，请直接写出探究结果： 求 EAF的度数； 线段 AE ，ED ，DB之间的数量关系 【考点】 RB ：几何变换综合题 【分析】 （1）由等边三角形的性质得出AC=BC ，BAC= B=60 ，求出 ACF= BCD ， 证明 ACF BCD ， 得出 CAF= B=60 ， 求出 EAF= BAC+ CAF=120 ； 证出 DCE= FCE ，由 SAS证明 DCE FCE ，得出 DE=EF 即可； （2）由等腰直角三角形的性质得出AC=BC ，BAC= B=45 ，证出 ACF= BCD ， 由 SAS证明 ACF BCD ， 得出 C
16、AF= B=45 ，AF=DB ， 求出 EAF= BAC+ CAF=90 ； 证出 DCE= FCE ，由 SAS证明 DCE FCE ，得出 DE=EF ；在 RtAEF中， 由勾股定理得出 AE 2+AF2=EF2，即可得出结论 【解答】解：（1） ABC 是等边三角形， AC=BC ，BAC= B=60 ， DCF=60 ， ACF= BCD ， 在ACF和BCD 中， ACF BCD （SAS ） ， CAF= B=60 ， EAF= BAC+ CAF=120 ； DE=EF ；理由如下： DCF=60 ，DCE=30 ， FCE=60 30=30， DCE= FCE ， 在DCE
17、和FCE中， DCE FCE （SAS ） ， DE=EF ； （2） ABC 是等腰直角三角形， ACB=90 ， AC=BC ，BAC= B=45 ， DCF=90 ， ACF= BCD ， 在ACF和BCD 中， ACF BCD （SAS ） ， CAF= B=45 ，AF=DB ， EAF= BAC+ CAF=90 ； AE 2+DB2=DE2，理由如下： DCF=90 ，DCE=45 ， FCE=90 45=45， DCE= FCE ， 在DCE 和FCE中， DCE FCE （SAS ） ， DE=EF ， 在 RtAEF中，AE 2+AF2=EF2， 又AF=DB ， AE 2+
18、DB2=DE2 3. (2017 湖北襄阳 )如图，在 ABC中，ACB=90 ， CD是中线， AC=BC ，一 个以点 D为顶点的 45角绕点 D旋转， 使角的两边分别与AC 、 BC的延长线相交， 交点分别为点 E，F，DF与 AC交于点 M ，DE与 BC交于点 N （1）如图 1，若 CE=CF ，求证： DE=DF ； （2）如图 2，在 EDF绕点 D旋转的过程中： 探究三条线段 AB ，CE ，CF之间的数量关系，并说明理由； 若 CE=4 ，CF=2 ，求 DN的长 【考点】 RB ：几何变换综合题 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到BCD= ACD=45 ， BCE
19、= ACF=90 ，于是得到 DCE= DCF=135 ，根据全等三角形的性质即可的结论； （2） 证得 CDF CED ， 根据相似三角形的性质得到，即 CD 2=CE?CF ， 根据等腰直角三角形的性质得到CD= AB ，于是得到 AB 2=4CE?CF ；如图，过 D 作 DG BC于 G ，于是得到 DGN= ECN=90 ， CG=DG，当 CE=4 ，CF=2时，求得 CD=2，推出 CEN GDN ，根据相似三角形的性质得到=2，根据勾股 定理即可得到结论 【解答】 （1）证明： ACB=90 ， AC=BC ，AD=BD ， BCD= ACD=45 ， BCE= ACF=90
20、， DCE= DCF=135 ， 在DCE 与DCF中， DCE DCF ， DE=DF ； （2）解： DCF= DCE=135 ， CDF+ F=180135=45， CDF+ CDE=45 ， F=CDE ， CDF CED ， ， 即 CD 2=CE?CF ， ACB=90 ， AC=BC ，AD=BD ， CD= AB ， AB 2=4CE?CF ； 如图，过 D作 DG BC于 G ， 则DGN= ECN=90 ，CG=DG， 当 CE=4 ，CF=2时， 由 CD 2=CE?CF 得 CD=2 ， 在 RtDCG 中，CG=DG=CD?sinDCG=2 sin45 =2， ECN= DGN ，ENC= DNG ， CEN GDN ， =2， GN= CG= ， DN= 4. （2017 浙江义乌）已知 ABC ，AB=AC ，D为直线 BC上一点， E 为直线 AC上 一点， AD=AE ，设BAD= ，CDE= （1）如图，若点 D在线段 BC上，点 E在线段 AC上 如果 ABC=60 ，ADE=70 ，那么 = 20 ，= 10 ，求 ， 之间的关系式