《中考数学复习指导：利用面积法解一类线段关系问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学复习指导：利用面积法解一类线段关系问题.pdf（3页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、利用面积法解一类线段关系问题 几何图形面积与线段、角、弧等有着密切关系，借助面积极法不但可证明各 种几何图形中的面积等量关系， 还可证某些线段相等， 角的相等关系以及线段之 间的比例式等多种类型的几何题，用面积法证题， 关键在于利用题目的特点， 分 析相应图形面积之间的关系，推出几何题中相应边角关系。下面通过实例分析， 说明如何借助面积找线段关系。 实例：1、已知ABC 中，BDAC于 D，CE AB 于 E， 求证： BD CE AB AC 证明：根据三角形面积公式得 SABC AB 2 1 CE 2 1 BDAC ABCEBDAC BD CE AB AC 评析：BD 和 CE 分别是ABC
2、 的高，而高又与面积相关，用不同边上高表 示三角形面积， 由同一个三角形面积相等， 快速确定找出线段比例关系，即找到 三角形相似关系。 实例： 2、ABC 中， A90，D 是 AC 上一点， BDDC，P是 BC 上 一点， PEBD 于 E，PFAC 于 F， 求证： PE+PFAB 证明： SPDB+ S PCDSBCD 2 1 BDPE+ 2 1 CDPF 2 1 CDAB CDBD PE+PFAB 评析：PE、PF、AB 分别是 PBD、PCD、BCD 的高，PBD、PCD 面积和等于 BCD 面积。 证明线段和差问题， 借助等式中的线段恰好是相应三角形的高，利用面积来 建立线段关系
3、，约去两边的等线段得出求证结论。 实例：3、平行四边形 ABCD 对角线上有一点E，作 EFAB 于 F，EGAD 于 G，求证： EF：EGAD：AB 证明：作 EKCD、EHCB EFAB，EGAD S平行四边形AHEK EFAHEGAK E D C B A P F E C D A B K H G F E D C B A AH AK EG EF 又EKCD AC AE AD AK EHBC AC AE AB AH AB AH AD AK 即 AB AD AH AK 又 EG EF AH AK AB AD EG EF 评析： 证线段成比例，联想到平行线截线段成比例关系，与分点E 有关系，之所
4、 以过 E 作平行线构造新的平行四边形，借助平行四边形的面积来转换关系，由 面积关系得比例式，从而推出结论。 实例 4、D、E 分别是 ABC 边 AC、AB 上的点，BD、CE 相交于 O，O BE、 O BC、O CD 面积分别为 15、30、24，求 AE：BE 解：作 DFEC 交 AB 于 F，OBE 、O BC 同高， 2 1 30 15 OBC OBE S S OC OE 同理 4 5 OD OB 设 OEm，OD4n，OC2m，OB5n DFEC BOE BDF ADF ACE 9 5 9 5 n n BD OB DF OE BF BE 4 5 EF BE BE= 4 5 EF
5、 DF= 5 9 OE=m 5 9 又 OCOE DF CE DF AE AF 5 3 2 5 9 mm m AE AF 5 2 AE EF AE= 2 5 EF 2 4 5 2 5 EF EF BE AE 评析： 抓住OBE 与OBC 同高，借助面积积找 2 1 OC OE 同样借 OBC 与OCD 同高，借助面积找 4 5 OD OB O E F C D B A 最后进一步借助平行线截线段成比例运用上述线段之比找 BE AE 实例 5、设 G 是ABC 的重心，三条中线 AM 、BN、CH 交于 G，r 是ABC 内切圆半径，点G 到边 BC=a，CA=b，AB=c 的距离分别为 GD、G
6、E、GF，探 求 GFGEGD 111 与ABC 内切圆半径 r 的关系。 解AM 、BN、CH 是ABC 三条中线，则有 SAGB=SAGC=SBGC= 3 1 SABC SBGC= 2 1 BCGD ABC BGC S a S BC GD2 3 2 1 同理 ABC S b GE2 31 ABC S c GF2 31 ABC S cba GFGDGE2 )(3111 借用关系式 r 是ABC 内切圆半径 SABCrcba)( 2 1 rGFGDGE 3111 评析： 运用ABC 重心分割三角形面积特征，分成相等三部分，SAGBSAGC SBGC 3 1 SABC，从表示三个部分着手，用面积表示GD、GE、GF 的倒数 关系，再运用 ABC 内切圆半径和三边关系表示ABC 的面积，将部分与整体 有机结合，探求其倒数和与三角形内切圆半径的关系。 B A C D F G H N E M