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1、二次函数考点复习精讲 二次函数 2 ( , ,yaxbxc a b c为常数，0a)的定义和性质是中考中重点考查的内 容.一般来说，对不同函数图象和性质的综合考查，多以中低难度客观题的形式呈现;用待定 系数法求函数的解析式仍是解答题的“主角”;一次函数、反比例函数与二次函数的综合题， 多是稍有难度的实际问题，需要特别注意自变量的取值范围;以函数为载体，或给出新概念， 将三角形、 四边形以及图形变换等知识融入的题目，具有较强的综合性和开放性，多位居压 轴题的位置 .2018 年的中考将会延续这种基本走向. 考点 1 二次函数的图象和性质 例 1 (2017?连云港 )已知抛物线 2 (0)yax
2、a过 12 ( 2,),(1,)AyBy两点，则下列关系 式一定正确的是( ) A. 12 0yyB. 21 0yyC. 12 0yyD. 21 0yy 解:依题意，易知抛物线开口向上，对称轴为y轴，且顶点为坐标原点，又结合图象的 对称性可知 12 yy.故选 C. 评注 :比较函数值的大小，可依据图象的开口方向以及相关点与对称轴的距离远近作出 判断 . 例 2 以x为自变量的二次函数 22 2(2)1yxbxb的图象不经过第三象限，则 实数b的取值范围是( ) A. 5 4 bB. 1b或1b C. 2bD. 12b 解:Q二次函数 22 2(2)1yxbxb的图象不经过第三象限， 抛物线在
3、x轴的上方 (顶点在x轴的上方或者在x轴上 )或在x轴的下方经过第一、第 二、第四象限这两种情况. 抛物线在x轴的上方 (顶点在x轴的上方或者在x轴上 )时， Q二次项系数1a， 抛物线开口方向向上. 22 2(2)4(1)0bbV. 解得 5 4 b. 当抛物线在x轴的下方经过第一、第二、第四象限时，设抛物线与x轴交点的横坐标 分别为 12 ,x x, 222 1212 2 (2 ) 4 (1)0 ,2 (2 )0 ,10bbxxbxxbV. 解这 3 个不等式，易知无公共解，也即此种情况不存在. 综上所述， 5 4 b.故选 A. 评注 :解题的关键是正确分析图象的位置，并列出关于b的不等
4、式组求解. 考点 2 二次函数的图象与各项系数之间的关系 例 3 (2017?杭州 )设直线1x是函数 2 ( , ,yaxbxc a b c是实数，且0a)的图象 的对称轴 ( ) A.若1m，则(1)0mab B.若1m，则(1)0mab C. 若1m，则(1)0mab D.若1m，则(1)0mab 解:由抛物线的对称轴是直线1x, 1 2 b x a . 2ba. (1)(3)mabma. 又0a， 当1m时，(3)0ma.故选 C. 评注 :对称轴是直线1x，得2ba是解决本题的关键. 例 4 已知二次函数 2 2(0)yaxbxa图象的顶点在第四象限，且过点(- 1,0)，当 ab为
5、整数时，ab的值为 ( ) A. 3 4 或 1 B. 1 4 或 1 C. 3 4 或 1 2 D. 1 4 或 3 4 解:由题意，知0,0,20 2 b aab a ，故 0b ，且 2,(2)22ba abaaa，于是02a, 2222a，又ab为整数 . 221 , 0 , 1a. 1 2 3 2 a b , 1 1 a b , 3 2 1 2 a b . 3 4 ab或 1.故选 A. 评注 :二次函数的系数与其图象特征之间存在本质联系.据此，将已知条件都用,a b表示 出来，就可使二者之间的数量关系逐步明晰. 例 5 (2017?日照 )已知抛物线 2 (0)yaxbxc a的对
6、称轴为直线2x， 与x轴的 一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图1 所示 .下列结论 :抛物线过原点;40abc; 0abc;抛物线的顶点坐标为(2,)b;当2x时，y随x的增大而增大.其中正确 的结论是 ( ) A.B.C.D. 解:依题意，易知抛物线过原点.正确 . Q抛物线 2 (0)yaxbxc a的对称轴为直线2x，与x轴的一个交点坐标为 (4,0)， 0c. 2 2 b a Q, 40ab. 40abc.正确 . 1xQ时 ,yabc，又由图象知，此时0y.错误 . 222 4 44 acbbb b aab Q. 抛物线的顶点坐标为(2,)b.正确 . 当2x时，y随x增大而减
7、小 .错误 . 综上所述，正确.故选 C 评注 :对于一些比较复杂的涉及二次函数字母系数的结论的辨析，可依题意作适当的代 换变形，导出式子，如对的判断;先给x赋值，代入函数关系式中，得到所要判定的式子， 再结合图形，观察x取该值时，y的取值，得出结论，如对的判断等. 考点 3 二次函数与一元二次方程的关系 例 6 抛物线 2 22 21yxx与坐标轴的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解:在 2 22 21yxx中，令0x，得1y，即抛物线与y轴的交点坐标为(0,1); 令0y，得 2 22 210xx. 解得 12 2 2 xx，即抛物线与x轴的交点坐标为 2 (,0) 2
8、. 所以抛物线与坐标轴的交点个数是2.故选 C. 评注 :抛物线 2 yaxbxc与x轴的位置关系， 与一元二次方程 2 0axbxc的根 的情形有着密切的联系.我们时常需要在参透系数, ,a b c几何意义的基础上，数形结合解决 问题 . 例 7 图 2 是二次函数 2 0(0)yaxbxca和正比例函数 2 3 yx的图象，则方 程 2 2 ()0(0) 3 axbxca的两根之和 ( ) A.大于 0 B.等于 0 C.小于 0 D.不能确定 解:由图象可知，方程 2 0(0)axbxca的两根之和大于0, 0a, 0 b a . 设方程 22 ()0 3 axbxc的两根为 12 ,x
9、 x,则 12 2 2 3 0 3 b b xx aaa .故选 A. 评注 :准确提取图象信息是正确推断的基础.实际上，方程 2 2 ()0(0) 3 axbxca 的两根就是函数 2 0(0)yaxbxca与 2 3 yx交点的横坐标， 若能如此思考， 单凭 观察图象即可得到结论. 考点 4 函数图象的平移变换 例 8 (2017?兰州 )抛物线 2 33yx向右平移3 个单位长度，得到新抛物线的解析式 为( ) A. 2 3(3)3yxB. 2 3yx C. 2 3(3)2yxD. 2 36yx 解:依题意，平移后的抛物线的解析式为 2 3(3)3yx.故选 A. 评注 :函数图象平移后
10、解析式的变化规律是:左加右减，上加下减.在实施平移时，如果给 出的二次函数是一般式，转化为顶点式求解. 例 9 (2017?丽水 )将函数 2 yx的图象用下列方法平移后，所得图象不经过点(1,4)A 的方法是 ( ) A.向左平移 1 个单位 B.向右平移 3 个单位 C. 向上平移3 个单位 D.向下平移 1 个单位 解:将点A的坐标逐一代入图象平移后的函数解析式检验可知，向下平移1 个单位后的 图象不经过点A.故选 D. 评注 :对函数图象平移前后解析式的变化规律把握不准就可能错选答案. 例 10 若抛物线 2 23yxx不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移 1 个单位，再沿
11、铅直方向向上平移3 个单位，则原抛物线图象的解析式应变为( ) A. 2 (2)3yxB. 2 (2)5yx C. 2 1yxD. 2 4yx 解:坐标系的平移和图象的平移互为反方向，题中给出的坐标系平移变换相当于把抛物 线向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位 . 2 (1)2yxQ， 原抛物线的解析式应变为 22 (1 1)231yxx.故选 C. 评注 :可能会有同学不能正确理解题意，或者混淆坐标系与图象平移二者之间的关系导 致出错 . 考点 5 二次函数的最值问题 例 11 (2017?绍兴 )某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够 长)， 已知计划中的建筑材料可
12、建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m)， 占地面积为y(m 2). (1)如图 3，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大 ? (2)如图 4， 现要求在图中所示位置留2m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说 : “只要饲养室长比(1)中的长多2m 就行了 .”这个说法正确吗? 解:依题意，得 2501625 (25) 222 x yxx, 当25x(m)时，占地面积y最大，即饲养室长x为 25 m 时，占地面积最大. (2)依题意，得 250(2)1 (26)338 22 x yxx, 一告 (x-26 ) 2+338. 当26x( m)时，占地面积y最大，即饲养室长x为 26
13、m 时，占地面积最大. 2 62 512Q， 小敏的说法不正确. 评注 :该例可以看作由人教版初中数学课本九年级上册第49页的探究 1改编而成的 .在运 用二次函数的性质求实际问题的最值时，时常需要注意题目对自变量取值范围的限制，在其 端点处函数可能会取到最值. 考点 6 二次函数与其他函数的综合 例 12 (2017?凉山 )一次函数(0)yaxb a与二次函数 2 (0)yaxbx a的图象 大致是 ( ) 解:在选项 A 中，易得0a，而由直线得0b，由抛物线得0 2 b x a .得0b， 矛盾 .在选项 B 中，易得0a,0b，该选项正确 .在选项 C中，由抛物线得0a，由直线 得0a，矛盾 .在选项 D 中，由抛物线得0a，由直线得0a，矛盾 .故选 B. 评注 :含有两个以上函数图象的选择题多采用排除法实施推断.根据图象的特征(开口方 向、与坐标轴交点坐标的正负等)，依次查寻选项中不同函数图象间的关系，逐步排除错误 选项，最后作出选择. 例 13 如图 5，二次函数 2 (2)yxm的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上， 且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数ykxb的图象经过该二次函数图象上 的点( 1,0)A及点B.