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1、中考数学复习 - 圆、与圆有关的计算 （2017 浙江衢州第 19题）如图， AB为半圆 O的直径， C为 BA延长线上一点， CD切半圆 O于点 D 。 连结 OD ，作 BE CD于点 E，交半圆 O于点 F。已知 CE=12 ，BE=9来源: 学#科#网 Z#X#X#K （1）求证： COD CBE ； （2）求半圆 O的半径 r 的长 ： 试题解析：（1）CD切半圆 O于点 D， CD OD ， CDO=90 ， BE CD ， E=90=CDO ， 又 C=C， COD CBE （2）在 RtBEC中，CE=12 ，BE=9 ， BC= 22 CEBE=15， COD CBE ODO
2、C BEBC ，即 15 915 rr ， 解得： r= 45 8 考点： 1. 切线的性质； 2. 相似三角形的判定与性质 . 2. （2017山东德州第 20题）如图，已知RtABC, C=90 ，D为 BC的中点 . 以 AC为直径的圆 O交 AB于点 E. （1）求证： DE是圆 O的切线 . (2) 若 AE:EB=1:2,BC=6 ，求 AE的长. (1) 如图所示，连接 OE ，CE AC是圆 O的直径 AEC= BEC=90 D是 BC的中点 ED 1 2 BC DC 1=2 OE=OC 3=4 1+3=2+4, 即OED= ACD ACD=90 OED=90 , 即 OE D
3、E 又E是圆 O上的一点 DE是圆 O的切线 . 考点：圆切线判定定理及相似三角形 3. （2017甘肃庆阳第 27题）如图， AN是M的直径， NB x 轴，AB交M于点 C （1）若点 A（0，6） ，N（0，2） ，ABN=30 ，求点 B的坐标； （2）若 D为线段 NB的中点，求证：直线CD是M的切线 （1）A的坐标为（ 0，6），N （0，2）， AN=4 ， ABN=30 ， ANB=90 ， AB=2AN=8 ， 由勾股定理可知： NB= 22 4 3ABAN， B（ 4 3 ，2） （2）连接 MC ，NC AN是M的直径， ACN=90 ， NCB=90 ， 在 RtNCB
4、 中，D为 NB的中点， CD= 1 2 NB=ND ， CND= NCD ， MC=MN， MCN= MNC ， MNC+ CND=90 ， MCN+ NCD=90 ， 即 MC CD 直线 CD是M的切线 考点：切线的判定；坐标与图形性质 4.（2017广西贵港第 24题）如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PAPD，O是PAD 的外接圆 . （1）求证：AB是O的切线； （2）若 2 8,tan, 2 ACBAC求O的半径 . 【答案】 (1) 证明见解析；（2） 3 6 4 （1）连结 OP 、OA ，OP交 AD于 E，如图， PA=PD ， 弧 AP= 弧 DP ， OP
5、 AD ，AE=DE ， 1+OPA=90 ， OP=OA， OAP= OPA ， 1+OAP=90 ， 四边形 ABCD 为菱形， 1=2， 2+OAP=90 ， OA AB ， 直线 AB与O相切； （2）连结 BD ，交 AC于点 F，如图， 四边形 ABCD 为菱形， DB与 AC互相垂直平分， AC=8 ，tan BAC= 2 2 ， AF=4 ，tan DAC= DF AF = 2 2 ， DF=2 2 ， AD= 22 AFDF=26， AE= 6 ， 在 RtPAE中，tan 1= PE AE = 2 2 ， PE= 3 ， 设O的半径为 R ，则 OE=R 3 ，OA=R ，
6、 在 RtOAE 中， OA 2=OE2+AE2， R 2=（R 6） 2+（ 3 ） 2， R= 3 6 4 ， 即O的半径为 3 6 4 考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形 5. （2017 贵州安顺第 25 题）如图， AB是O的直径， C是O上一点， OD BC于点 D，过点 C作O 的切线，交 OD的延长线于点 E，连接 BE （1）求证： BE与O相切； （2）设 OE交O于点 F，若 DF=1 ，BC=2 3 ，求阴影部分的面积 【答案】 (1) 证明见解析；（2）43 4 3 （1）证明：连接 OC ，如图， CE为切线， OC CE ， OCE=90 ， OD
7、BC ， CD=BD ， 即 OD垂中平分 BC ， EC=EB ， 在OCE 和OBE 中 OCOB OEOE ECEB ， OCE OBE ， OBE= OCE=90 ， OB BE ， BE与O相切； （2）解：设 O的半径为 r，则 OD=r 1， 在 RtOBD 中，BD=CD= 1 2 BC= 3 ， （r 1） 2+（ 3 ） 2=r2，解得 r=2， tan BOD= BD OD = 3， BOD=60 ， BOC=2 BOD=120 ， 在 RtOBE 中，BE= 3 OB=2 3 ， 阴影部分的面积 =S四边形 OBECS扇形 BOC =2SOBES扇形 BOC =2 1
8、2 223 2 1202 360 =43 4 3 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算 6. （2017湖北武汉第 21题）如图，ABC内接于O，,ABAC CO的延长线交AB于点D （1）求证AO平分BAC； （2）若 3 6,sin 5 BCBAC，求AC和CD的长 【答案】 （1）证明见解析；（2）3 10 ； 90 13 . （2）过点 C作 CE AB于 E sin BAC= 3 5 , 设 AC=5m ，则 CE=3m AE=4m ，BE=m 在 RtCBE中，m 2+(3m)2=36 m= 3 10 5 ， AC= 3 10 延长 AO交 BC于点 H，则 AH BC ，且 B
9、H=CH=3， 过点 O作 OF AH交 AB于点 F， HOC= BAC OH=4 ，OC=5 AH=9 tan BAH= 1 3 OF= 1 3 AO= 5 3 OF BC OFDO BCDC ，即 5 DC-5 3 = 6DC DC= 90 13 . 考点： 1. 全等三角形的判定与性质；2. 解直角三角形； 3. 平行线分线段成比例 . 7. （2017湖南怀化第 23题）如图，已知BC是O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上 一点，且ABAD=，ACCD=. (1) 求证：ACDBAD； (2) 求证：AD是O的切线 . 试题解析：（1）AB=AD ， B=D ， AC=CD
10、 ， CAD= D， CAD= B， D= D ， ACD BAD ； （2）连接 OA ， OA=OB， B=OAB ， OAB= CAD ， BC是O的直径， BAC=90 ， OA AD ， AD是O的切线 考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定 11.（2017江苏盐城第 25 题）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边 AB在 y 轴上，边 AC与 x 轴交于点 D，AE平分BAC交边 BC于点 E，经过点 A、D、E的圆的圆心 F恰好在 y 轴上， F与 y 轴 相交于另一点 G （1）求证： BC是F 的切线； （2）若点 A、D的坐标分别为 A（0，-1），D （2，0）
11、，求 F 的半径； （3）试探究线段 AG 、AD 、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2）F的半径为 5 2 ；（3）AG=AD+2CD证明见解析 . 试题解析：（ 1）连接 EF ， AE平分 BAC ， FAE= CAE ， FA=FE ， FAE= FEA ， FEA= EAC ， FE AC， FEB= C=90 ，即 BC是F的切线； （2）连接 FD ， 设F的半径为 r， 则 r 2=（r-1 ）2+22， 解得， r= 5 2 ，即 F的半径为 5 2 ； （3）AG=AD+2CD 证明：作 FR AD于 R， 则FRC=90 ，又
12、FEC= C=90 ， 四边形 RCEF 是矩形， EF=RC=RD+CD， FR AD ， AR=RD ， EF=RD+CD= 1 2 AD+CD ， AG=2FE=AD+2CD. 考点：圆的综合题 13.（2017 甘肃兰州第 27 题）如图，ABC内接于O，BC是O的直径，弦AF交BC于点E，延长 BC到点D，连接OA，AD，使得FACAOD=，DBAF=. (1) 求证：AD是O的切线； (2) 若O的半径为 5，2CE =，求EF的长. （1）由 BC是O的直径，得到 BAF+ FAC=90 ，等量代换得到 D+AOD=90 ，于是得到结论； （2）连接 BF ，根据相似三角形的判定
13、和性质即可得到结论 （2）连接 BF ， FAC= AOD ， ACE DCA ， ACAECE OCOAAC ， 2 55 ACAE AC ， AC=AE=10 ， CAE= CBF ， ACE BFE ， AEBE CEEF ， 108 2EF ， EF= 8 10 5 考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质 14.（2017贵州黔东南州第 21 题）如图，已知直线PT与O相切于点 T，直线 PO与O相交于 A，B 两点 （1）求证： PT 2=PA ?PB ； （2）若 PT=TB= 3，求图中阴影部分的面积 （ 1）证明：连接 OT PT是O的切线， PT OT ， PTO=9
14、0 ， PTA+ OTA=90 ， AB是直径， ATB=90 ， TAB+ B=90， OT=OA ， OAT= OTA ， PTA= B， P=P， PTA PBT ， PTPA PBPT ， PT 2=PA ?PB （2）TP=TB= 3， P=B=PTA ， TAB= P+PTA ， TAB=2 B， TAB+ B=90， TAB=60 ， B=30， tanB= 3 3 AT TB AT=1 ， OA=OT ，TAO=60 ， AOT 是等边三角形， S阴=S扇形 OATSAOT= 2 2 60133 1 360464 . 考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算 1
15、6. （2017四川泸州第 24题）如图， O与 RtABC的直角边 AC和斜边 AB分别相切于点 C 、D ，与 边 BC相交于点 F，OA与 CD相交于点 E，连接 FE并延长交 AC边于点 G （1）求证： DF AO ； （2）若 AC=6 ，AB=10 ，求 CG 的长 【答案】 （1）证明见解析；（2）2. （1）证明：连接 OD AB与O相切与点 D ，又 AC与O相切与点， AC=AD ，OC=OD， OA CD ， CD OA ， CF是直径， CDF=90 ， DF CD ， DF AO （2）过点作 EM OC于 M ， AC=6 ，AB=10 ， BC= 22 ABAC
16、=8， AD=AC=6 ， BD=AB-AD=4， BD 2=BF ?BC ， BF=2 ， CF=BC-BF=6 OC= 1 2 CF=3 ， OA= 22 ACOC =3 5 ， OC 2=OE ?OA ， OE= 3 5 5 ， EM AC ， 1 5 EMOMOE ACOCOA ， OM= 3 5 ，EM= 6 5 ，FM=OF+OM= 18 5 ， 3.63 65 EMFM CGFC ， CG= 5 3 EM=2 考点：切线的性质 17. （2017 四川宜宾第 23 题）如图， AB是O的直径，点 C在 AB的延长线上， AD平分 CAE交O 于点 D，且 AE CD ，垂足为点 E （1）求证：直线 CE是O的切线 （2）若 BC=3 ，CD=3 2，求弦 AD的长 （1）证明：连结 OC ，如图， AD平分 EAC ， 1=3， OA=OD， 1=2， 3=2， OD AE ， AE DC ， OD CE ， CE是O的切线； （2） CDO= ADB=90 ， 2=CDB= 1， C=C ， CDB CAD ，