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1、【类型综述】 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题， 是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱 形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常 考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问 题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见 的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根二是先假设 关系存在，再列方程，后根
2、据方程的解验证假设是否正确 【方法揭秘】 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下： 如图 1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式 如图 2，图 3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割” 或“补”的方法 图 1 图 2 图 3 计算面积长用到的策略还有： 如图 4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等 如图 5，同底三角形的面积比等于高的比 如图 6，同高三角形的面积比等于底的比 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图，抛物线 yax2bxc （ a0）与 x 轴交于 A(1,
3、0)，B(4, 0)两点，与 y 轴交于点C(0, 2)点 M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上过点 M 作 x 轴的平行线交y 轴于点 Q， 交抛物线于另一点E，直线 BM 交 y 轴于点 F （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当 SMFQSMEB1 3 时，求点M 的坐标 例 2 如图，已知抛物线 21 2 yxbxc（b、c 是常数，且c0）与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴的负半轴交于点C，点 A 的坐标为 (1,0) （1）b_，点 B 的横坐标为 _（上述结果均用含c 的代数式表示） ； （2）连结 BC
4、，过点 A 作直线 AE/BC，与抛物线交于点E点 D 是 x 轴上一点，坐标为(2,0)，当 C、 D、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（ 2）的条件下，点P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC设 PBC 的面积为S 求 S的取值范围； 若 PBC 的面积 S为正整数，则这样的PBC 共有 _个 例 3 如图，在平面直角坐标系中，直线 1 1 2 yx 与抛物线yax2bx3 交于 A、 B 两点，点A 在 x 轴上，点B 的纵坐标为3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A、B 重合），过点 P 作 x 轴 的垂线交直线AB 于点 C，作 P
5、DAB 于点 D （1）求 a、b 及 sinACP 的值； （2）设点 P 的横坐标为m 用含 m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值； 连结 PB，线段 PC 把 PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为 910？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由 例 4 如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B( 4 3 2, 3 )，M 是 OA 的中点 （1）求此二次函数的解析式； （2）设 P 是抛物线上的一点，过P 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM 是菱形， 求点 P 的坐标； （3）将抛
6、物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB A（ B 为 B 关于 x 轴的对称点） ，在原抛 物线 x 轴的上方部分取一点C，连结 CM，CM 与翻折后的曲线OBA 交于点 D，若 CDA 的面积是 MDA 面 积的 2 倍，这样的点C 是否存在？若存在求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由 例 5 如图，直线l 经过点 A(1，0)，且与双曲线 m y x (x0)交于点 B(2，1)过点(,1)P p p(p1)作 x 轴的平行线分别交曲线 m y x (x0)和 m y x (x0)于 M、N 两点 （1）求 m 的值及直线l 的解析式； （2）若点 P 在直线 y 2上，求证：P
7、MB PNA； （3）是否存在实数p，使得 SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说 明理由 例 6 如图 1，在 ABC 中， C90， AC3，BC 4，CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上， 过点 E 作直线与 ABC 的直角边相交于点F，设 AEx， AEF 的面积为y （1）求线段AD 的长； （2）若 EFAB，当点 E 在斜边 AB 上移动时， 求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ； 当 x 取何值时， y 有最大值？并求出最大值 （3）若点 F 在直角边AC 上（点 F 与 A、C 不重合），点 E 在斜边 A
8、B 上移动，试问，是否存在直线 EF 将 ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出 x 的值；若不存在直线EF，请说明理由 图 1 备用图 【变式训练】 1.(2017山东滨州第12 题) 在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于 x 轴于点 C（点 C 在原点的右侧），并分 别与直线yx 和双曲线y 1 x 相交于点A、B，且 ACBC4，则 OAB 的面积为（） A 23 3 或 233 B2 1 或2 1 C 23 3 D2 1 2. （ 2017 江苏苏州第10 题） 如图，在菱形CD中，60，D8，F是的中点过点F作 FD，垂足为将F沿点到点的方向平移，得到F设、分别是F、F的
9、 中点，当点与点重合时，四边形CD的面积为 A28 3 B243 C.32 3 D32 38 3. （2017 青海西宁第10 题）如图，在正方形ABCD中，3ABcm，动点M自A点出发沿AB方向以每 秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DCCB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同 时停止，设AMN的面积为 2 y cm，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关 系的是（） A B C. D 4.(2017福建第 25 题) 已知直线mxy2与抛物线 2 yaxaxb有一个公共点(1,0)M，且ab （）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）； （）说明直
10、线与抛物线有两个交点； （）直线与抛物线的另一个交点记为N （）若 2 1 1a，求线段MN长度的取值范围； （）求QMN面积的最小值 5.（2017 山东青岛第24 题） （本小题满分12 分） 已知： RtEFP和矩形 ABCD 如图摆放 （点 P与点 B重合） ，点 F，B （P） ，C在同一条直线上，AB EF6cm ， BC FP8cm ， EFP 90。如图，EFP从图的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s；EP 与 AB交于点 G同时，点Q从点 C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s。过 Q作 QM BD ，垂足为H， 交 AD于 M ，连接 AF ，PQ ，当点
11、 Q停止运动时，EFP也停止运动设运动时间为t （s） （0t 6） ，解答 下列问题： （1）当 t 为何值时， PQ BD ？ （2）设五边形 AFPQM 的面积为 y （cm 2） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使8:9: ABCDAFPQM SS 矩形五边形 ？若存在，求出 t 的值；若不 存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使点 M在 PG的垂直平分线上？若存在，求出 t 的值；若不存 在，请说明理由 6. (2017 四川泸州第25 题) 如图，已知二次函数)0( 2 acbxaxy的图象经过)2 ,0(),0 ,4(),0, 1(CBA 三点 . （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足CAODBA(O是坐标原点 ) ，求点D的坐标； （ 3） 点P是 该 二 次 函 数 图 象 上 位 于 一 象 限 上 的 一 动 点 ， 连 接PA分 别 交yBC,轴 与 点, FE若 CEFPEB,的面积分别为, 21 SS求 21 SS的最大值 . 7. （2017 江苏苏州第28 题） （本题满分10 分）如图，二次函数 2 yxbxc的图像与x轴交于、两