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1、中考数学复习二次函数压轴题 一、基本模型构建 常见模型 思考在边长为 1 的正方形网格中有A, B, C 三点， 画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形 ABCD 。 在射线BD 上可以找出 一点组成三角形，可得 ABC 、 BEC、 CBD 为等腰三角形。 二、拔高精讲精练 探究点一：因动点产生的平行四边形的问题 例 1: 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0） ，B（0，-4） ，C（ 2，0）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m，AMB 的面积为S 求 S关于 m 的函数关系式，并求出S 的最大值 （3） 若点 P是抛
2、物线上的动点，点 Q 是直线 y=-x 上的动点， 判断有几个位置能够使得点P、 Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标。 解： （1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c （ a0 ） ， 将 A（-4，0） ，B（0，-4） ，C（2，0）三点代入函数解析式得： 1640 4 420 abc c abc 解得1 4 1 2 a b c ，所以此函数解析式为：y= 1 2 x 2+x- 4； （2）M 点的横坐标为m，且点 M 在这条抛物线上，M 点的坐标为：（m， 1 2 m 2 +m- 4） ， S=SAOM+SOBM-SAOB= 1 2 4 （-
3、 1 2 m 2-m+4）+1 2 4 （-m）- 1 2 4 4=-m 2-2m+8-2m-8 =-m 2-4m=-（ m+2）2+4， -4m0，当 m=-2 时， S有最大值为： S=-4+8=4答： m=-2 时 S有最大值S=4 （3）设 P（x， 1 2 x 2+x-4 ） 当 OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQOB，且 PQ=OB ， Q 的横坐标等于P 的横 坐标， 又直线的解析式为y=-x，则 Q（ x，-x） 由 PQ=OB，得 |-x-（ 1 2 x 2+x-4 ）|=4， 解得 x=0，-4，-2 25x=0 不合题意，舍去如图，当BO 为对角线时，知A 与 P
4、应该 重合， OP=4四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4 ，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出 Q 为（ 4，-4） 由此可得Q（-4，4）或（ -2+25，2-25）或（ -2-2 5，2+2 5）或（ 4， -4） 【变式训练】 （2015?贵阳）如图，经过点C（0， -4）的抛物线y=ax 2+bx+c（a0 ）与 x 轴相 交于 A（-2，0） ，B 两点 （1）a 0，b2-4ac 0（填 “ ” 或“ ” ） ； （2）若该抛物线关于直线x=2 对称，求抛物线的函数表达式； （3）在（ 2）的条件下，连接AC，E 是抛物线上一动点，过点E 作 AC 的平行线交x 轴于 点
5、 F是否存在这样的点E，使得以 A，C，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若 存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由 解： （1）a 0，b2-4ac0； （2）直线 x=2 是对称轴， A（-2，0） ， B（6，0） ， 点 C（0， -4） ，将 A， B， C 的坐标分别代入y=ax2+bx+c，解得： a= 1 3 ， b=- 4 3 ，c=-4， 抛物线的函数表达式为y= 1 3 x 2-4 3 x-4； （3）存在，理由为： （i）假设存在点E 使得以 A，C，E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形， 过点 C 作 CEx 轴，交抛物线于点E，过点 E
6、作 EFAC，交 x 轴于点 F，如图 1 所示， 则四边形ACEF 即为满足条件的平行四边形， 抛物线y= 1 3 x 2-4 3 x-4 关于直线x=2 对称，由抛物线的对称性可知，E 点的横坐标为4， 又 OC=4， E 的纵坐标为 -4，存在点E（4，-4） ； （ii）假设在抛物线上还存在点E ，使得以A，C，F ，E 为顶点所组成的四边形是 平行四边形， 过点 E 作 EFAC 交 x 轴于点 F ，则四边形ACF E即为满足条件的平行四边 形， AC=E F， ACEF，如图 2，过点 E 作 EGx 轴于点 G， AC EF， CAO= EFG， 又 COA= EGF =90，
7、AC=E F ， CAO EFG ， EG=CO=4 ，点 E 的纵坐标是4， 4= 1 3 x 2-4 3 x-4， 解得： x1=2+2 7，x2=2-27， 点 E 的坐标为（ 2+27， 4） ，同理可得点E 的坐标为（ 2-27， 4） 。 【教师总结】 因动点产生的平行四边形问题，在中考题中比较常见，考生一般都能解答，但 是解题时需要考虑各种可能性，以免因答案不全面.主要有以下几种类型： （1）已知三个定点，再找一个顶点构成平行四边形；（2）已知两个顶点，再找两个顶点构 成平行四边形。 确定两定点的线段为一边，则两动点连接的线段和已知边平行且相等； 两定点连接的线段没确定为平行四边
8、形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角 线。 探究点二：因动点产生的等腰三角形的问题 例 2:如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点A（1， 0）和点 B 与 y 轴交 于点 C（0， 3） ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D （1）求二次函数的表达式； （2）在 y 轴上是否存在一点P，使 PBC 为等腰三角形？若存在请求出点P 的坐标）； （3）有一个点M 从点 A 出发，以每秒1 个单位的速度在AB 上向点 B 运动，另一个点N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达 点 B 时，点 M、N 同时停止
9、运动，问点M、N 运动到何处时， MNB 面积最大，试求出最 大面积 解： （1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x 2+bx+c ， 10 3 bc c ，解得： b=-4，c=3， 二次函数的表达式为：y=x 2-4x+3 ； （2）令 y=0，则 x 2-4x+3=0 ，解得： x=1 或 x=3， B（3，0） ， BC=3 2 ， 点 P 在 y 轴上，当 PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， 当 CP=CB 时， PC=32， OP=OC+PC=3+32或 OP=PC-OC=32-3 P1（0，3+32） ，P2（0，3-32） ； 当 PB=PC 时， O
10、P=OB=3 ， P3（0， -3） ；当 BP=BC 时， OC=OB=3 ， 此时 P 与 O 重合，P4（0，0） ；综上所述， 点 P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3-32） 或（ 0，-3）或（ 0，0） ； （3）如图 2，设 AM=t ，由 AB=2 ，得 BM=2-t ，则 DN=2t ，S MNB= 1 2 （2-t） 2t=-t 2+2t=- （t-1） 2+1， 即当 M（2，0） 、N（2，2）或（ 2， -2）时 MNB 面积最大，最大面积是1。 【变式训练】如图，已知二次函数y1=-x 2+13 4 x+c 的图象与x 轴的一个交点为A（4，0） ， 与 y
11、轴的交点为B，过 A、B 的直线为y2=kx+b （1）求二次函数y1的解析式及点B 的坐标； （2）由图象写出满足y1 y2的自变量x 的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得 ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求 出 P 的坐标；若不存在，说明理由 解： （1）将 A 点坐标代入y1，得 -16+13+c=0解得 c=3， 二次函数y1的解析式为y=-x 2+13 4 x+3，B 点坐标为（ 0，3） ； （2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x0 或 x4， x0 或 x4 时， y1y2； （3）直线 AB 的解析式为y=- 3 4 x+3， AB 的中点为（ 2， 3 2 ） ， AB 的垂直平分线为y= 4 3 x- 7 6 ，当 x=0 时， y=- 7 6 ，P1（ 0，- 7 6 ） ， 当 y=0 时， x= 9 4 ，P2（ 7 8 ，0） ， 综上所述： P1（0，- 7 6 ） ，P2（ 7 8 ，0） ，使得 ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形。 【教师总结】 这类问题是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成等腰特殊三角 形，解决的基本思路时是：假设存在，数形结合，分类讨论，逐一解决.