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1、中考数学压轴题专题解析-动点问题分类专题 目录 1.动点 函数型 - 横竖型 问题 2.动点 函数型 - 斜线型 问题 3.动点 几何型 - 二次相似 问题 4.动点 几何形 -A-A问题 知识点梳理 1.本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角 的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型 . 题型分为横竖型和斜线型两大类： 横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上. （等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三 角比的计算得到等角.） 注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式）
2、 ，还可以用几何方法 构造相似三角形或是三角比来求解. 2.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何 题型分为A-A和两次相似两大类： A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角 三角比； 两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似 典型例题分析 1、动点横竖型问题 例1.在平面直角坐标系中，O为坐标原点， 二次函数 2 1 4 yxbxc的图像经过点 4,0A、0,2C （1）试求这个二次函数的解析式，并判断点2,0B是否在该函数的图像上； （2）设所求函数图像的对称轴与x轴交于点D，点E在对称轴上，若以点C、D、E 为
3、顶点的三角形与ABC相似，试求点 E的坐标 【答案：（1）cbxxy 2 4 1 过点 4 0A （ ，）、0 2C （ ，） 2, 2 1 cb 2 11 2 42 yxx 当2x时，0y点(2,0)B在该二次函数的图像上； （2）二次函数的对称轴为直线1x1 0D （ ，） 点 E 在对称轴上，且对称轴平行 y轴 OCDCDE 又6AB，2 5AC，5CD 2OC，1OD 易得OCDOACOCDOAC， 从而CDEOAC 若以点C、D、E为顶点的三角形与ABC相似 则有以下两种情况： A C Ox y 1 A C O x y 1 D B E E ）当 AB DC AC DE 时，即 6 5
4、 52 DE ，解得： 3 5 DE点E的坐标为) 3 5 ,1( ）当 AC DC AB DE 时，即 52 5 6 DE ，解得：3DE点E的坐标为)3,1( 综上点E的坐标为) 3 5 ,1(或)3,1(.】 例2.如图，已知在ABC中，90A，3 2ABAC，经过这个三角形重心的 直线DEBC， 分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点， 过点P分别作PMBC，PFAB，PGAC，垂足分别为点M、F、G， 设BMx，四边形AFPG的面积为y （1）求PM的长； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结MF、MG，当PMF与PMG相似时，求BM的长 【
5、答案：解： （1）过点A作AHBC，垂足为点H，交DE于点Q 90BAC，3 2ABAC，6BC 又AHBC， 1 3 2 BHCHBC，Q是ABC的重心 1 1 3 QHAH DEBC，PMBC，AHBC，1PMQH （2）延长FP，交BC于点N90BAC，ABAC，45B于是， 由FN AB，得45PNM 又由 PMBC，得1MNPM ，2PN M P A B C DE F G 1BNBMMNx， 2 (1) 2 FBFNx 22 3 2(1)(5) 22 AFABFBxx ， 22 (1)2(1) 22 FPFNPNxx PFAB，PG AC，90BAC ， 90BACPFAPGA 四边
6、形AFPG是矩形 22 (1)(5) 22 yFPAFxx ， 即所求函数解析式为 2 15 3 22 yxx定义域为 15x （3）四边形AFPG是矩形，)5( 2 2 xAFPG 由135FPMGPM，可知，当PMF与PMG相似时，有两种情况： PFMPGM或PFMPMG （）如果PFMPGM，那么 PFPM PGPM 即得PFPG 22 (1)(5) 22 xx 解得3x即得3BM （）如果PFMPMG，那么 PFPM PMPG 即得 2 PMPFPG 22 (1)(5)1 22 xx 解 得 1 32x， 2 32x 即 得32BM或 32BM当PMF 与PMG 相似时，BM的长等于3
7、2或3或32 】 2、 动点斜线型问题 例3.已知： 如图， 在平面直角坐标系xOy中，二次函数 2 1 3 yxbxc的图像经过 点1()1,A和点()2,2B，该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和 点D （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证： ABOCBO ； （3）如果点P在直线AB上，且POB与BCD相似，求点P的坐标 【答案：（1）解：由题意，得解得 所求二次函数的解析式为对称轴为直线1x （2）证明：由直线OA的表达式yx，得点C的坐标为11（ ， ）， ， A BB C 又 ， O AO C A B OC B O （3）解：由直线OB的表达式yx，得
8、点D的坐标为(1,1) 由直线AB的表达式，得直线与x轴的交点E的坐标为4 0（，） POB与BCD相似，ABOCBO BOPBDC或BOPBCD 10AB 10BC2OA2OC y x O A B 1 1 -1 -1 （i）当BOPBDC时，由135BDC，得135BOP 点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合 点P的坐标为4 0（，） （ii）当BOPBCD时，由POBBCD，得 而， 又， 作PHx轴，垂足为点H，BFx轴，垂足为点F PHBF，而2BF，6EF， 点P的坐标为 4 8 (, ) 5 5 综上所述，点P的坐标为( 4,0)或 4 8 (, ) 5 5 】
9、3、 动点几何型 二次相似问题 例4.如图，在RtABC中，90ACB，CE是斜边AB上的中线，10AB， 4 tan 3 A，点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQCB，交CB延长线 于点Q，设,EPx BQy （1）求y关于x的函数关系式及定义域； （2）联结PB，当PB平分CPQ时，求PE的长； （3）过点B作BFAB交PQ于F，当BEF和QBF相似时，求x的值 22BO2BD 10BC 102BE 【答案：（1）在RtABC中，90ACB， 3 4 tan AC BC A，10AB 8BC，6ACCE是斜边AB上的中线，5 2 1 ABBECE ABCPCB，90ACBPQCBQCA
10、BC， 5 4 AB BC PC CQ ，即 5 4 5 8 x y 4 4 5 yx，定义域为5x （2） 过点B作BM PC ， 垂足为 M PB平分CPQ，PQBQ， 垂足为Q yBQBM 5 24 8 5 3 5 3 BCBM 5 24 4 5 4 x11x （3）90ACBQ，AQBFBQFABC 当 BEF和QBF相似时，可得BEF和ABC 也相似 分两种情况： 1)当AFEB时， 在Rt FBEE中，90FBE，5BE，yBF 3 5 A B C E P Q （备用图） A B C E （备用图） A B C E 5 3 4 )4 5 4 ( 3 5 x，解得10x； 2)当AB
11、CFEB时， 在Rt FBE中，90FBE，5BE，yBF 3 5 5 4 3 )4 5 4 ( 3 5 x，解得 16 125 x； 综合 16 125 x或10 】 4、 动点几何型 A-A问题 例5. 如图，已知等边 ABC 的边长为6，点 D 是边BC上的一个动点，折叠 ABC ， 使得点 A恰好与边 BC上的点 D 合，折痕为 EF（点E、F 分别在边AB、AC上） （1）当:5 : 4AEAF时，求BD的长： （2）当EDBC时，求EB的值； （3）当以B、E、D为顶点的三角形与DEF相似时，求BE的长 E D B F C A 【答案：（1）ABC是等边三角形， ，. 由题意可知AEFDEF，. . ， . 又，. ，BDECFD. 方法BDECFD，. 设， 则由知， ，.设，则. . 即整理，得 60CBACABCAB 60AEDFAEDEAFDF BDFEDFBDECCFDBDF EDFBDECCFD CEDF60CFDBDE CB kAE54:5: AFAEkAF4kAEDE5kAFDF4 kBE56kCF46xBDxCD6 BC A 备用图 A B C D E F