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1、与角平分线有关的基本题型 在认识平面几何(二)中，角平分线在三角形的三条重要线段中尤其重要.它就像几何中的 “变形金刚” ，会时不时呈现一种它的新的形态.但俗话说的好，万变不离其宗，笔者带你了 解一下它的基本形态，相信你就能了解它的各种变化了.我们来认识一下它的四种基本题型， 记住结论，你可以迅速解决一类填空选择题;掌握方法，你可以对付它的任何变形. 一、两条内角平分线的夹角与顶角的关系 例1 如图1，在ABC?中 ,BE平分,ABC CE平分ACB.若80A=，则 BEC= ;若An =，求BEC用含n的代数式表示) 分析已知顶角，则根据三角形内角和为180可以求出两底角的和，再由角平分线的
2、 性质得到EBC与EBC的和为两底角和的一半，结合三角形内角和等于180，求出 BEC. 在ABC?中，An =Q, 180180ABCBCAAn+= - = -. BEQ平分ABC, CE平分ACB, 11 ()90 22 EBCECBABCBCAn+ =+ = -, 在EBC?中， 1 180()90 2 BECEBCECBn= -+ = -. 结论两条内角平分线的夹角等于90 度加上顶角的一半(即 1 90 2 BECA= +). 变形如图 2 , 84MON=，点,A B分别在射线,OM ON上移动，AOB?的角平 分线 AC与BD交于点P.试问 :随着点,A B位置的变化，APB 的
3、大小是否会变化?若保持 不变，请求出APB的度数 .若发生变化，请说明理由. 解APB的大小不变，始终为132. Q在OAB?中，84MON=, 18096OABOBAMON+ = - =, AOB?的角平分线AC与BD交于点P, 1 ()48 2 PABPBAOABOBA+ =+ =， 在PAB?中，180()132APBPABPBA= - +=. 二、两条外角平分线的夹角与顶角的关系 例 2 如图 3，在ABC?中，BO平分外角,CBD CO平分外角BCE.若An =， 求 BOC . 分析因为涉及到三角形的两个外角，所以用三角形的外角和为360来表示 DBCECB+ 简单一些 . 解,A
4、n = Q与A相邻的外角为180n -.根据三角形的外角和为360, 360(180)180DBCECBnn+= - -= + . 又BOQ平分外角,CBD CO平分外角BCE, 11 ()90 22 OBCOCBDBCECBn+ =+ = +， 在BOC?中， 1 180()90 2 BOCOBCOCBn= -+ = -. 结论两条外角平分线的夹角等于90 度减去顶角的一半(即 1 90 2 BOCA= -). 为了便于同学们区分这两个结论，笔者用“内优外患”来记，内优:内角平分线是90 度 加上顶角的一半;外患 :外角平分线是90 度减去顶角的一半. “优”就是“加”，“患”就是“减”.
5、变形如图4，垂直相交的两直线OA与OB相交于点O，连接并延长BA至E，在 ABO的内部作射线BF交AO于点C.若,EACFCAABC的平分线交于点G，过 点G作BE的垂线，垂足为H，试问,AGHBGC的大小关系如何?请写出你的结论并 证明 . 分析AG和CG是ABC?的两条外角平分线，则 1 90 2 AGCABC= -. 由GHBE，得 1 9090 2 HGBHBGABCAGC= - = -= . 所以HGBBGAAGCBGA- = - ,即AGHBGC= . 三、一条内角平分线一条外角平分线的夹角与顶角的关系 例 3 如图 5，在ABC?中，BE平分ABC, CE平分外角ACM.若An
6、=，求 BEC. 分 析由 三 角形的 外 角 性质， 可 知ACMABCBAC= + , ECMEBCBEC= +;再由角平分线的性质得到BEC和A的关系 . 解ACMABCBAC= + Q,ECMEBCBEC= + , 又BEQ平分ABC, CE平分外角ACM, 1 2 EBCABC=， 1 2 ECMACM=, 11 22 BECAn=. 结论三角形的一条内角平分线和一条外 角平分线的夹角等于顶角的一半(即 1 2 BECA=). 变形如图 6 , ABC?中，ABC的角平分线与ACB的外角ACD的平分线交于 1 A. (1)探索A与 1 A之间数量关系并证明你的结论; 若 1 ABC的
7、角平分线与 1 ACD的角平分线交于 2 A, 2 A BC与 2 A CD的平分线交 于 3 A，如此继续下去可得 4, , n AA?请你直接写出 n A与A的数量关系. (2)如图 7，若E为BA延长线上一动点，连,ECAEC与ACE的角平分线交于Q， 随着点E的运动， 1 QA +的值是否变化?若变化，请说明理由;若不变，请求出其值. 解(1) 1 1 2 AA=. ACDABDBAC- = Q, 11 ,BA CA是ABC的 角 平 分 线 与ACB的 外 角 ACD的平分线， 111 1 2 AACDABDBAC= - =. 1 () 2 n n AA=. (2) ACDABDBA
8、C- = Q, 11 ,BA CA是ABC的角平分线与ACB的外角 ACD的平分线， 111 1 2 AACDABDBAC= - =. ,AECACEBAC EQ CQ+= Q是,AECACE的角平分线， 11 () 22 QECQCEAECACEBAC+=+=, 1 180()180 2 QQECQCEBAC= - += -, 1 180QA +=. 四、顶角平分线与一条高线的夹角与两底角的关系 例 4 如图 8 , ABC?中，AD平分BAC,BEAC于点E，交AD于点F，试说 明 1 2() 2 ABCC =+. 解 180ABCCBAC+= - Q ,又 ADQ 平分 BAC , 2
9、1BAC=. ,1902,2(902)BEACBAC = - = - Q, 2 2ABCC+= 即 1 2() 2 ABCC =+. 例 5 在ABC?中，CB.如图 9, ADBC于点,D AE平分BAC，试说明 1 () 2 EADCB= - . 解 180()BACBC= - +Q ,又 AEQ 平分 BAC , 1 2 EACBAC=. ,90ADBCDACC= - Q, 又EADEACDAC=- Q, 1 () 2 EADCB= - . 结论顶角平分线和同顶点高线的夹角等于两底角差的一半;顶角平分线和不同顶点高 线的夹角等于两底角和的一半. 变形在ABC?中，CB ,ADBC于点,D
10、 AE平分BAC. (1)如图10(1), AE平分BAC, F为AE上的一点，且FDBC于点D，这时 EFD与,BC有何数量关系 ?请说明理由 ; (2)如图 10(2) , AE平分BAC, F为AE延长线上的一点,FDBC于点D， 请你写 出这时AFD与,BC之间的数量关系(只写结论，不必说明理由). (提示 :过点A作BC的垂线段AM，再利用垂直于同一直线的两直线平行得到 EFDEAM= ，其理由如顶角平分线和同顶点高线的题例) 纵观各地试题，有的给基础习题添加新问题，有的给基本模型创设“新情境”，有的给 核心概念赋予新视角.希望同学们能抓住问题的本质，灵活运用与角平分线有关的基本题型， 提升自己的解题水平.