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1、“垂径定理”与解题思路分析 垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等 关系及直线垂直关系的重要依据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点： 一、圆的辆对称是垂径定理的理论基础 同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会 重合在一起。 因此， 课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能 重合这一事实， 指出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这 一性质给出了垂径定理，并利用圆的对称性证明。所以， 圆的轴对称性是垂径定理的理论基 础。 二、垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联
2、系 在垂径定理（推论）中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：(1) 经过圆 心，(2) 垂直于弦， (3) 平分这条弦， (4) 平分这条弦所对的劣弧，(5) 平分这条弦所对的优弧。 垂径定理可以简记为： 由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，这就需要掌握构造 逆命题的技巧。 例如：以 (1) 、(3) 为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的 一条弦（不是直径），那么这条直线垂直于弦，且平分弦所对的弧。类似地，同学们一定会 分别写出以 (1) 和(4) 、(1) 和(5) 、 (2) 和(3) 、(2) 和(4) 、(2) 和(5) 、(3) 和 (
3、4) 、(3) 和(5) 、 (4) 和(5) 为条件的逆命题。 由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时，这条直线 唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都是垂径定理的推论。 垂径定理连同推论在内共十条定理。对于这十条定理，同学们切不可死记硬背，关键要 抓住它们的特点， 即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条性质 （具有性质 (1) 、(3) 时，所说的弦不是直径，这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径 总是互相平分的，但它们未必垂直）。 三、灵活应用垂径定理及其推论解题 垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内 容虽
4、然简单，但要能灵活应用却非易事。现举例说明。 1、利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角 例 1. 已知如图1， ABC内接于 O，BD AO交 AC于 D， 求证： AB BC=BD AC。 图 1 思路分析：欲证AB BC=BD AC 即证， 需证 BAD CAB ，已有公共角BAD= BAC ，还需证圆周角ABD= C ，则需证明 ， 显然延长 BD交 ABC的外接圆于E，运用垂径垂直平分弦所对的弧即可得证。 2、利用垂径垂直平分弦，构成等分线段 例 2. 如图 2， AB是 O的直径， AE CD于 E， BFCD于 F，求证： CE=DF 。 思路分析：过O作 OH CD ，即得证。
5、 图 2 图 3 图 4 例 3. 已知如图3，AB是 O的直径，弦CD在 AB一侧， CE CD于 E，DF CD于 F。 求证： AE=BF 。 思路分析：此题是圆和直角梯形，且点O是 AB的中点，由此联想梯形基本辅助线， 故作 OG CD于 G，再联系垂径垂直平分弦有OE=OF ，故 AE=BF 。 3、利用垂径垂直弦，构造成特殊四边形 例 4. 如图 4，半径为10cm的 O中，弦 AB CD于 E，AB=CD=16cm ，求 OE的长。 思路分析：把OE放到三角形或特殊四边形才有利于计算。 故作 OF AB于 F，OG CD于 G ， EGOF 为正方形，得OE。 4、利用垂径垂直弦，构造特殊三角形 例 5. 如图 5， O的弦 ABCD ，AB 、CD的弦心距分别为OM和 ON ，图 5 求证： OMON。