《中考数学复习指导：中位线定理在几何证明中的应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学复习指导：中位线定理在几何证明中的应用.pdf（4页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、中位线定理在几何证明中的应用中位线定理在几何证明中的应用 三角形(梯形 ) 中位线定理在初中平面几何中是一个很重要的定理，运用定理结论中的 位置关系和数量关系，往往能证明许多有关问题现举例谈谈它在几何证明中的应用 一、证明线段相等或倍分关系 例 1 求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等 已知：如图1，梯形 ABCD 中， ABDC，BCAB，E 为 AD 中点求证： EC=EB 分析要证 EC=EB ，由 E 为 AD 中点想到梯形的中位线，可取 BC 的中点 G，连结 EG， 则 EG 为梯形中位线，根据中位线定理可得EGABCD，再根据 BCAB，可得 EG BC， 进而证明
2、BEG CEG，可得对应边EC=EB 例 2 已知：如图2，在 ABC 中， B=2C，ADBC，M 是 BC 的中点 求证求证： DM= 1 2 AB 分析要证 DM= 1 2 AB，可设法证明DM 与等于 1 2 AB 的线段相等，为此取AC 的中点 N，连 MN，则 MN 为 ABC 的中位线，根据中位线定理得MNAB，MN= 1 2 AB 要证 DM=MN ，可连结 DN，由已知条件可知DN 是 RtADC 斜边 AC 上的中线， DN=NC ， NDM=C 又 MNAB，得 NMC=B=2C， MND =NMC NDM =2C C=C MND =C=NDM ， 得 DM=MN= 1
3、2 AB 二、证明线段和或差关系 例 3 已知：如图3，正方形ABCD 中， E 为 CD 上的一点， F 为 BC 的中点，且FA 平分 BAE求证： AE=AB+EC 证明取 AE 的中点 G，连 FG，则 FG 为梯形 ABCE 的中位线 GF= 1 2 (AB+EC )，GFAB FAB=GFA又 FAB=GAF ， GFA=GAF， 又 G 为 AE 中点， AE=2AG=2 GF=AB+EC 例 4已知：如图4， ABC 中， AE=BF ，ACEGFH 求证： EG=ACFH 证明取 AB，BC 的中点 M，N，连 MN，则 MN 为 ABC 的中位线 MN= 1 2 AC又 A
4、E=BF ， EM=FM AE=BF ，ACEGFH GC=BH 又 CN=BN ，GN=HN MN 为梯形 EFHG 的中位线 MN= 1 2 (EG+FH ) 1 2 (EG+FH )= 1 2 AC EG=ACFH 。 三、证明角相等关系 例 5已知：如图5，四边形ABCD 中， AB=CD ，E， F 分别为 BC，AD 的中点， BA， CD 的延长线与EF 的延长线分别交于P，Q求证： APE=EQC 分析要证 APE=EQC，由 E，F 分别为 BC，AD 的中点，想到中位线定理，可连 BD ，取 BD 中点 M，连 EM，FM，则 EM= 1 2 CD，FM= 1 2 AB 又
5、已知 AB=CD ，得 EM=FM 。 从而 MEF =MFE 又由中位线定理得EMCD，FMAB，得到 MEF = EQC， MFE=APE 从而可证 APE=EQC 例 6 已知：如图6，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD+BC ，M 为 CD 的中点求证： AM，BM 分别平分 DAB 和 CBA 分析由条件 M 为 CD 的中点，可取AB 的中点 N，连 MN，得 MN 为梯形 ABCD 的中 位线，得 MNADBC，且 MN= 1 2 (AD+BC ) 又 BN= 1 2 AB，AB=AD+BC ， MN=BN ，得 ABM=NMB 又 NMB=MBC， ABM= MBC，BM
6、 平分 CBA，得证 同理可证 AM 平分 DAB 四、证明线段或角的不等关系 例 7 求证：三角形任意两条中线的和大于第三条中线 已知：如图7， ABC 中， AD，BE，CF 分别为三边的中线求证：AD+BE CF 分析假定三角形三条中线相交于点O，要证AD+BECF ，可构建中位线如取OA 的中点 G，连 FG，则 FG 为 AjE0 的中位线，得FG=Dj! 再利用重心定理可得 FG=了 1 D 曰=了 1 j5F 又 OF=T1， OG=OD=A G 一n 在 A OGF 中， DG+FGOF ，得 D+j!Ec， ，从而问题得证 例 8，如图 8，M，N 是四边形ABCD 的边 BC，AD 的中点，且AB 与 CD 不平行 求证： MNAC求证：DACBAD