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1、7 2 x B(0,4) A(6,0) E F x y O 二次函数与四边形的动点问题 一、 二次函数与四边形的形状 例 1 如图，抛物线 2 23yxx与 x 轴交 A、B 两点（ A 点在 B 点左侧），直线l与抛 物线交于 A、C 两点，其中 C 点的横坐标为2 （1）求 A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2） P是线段 AC 上的一个动点，过P点作 y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F， 使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果
2、不存在，请说明理由 练习 1. 如图，对称轴为直线 7 2 x的抛物线经过点A（6，0）和 B（0，4） （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象 限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行 四边形 OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式， 并写出自变 量x的取值范围； 当平行四边形OEAF 的面积为24 时， 请判断平行四 边形 OEAF 是否为菱形？ 是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若 存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由 A 练习 2. 如图， 已知与x轴交于点(10)A ，和(5 0)B，的抛物线
3、 1 l的顶点为(3 4)C，抛物线 2 l与 1 l关于x轴对称，顶点为C （1）求抛物线 2 l的函数关系式； （2）已知原点O，定点(0 4)D， 2 l上的点P与 1 l上的点P始终关于x轴对称， 则当点P运 动到何处时，以点DOPP， ，为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在 2 l上是否存在点M，使ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若 存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 练习 3. 如图，已知抛物线 1 C与坐标轴的交点依次是( 4 0)A，( 2 0)B，(0 8)E， （1）求抛物线 1 C关于原点对称的抛物线 2 C的解析式； （2）设抛物线 1 C的顶点为
4、M，抛物线 2 C与x轴分别交 于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边 形MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒1 个单 位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点 M ，点 N同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向 下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形 MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式， 并写出自变 量t的取值范围； （3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值， 并求出此最大值； 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C 1 O 2 l 1 l x y （4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，
5、求出此时t的值；若不能，请说 明理由 二、 二次函数与四边形的面积 例 1. 如图 10，已知抛物线P：y=ax 2+bx+c(a 0) 与 x 轴交于 A、B 两点 (点 A 在 x 轴的正半 轴上 )，与 y 轴交于点C，矩形 DEFG 的一条边DE 在线段 AB 上，顶点F、G 分别在线段 BC、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x -3 -2 1 2 y - 5 2 -4 - 5 2 0 (1) 求 A、B、C 三点的坐标； (2) 若点 D 的坐标为 (m，0)，矩形 DEFG 的面积为S，求 S 与 m 的函数关系， 并指出 m 的取值范围； (3) 当矩形
6、DEFG 的面积 S 取最大值时，连接DF 并延长至点M，使 FM=k DF，若点 M 不在抛物线P 上，求 k 的取值范围 . 练习 1. 如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点 H 的坐标为（ 8，0），点N 的坐标为（ 6， 4） （1）画出直角梯形OMNH 绕点 O 旋转 180 的图形 OABC，并写出顶点A， B，C 的坐 标（点 M 的对应点为A， 点 N 的对应点为B， 点 H 的对应点为C）； （2）求出过A，B，C 三点的抛物线的表达式； （3）截取 CE=OF=AG=m，且 E，F，G 分别在线段CO，OA，AB 上，求四边形BEFG 的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值? 若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（ 3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写 出此时 m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由 图 10