中考数学专题复习：方程与不等式(组)考点汇总大全.pdf

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1、中考数学专题复习：方程与不等式（组）考点汇总大全 明确目标 定位考点 整式方程（一元一次方程和一元二次方程）是初中的基础知识，应用极为广泛，对于方程、方程 的解等概念的考查以选择题、填空题为主，一元二次方程的应用一直是中考命题的热点，常与二次函 数结合起来考查。二元一次方程组是初中数学的重要组成部分，且与现实生活有着密切联系，多与一 次函数、整式进行综合考查。理解不等式的意义、不等式（组）的解及解集的含义，掌握不等式的基 本性质，解一元一次不等式（组）、在数轴上表示或判定其解集；根据具体问题中的数量关系，灵活 运用一元一次不等式（组）解决简单问题。 归纳总结思维升华 一、方程的基本概念 1、方

2、程 (1)等式和方程：用 “=”表示相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫做方程。 (2)方程的解； (3)解方程 2、等式的基本性质 等式的基本性质1：等式两边都加上(或减去 )同一个数，等式仍然成立。 等式的基本性质2：等式两边都乘 (或除以 )同一个数 (除数不能是 0)，等式仍然成立。 3、方程的解法 （1）方程的解法 (1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的整式方程叫做一元一次方 程。任何一个一元一次方程，总可以通过变形化为： b a x (b0) 的形式，一元一次方程有唯一解。 (2)一元二次方程：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化成0 2

3、cbxax（a0) 的形式， 这样的方程叫做一元二次方程。一元二次方程的解法有以下四种： 直接开平方法： 对于形如)0( 2 mmx或)0,0() 2 cacbax（的方程，直接开平方得mx 或 cbax 。 配方法：将方程0 2 cbxax（a0) 配方为)0( 2 nnmx的形式来求解。 公式法：一元二次方程0 2 cbxax（a0 ）的求根公式为 a acbb x 2 4 2 。 因式分解法：若方程0 2 cbxax（a0 ）能分解为两个一次因式的乘积，则令每一个因式为零， 使得原方程 “降次 “，转化为两个一次方程，然后解两个一无一次方程，即可求得原方程 的根。 4、一元二次方程的根的

4、判别式 在一元二次方程的求根公式 a acbb x 2 4 2 中，令 =acb4 2 ，就是根的判别式。 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当b(a0) 的形式。 (2)一元一次不等式的解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1。 (3)一元一次不等式组 几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。几个一元一 次不等式的解集的公共部分，叫做不等式组的解集，解不等式组时，可以把每个不等式的解集在数轴 上表示出来， 这样它们的公共部分便能较容易地得出来了，不等式组的公共解集,可用口诀 :大大取大， 小小取小；大

5、小小大取中间；大大小小取不了。 热点聚焦考点突破 热点一一元一次方程的概念和解法 【例 1】解方程)4(35xx 规律方法按去括号、移项、合并同类项、化x的系数为 1 的步骤循序进行。 【变式训练1】如果代数式53x的值与 2 1 -互为倒数，则x的值为（）。 A、-2 B、-1 C、 3 7 -D、 6 11 - 规律方法利用倒数和解一元一次方程的方法解答。 解一元一次方程的注意事项： 1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数； 2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于 括号，去分母后分子各项应加括号； 3、去括号时，不要漏乘括号

6、内的项，不要弄错符号； 4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项； 5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号； 6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法； 7、分、小数运算时不能嫌麻烦； 8、不要跳步 ,一步步仔细算。 热点二运用一元一次方程解决简单的实际问题 【例 2】某商品的标价为200 元，八折销售仍盈利40 元，则商品进价为（）元。 A、B、C、D、 规律方法做一元一次方程应用题的重要方法： 1、认真审题（审题） 2、分析已知和未知量3、找一个合适的等量关系4、设一个恰当的未知数 5、列出合理的方程（列式） 6、解出方

7、程（解题）7、检验 8、写出答案（作答） 【变式训练2】公元前 1700 年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“ 它的全部，加上它的七分 之一，其和等于19。” 此问题中的 “ 它” 的值为。 热点三一元二次方程的定义及解法 【例 3】 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）。 A0 1 2 2 x xB.0 2 cbxax C121 xxD.0523 22 yxyx 规律方法根据一元二次方程的定义可得答案。 【变式训练 3】 1.已知方程03 2 mxx的一个根是 1， 则它的另一根是，m的值是。 2.若 m，n 是方程 2 210xx的解，则 2 23mmn的值是. 热点四 一元二次

8、方程根的判别式 【例 4】一元二次方程 2 1 0 4 xx的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根D. 无法确定根的情况 规律方法一元二次方程根的判别式 【变式训练4】已知关于 x 的方程 2 220xxa。 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； 140120160100 （2）当该方程的一个根为1 时，求a的值及方程的另一根。 热点五一元二次方程根与系数的关系 【例 5】 若方程012 2 xx的两根分别为 21 xx 、，则 2121 -xxxx的值是。 规律方法根与系数的关系，根据题意得2 21 xx，1- 21x x，

9、所以 2121 -xxxx= 2（ 1）=3，故答案为3。 【变式训练5】1.已知一次二元方程034 2 xx的两根为,nm则 22 nmnm。 2.已知a、b、c分别为 Rt ABC （ C=90 ）的三边的长，则关于x的一元二次方程 2 20ca xbxca 根的情况是（） A方程无实数根B方程有两个不相等的实数根 C方程有两个相等的实数根D无法判断 热点六一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法） 【例 6-1】若一元二次方程)0( 2 abbax的两个根分别是1m与42m，则 a b = 。 规律方法运用直接开平方法解题。 【例 6-2】填空：34 2 xx（x1-

10、 2 规律方法运用配方法解答。 【例 6-3】已知 a是一元二次方程01 2 xx较大的根，则下面对a的估计正确的是（）。 A.02 6、 某种出租车的收费标准：起步价 7 元（即行驶距离不超过3 千米都需付 7 元车费）， 超过 3 千米后， 每增加 1 千米，加收2.4 元（不足 1 千米按 1 千米计）。某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19 元，那么甲地到乙地路程的最大值是（） 。 A.5 千米B.7 千米C.8 千米D.15 千米 7、 A、B 两地相距 240 千米，火车按原来的速度行驶需要4 小时到达目的地，火车提速后，速度比 原来加快 30，那么提速后只需要（）即可到达目的地

11、。 A. 10 3 3小时B. 13 1 3小时C. 10 3 4小时D. 13 1 4小时 8、若关于 y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4 有实根 ,则 k 的取值范围是 ( ) A.k- 7 4 B、k - 7 4 且 k0 C.k - 7 4 D.k 7 4 且 k0 9、关于x的一元二次方程 22 110axxa的一个根是0，则a值为（） A.1B.1C.1或1D. 1 2 10、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2 2870xx的两个根， 则这个直角三角形 的斜边长是（） A.3B.3 C.6 D.9 二、填空题。 1、 已知nm,是方程012 2 xx的两根

12、，且876342( 22 nmamm,则a的值是。 2、若 232 22 yx yx ,则 3 96 2 242yxyx 。 3、一列火车正在匀速行驶，它先用26s 的时间通过了一条长256m 的隧道（即从火车进入入口到车尾离 开出口），又用16s的时间通过了一条长96m 的隧道，这列火车的长度是m。 4、若不等式03nx的解集是2x,则不等式03nx的解集是。 5、某种商品的进价为800 元，出售时标价为1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但 要保证利润率不低于5%，则至多可打。 6、 若041ab,且一元二次方程0 2 baxkx有实数根，则k的取值范围是。 三、解答题。

13、1、解方程：)2(52xxx 2、已知关于x的方程 22 2(2)40xmxm两根的平方和比两根的积大21，求m的值。 3、水果市场某批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调 查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量减少20 千克。现要保证每天盈 利 6000 元，同时又要让顾客尽可能多得实惠，那么每千克应涨价多少元？ 4、在宽 20 米，长 32 米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向 互相垂直 )，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570 平方米，问道路 应该多宽 ? 5、盛夏来临之

14、际，服装加工厂甲、乙两个车间共同加工一款亚麻休闲装，且每人每天加工的件数相 同，甲车间比乙车间少10 人，甲车间每天加工服装400 件，乙车间每天加工服装600 件。 （1）求甲、乙两车间各有多少人； （2）甲车间更新了设备，平均每人每天加工的件数比原来多了10 件，乙车间的加工效率不变， 在两个车间总人数不变的情况下，加工厂计划从乙车间调出一部分人到甲车间，使每天两 个车间加工的总数不少于1300 件，求至少要从乙车间调出多少人到甲车间？ 参考答案： 热点聚焦考点突破 【例 1】)4(35xx解得6x。 【变式训练1】C 【例 2】B 【变式训练2】 8 133 【例 3】C 【变式训练3】

15、1.解题思路把方程的根代入方程，可以得到m的值，求出m值后可以求出方程的另一根。 2. 4 【例 4】B 【变式训练4】解题思路： （1）由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于0 得到关于的不等式，解之即可。 （2）当该方程的一个根为1 时，代入方程即可求得的值，从而得到方程，解之即得另一根。 【例 5】3 【变式训练5】1、25 2、C 【例 6-1】4 【例 6-2】 2 【例 6-3】C 【例 6-4】1, 9 21 xx 【变式训练6】可用配方法、公式法或因式分解法解方程。 【例 7】A 【变式训练7】解：设增长率为x，根据题意2014 年为 2500（1+x）万元， 2015

16、 年为 2500（1+x） （1+x）=3025， 解得 x=0.1=10%，或 x=-2.1（不合题意，舍去） 。 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10% （2）根据（ 1）所得的年平均增长率，3025 （1+10%）=3327.5（万元），预计 2016 年该地区将 投入教育经费3327.5 万元。 【例 8】B 【变式训练8】1. 222 3 yx yx （答案不唯一）; 2. D （2016 年海珠一模） 13不等式组 05 01 x x 的解集是. 【例 9】本题设七年级（ 1）有 x 名学生，七年级（ 2）有 y 名学生，等量关系为：“ 两班都以班为单位 单独购票，一共支付11

17、18元” 和“ 两班联合起来作为一个团体购票，需花费816 元” 。注意，就分两班 a a 人数多于 50 人且少于 100 人和两班人数多于100 人两种情况讨论。 （2）分别计算出两个班单独购票与团体购票费用之差即可。 【变式训练9】解：设小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各x 张， y 张， 由题意得 5800700550 10 yx yx ，解得 2 8 y x 答：小李预定的小组赛的球票8 张，淘汰赛的球票2 张。 【例 10】B 【变式训练10】D 【例 11】 （1）设购买A 种树苗 x 棵，则购买B 种树苗棵，由题意，得y=（20+5）x+（30+5）=-10x+35000 ； （

18、2）由题意，可得0.90x+0.95=925，解得 x=500。当 x=500 时， y=-10 500+35000=30000， 即绿化村道的总费用需要30000 元； （3）由（ 1）知购买 A 种树苗 x 棵，B 种树苗棵时，总费用y=-10x+35000， 由题意，得 -10x+3500031000 ，解得 x400 ， 所以 1000-x600 ，故最多可购买B 种树苗 600 棵。 【变式训练11】 （1）设原计划买男款书包x个，则买女款书包（60-x）个。 根据题意：3400)60(7050xx,解得 x = 40， 60-40=20，原计划买男款书包40 个，买女款书包20 个

19、。 （2）设能买女款书包a个，则可买男款书包 50 70-4800a 个， 由题意，得80 50 70-4800a a，解得a40 ， 最多能买女款书包40 个。 专题训练，对接中考： 一、选择题。 1、B 2、B 3、B 4、D 5、B 6、B 7、C 8、C 9、B 10、B 二、填空题。 1、16-x2、 8 153 3、 1 4、2, 0 21 xx 5、72（1-x）2 =56 6、 5 22 - 三、解答题。 1、 1 2 y x 2、32,32 21 xx 3、解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm 可以得出平行于墙的一边的长为（25-2x+1）m， 由题意得：x（25-2x+1

20、）=80，化简，得04013 2 xx，解得：5 1 x，8 2 x， 当 x=5 时， 262x=1612（舍去），当x=8 时， 262x=1012。 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为 8m。 4、解： （1）关于x的方程有两个不相等的实数根， ，解得，。 （2）该方程的一个根为1， ，解得，. 原方程为，解得. ，方程的另一根为。 5、解：（ 1）设 A，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元， y 元，得： 5(30)(40)76 6(30)3(40)120 xy xy ，解得 42 56 x y . 答： A，B 两种型号计算器的销售价格分别为42 元， 56 元. （2）设最少需

21、要购进A 型号的计算 a 台，得 3040(70)2500aa， 解得30a . 答：最少需要购进A 型号的计算器30 台. 6、解： （1）设该镇 2012 年至 2014 年绿地面积的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）. 答：该镇 2012 年至 2014 年绿地面积的年平均增长率为20%. （2）82.8 （1+20%）=99.360a3a 1220a1a 2 230xx12 1,3xx 1a3 x () 2 57.5 182.8x+= 12 0.2,2.2xx= - 6、 C 7、B 8、B 9、 B 10、B 二、填空题。 1、-4 2、3 3、160 4、2

22、x5、七折6、4k且0k 三、解答题。 1、2 1 x， 5 1 2 x 2、解 ：设 此方程的两根分别为 1 x, 2 x,则可得21)( 21 2 2 2 1 xxxx,213)( 21 2 21 xxxx， -2(m-2) 2-3(m2+4)= 21 解得 m 1=-1,m2=17。因为 0 ，所以 m 0 ，所以 m-1。 3、解：设每千克涨价x 元，利润为y 元，由题意，得 y=（10+x）（500-20x）， =-20x 2+300x+5000 =-20(x- 2 15 )2 +6125 a=-200， 抛物线开口向下，当x=7.5 时，y最大值=6125。 当 y=6000 时，

23、 6000=（10+x）（ 500-20x），解得： x1=10，x2=5， 要使顾客得到实惠，x=5。 答：每千克应涨价为5 元。 4、解：设道路宽为x 米，根据题意，得 32 20（ 40x32x2x 2）570 整理，得 x 236x350 解这个方程，得x11，x235 x235 不合题意，所以只能取x11 答：道路宽为1米 分析：若把所求三条路平移到矩形耕地边上，就更易发现等量关系列出方程。 如前所设，知矩形MNPQ 的长 MN(322x)米，宽 NP(20x)米， 则矩形 MNPQ 的面积为： (322x)(20x)而由题意可知矩形MNPQ 的面积为 570 平方米 进而列出方程 (322x)(20x)570，思路清晰，简单明了。 5、解： （1）设甲车间有x 人，乙车间有（x+10）人，由题意得，400x=600x+10，解得： x=20， 经检验： x=20 是原分式方程的解，且符合题意，则x+10=30， 答：甲车间有20 人，乙车间有30 人； （2） （20+y） （40020+10）+60030（30-y）1300 ， 解得： y10 答：至少要从乙车间调出10 人到甲车间