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1、最值问题的解题策略 本文通过一道中考题，谈谈一类最值问题的解题策略. 一、问题呈现 如图 1，菱形ABCD中，60A,AB=3, A、B的半径分别为2 和 1, P、E、 F分别是边CD、A和B上的动点，则PEPF的最小值是. 图 1 解析由题意可得出:当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PEPF最 小.于是，连接BD(如图 2). 菱 形A B C D中 ， 60A, AB=AD, 则ABD是 等 边 三 角 形 ， BD=AB=AD=3. A、B的半径分别为2 和 1， PE=1, DF =2，PEPF的最小值是3， 故答案为 3. 图 2 点评本题主要考查了菱形的性质及相切两圆
2、的性质，根据题意确定P点的位置是解 题的关键 .从解析过程看，本题的解法借助了P的特殊位置，即利用了“特殊化”数学思 想方法、通过本例可以让我们拿握处理同类问题的方法技巧. 二、解题方法 要揭示本题的深层结构，真正理解本题的实质，需借助一个基本模型，即河流同测的两 个村庄建设水管最短的问题.本题中虽点E、F是动点，但它们在定圆上运动，到圆心 的距离不会改变，因而将点E、点F转化为定点A、B，先解决点A、B和直线CD上 的点P;满足PAPB最小后扣除两半径的长即.故本题可转化为铺水管最短问题，只需 作出点A关于直线CD的对称点Q，连结BQ与CD的交点即为点P,由题意可得P与 D重合 (如图 3)
3、.可见，利用已知的数学模型，解题不仅直观，更易理解. 近年来， 各地中考中出现了很多以几何图形为题材的中考最值题，下面从近几年全国各 地数学中考试题、中考模拟试题中选取几例，进一步揭示几何最值问题的解题策略. 图 3 三、策略应用 1.利用对称图形求最值 例 1 如图 4，矩形ABCD中，AB=2, BC=3，以A为圆心， 1 为半径画圆，E是 A上一动点，P是BC上的一动点，则PEPD的最小值是. 图 4 分析类比上述问题，不难将动点E转化到定点A，构建铺水管最短问题模型.故作A 关于直线BC的对称点Q，连结DQ与BC的交点即为点P. 解析作 点A关 于 直线BC的 对 称 点Q， 连 结D
4、Q与BC的 交 点 即 为 点P.在 Rt ADQ中， , AQ=4 , AD=3，则DQ=5，PEPD的最小值为DQ1=4. 评注本题是以矩形为素材的线段和最小值问题，考查了动点转化成定点，利用作对称 图化归为铺水管最短问题，培养了学生的建模思想，突出考查学生的几何综合能力. 2.科用函数性质求最值 例 2 如图 5 是一种带有黑白双色，边长是20cm的正方形装饰瓷砖，用这样的四块 瓷砖可以拼成如图6 的图案 .已知制作图5 这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本 分别为 0. 02 元 / 2 cm和 0. 0l 元/ 2 cm， 那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是 元.(取
5、3. 14 ,结果精确到0. 0l 元) 图 5 图 6 解析设图 5 中扇形的半径为x cm，则正方形边上的另一段线段长为(20)x cm (020)x，一块瓷砖的成本为y元，则 222 0.02 (20)0.01 20(20) 44 yxxxxxx 21 8 4005 xx. 当 1 402000 5 12.73 157 2 400 x时， y的最小值为6. 73 元. 评注本题是以正方形为载体的成本最值问题，它是一种难度较大的综合问题.求解的 关键是 :1、抓住题目中成本单价的单位联系 2 cm的含义面积联想构成瓷砖的图形面 积;2,借助问题的最低成本，建立函数模型求解最小值.本题将几何
6、问题代数化，突出考查 了学生几何、代数知识转化技能及函数思想方法. 3.利用特殊位置求最值 例 3 (2010 年无锡模拟 )如图7，在ABC中，5ABcm, 45A, 30C, O为ABC的外接圆，P为BC上任一点，则四边形OABP 的周长的最大值是 cm. 图 7 分析本题四边形OABP的周长中OA、OC是半径为定值，AB是定值 5，故周长要 想最大，则需要BP的值最大，其位置应在点C处，即可求得BC的长为BP的最大值 . 解析过点B作BDAC于点D,连结,OB OC. 5,45 ,30 ,ABAC 5 2 tan45, 2 BDAB 25 2,BCBD 290 ,BOCA 5.OBOC
7、当点P在点C的位置时，四边形OABP的周长最大为: 5555 2155 2. 评注本题是以质点运动为背景的几何图形周长最值问题.解决此类动点问题的关键是 分析题意， 找到不变的量和变化的量，利用几何图形中的特殊位置确定变量的最值来确定周 长的最值 .本题突出考查学生的几何识图能力，圆中特殊元素的特征，灵活构建特殊图形模 型的意义建构能力. 4.利用几何公理求最值 例 5 如图 8(1)，已知圆柱体底面圆的半径为 2 ，高为2, AB、CD分别是两底面的 直径 , AD、BC是母线 .若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短 路线的长度是 .( 结果保留根号) 图 8 分析本题的
8、难点是考查立体图形中的最短路线，解决的关键是将其转化为平面图形求 线段的长度 .因此， 将圆柱的侧面展开，由于小虫从A点出发， 从侧面爬行到C点只走过 了圆柱的半个侧面，故只需处理半侧面上的线段长度计算. 解析如图 8(2)展开圆柱的侧面成矩形ABCD，则最短路线为线段AC. 1 22 2 AB，又2BC，故在Rt ABC中2 2AC.答案2 2. 评注本题是以空间立休图形为背景的路线最值间题.解决的关键是将立体图形转化为 平面图形，利用几何知识中的两点之间线段最短公理，借助直角三角形的勾股定理解决. 考查了学生的空间思维能力，以及立体图形与平面图形的转化能力. 5.利用圆中直径最长求最位 例
9、 6 如图 9, AB是O的直径，AB=4,点C在O上，60ABC,P是O上一 动点，D是AP的中点，连结CD，则CD的最小值为. 图 9 分析本题的突破口在于由AB最O的直径联想圆周角90APB，又D是AP 的中点，O是AB的中点，由中位线得到90ADO，进而点D在以AO为直径的 圆周上运动，利用点C是圆外点，故CD的最小值即为CQ. 解析如图 10，连结 BP、DO.由题知90APB=ADO， 以AO为直径作圆E,则CD 的最小值为CQ. 由题知，1,2,60AEAOEQBCABC.过点C作CFAB于点F，则 1,3,2BFCFEF.在Rt CEF中，7CE，则71CQ. 图 10 评注本题是以圆为背景的线段最值问题.解题的关键是确定动点D的运动路径，巧妙 构造圆， 利用圆中直径最长转化圆外点与圆上点的线段的最值问题.考查学生对圆中知识 的综合运用能力，以及动态问题静态化的解题策略.