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1、圆知识点归纳总结及复习指导 了解知识结构 精读知识要点 1. 圆的基本元素 圆心和半径:圆心确定圆的位置, 半径确定圆的大小. 圆心相同 , 半径不等的圆是同心 圆; 半径相等的圆是等圆. 弦 :连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径是经过圆心的弦, 是圆中最长的弦. 弧 : 圆上任意两点间的部分叫做圆弧, 简称弧 . 小于半圆的弧叫做劣弧, 大于半圆的弧 叫做优弧 . 圆心角和圆周角: 顶点在圆心的角叫做圆心角; 顶点在圆上 ,并且两边都和圆相交的角 叫做圆周角 . 2. 圆周角与圆心角 圆周角与圆心角: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 性质的验证 ,运用 了“分类”的思想. 圆
2、周角与半圆或直径: 半圆或直径所对的圆周角是直角;90 的圆周角所对的弦是圆 的直径 . 一般地 , 若题目无直径 , 需要作出直径. 圆周角与同弧或等弧: 同弧或等弧所对的圆周角相等; 在同一圆或等圆中, 相等的圆周 角所对的弧相等. 3. 圆的对称性 圆是中心对称图形, 圆心是它的对称中心, 圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图 形所没有的性质, 即圆心角、 弧、弦之间的关系 , 概括为 : 在一个圆 (同圆或等圆 ) 中 , 如果两个 圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 圆也是轴对称图形, 经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴. 于是就有了垂直
3、于弦 的直径的性质: 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. 还可概括为 : 如果一 条直线 : 垂直于弦 ; 经过圆心 ; 平分弦 ; 平分弦所对的优弧; 平分弦所对的劣弧. 具 备其中任意两个条件, 那么就可得到其他三个结论. 注: 具备条件时, 应是平分 ( 不是直 径的 ) 弦. 4. 点和圆的位置关系 点与圆的位置关系的判定与性质: 如点在圆外,则有性质dr; 若 dr, 则可判定出点在圆外. 如点在圆上,则有性质d=r; 若 d=r, 则可判定出点在圆上. 如点在圆内,则有性质d r; 若 dr, 则可判定出点在圆内. 5. 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系判定
4、与性质: 当直线 l 和 O相离时 ,则有性质dr; 若 dr, 则直线 l 和 O相离 当直线 l 和 O相切时 ,则有性质d=r: 若 d=r, 则直线 l 和 O相切 当直线 l 和 O相交时 ,则有性质dr. 若 dr, 则直线 l 和 O相交 其中 l 表示直线 ,d 是 O与直线 l 的距离 ,r 是 O的半径 判定切线的方法有三种方法: 利用切线的定义: 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. 与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的五个性质: 切线和圆只有一个公共点; 切线到圆心的距离等于圆的半径; 切线垂直于过切点的半径;
5、经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平 分这两条切线的夹角. 切线长定理是圆的对称性的体现, 它为说明线段相等、角相等、 弧相等、 ?垂直关系提供 了理论依据 . (5) 内接外切多边形: 经过多边形各顶点的圆叫做多边形的外接圆, 外接圆的圆心叫做 多边形的外心, 这个多边形叫做这个圆的内接多边形; 和多边形的各边都相切的圆叫做多边 形的内切圆 , 这个多边形叫做圆的外切多边形. (6) 三角形内心外心:三角形外接圆的圆心叫三角形的外心, 三角形的外心是三角形三 边垂直平分线的交
6、点; 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心, 三角形的内心是三角形三条 角平分线的交点, 他到三边的距离相等. 6. 圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系设两圆半径分别为R和 r, 圆心距为d, 那么 : 圆和圆的位置关系两圆外离rRd; 两圆外切rRd; 两圆相交)(rRrRdrR; 两圆内切)(rRrRd; 两圆内含)(rRrRd, 同心圆0d 相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 相切两圆的性质:相切两圆的连心线经过切点. 7. 关于弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算 已知 O 半径为R,则圆面积公式为:S= 2 R; 圆周长公式为:C=2R;n 圆心角的弧长 公式是
7、: 180 n R l. 在应用弧长公式进行计算时, 要注意公式中n 的意义 , n表示 1圆心角的倍数,它是不 带单位的 .若设 O半径为 R, 圆心角为n的扇形的面积公式是: 2 1 3602 n R SSlR或. 弓形面积公式: 优弧 S弓=S扇+S; 劣弧 S弓=S扇-S; 半圆弧 S弓= 1 2 2 R. 说明 : 只要已知圆的半径、圆心角度数、弧长及扇形面积四个量中的任意两个量就可计 算出其它量在具体解题时, 应通过作图、 识图、阅读图形 , 探索弧长、扇形及其组合图形面 积的计算方法和解题规律；把不规划图形的问题转化为规则图形的问题. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为
8、圆锥的一条母线的长的扇形面积,而 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和S全=rar 2. 领悟思想方法 遇到直径时,一般要引直径上的圆周角, 将直径这一条件转化为直角的条件. 遇到有切线时, 一般要引过切点的半径, 以便利用切线的性质定理; 或连结过切点的弦, 以便利用弦切角定理. 遇到过圆外一点作圆的两条切线时, 常常引这点到圆心的连线, 以便利用切线长定理 及其推论 . 遇两圆相交,要添加公共弦, 或者连心线 , 特别是公共弦, 它在相交两圆中起着桥梁作 用. 遇两圆相切,一般要引两圆的公切线, 如果两圆外切, 常引内公切线; 如果两圆内切, 就引外公切线 , 公切线的引出构造了弦切
9、角, 利用弦切角便可把两圆的圆周角联系起来. 求周长和面积要注意利用割补思想. 圆柱和圆锥的侧面展开图是研究“化曲为直”的一条重要的思想方法. 剖析命题趋势 纵观近几年全国各地中考题，圆的有关性质以及对于性质，概念的准确叙述等一般以填 空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10 分 15 分左右，圆的有关性质，如 垂径定理， 圆周角， 切线的判定与性质等的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识 与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与 圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，请同学们注意. 掌握基本题型 一、 圆的性质的考查 基础知识链接： （1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系. 【例 1】 如图，AB为 O 直径，CD为弦，且CDAB，垂足为H （1）OCD的平分线CE交 O 于E，连结OE求证：E为弧 ADB 的中点；