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1、图形翻折问题的解法探究与启示 一道关于图形翻折的问题，值得大家分析探究. 一、试题与分析 试题在ABCV中ABk=，A =，点P是AC的中点，将ABPV沿直线BP翻折， 点A落在点A处，且90A CB= +，则BC =(用k和含的三角比的代数式 表示 ) 分析这道有关图形翻折的问题，其难点主要体现在以下三个方面:第一，虽然是一道 关于图形翻折的问题，但并没有图形，需要学生自己作出符合要求的图形;第二，题目中已 知条件的分析与运用，需要添加必要的合理的辅助线;第三，有关基本图形的组合与分离需 要观察分析到位.综合以上三点，此题确有一定的难度. 二、解法与启示 解法 1 “四点共圆”显神威 如图
2、1， 连结A C， 由PAPAPC=， 可知AA CV是直角三角形， 且90AA C=. PA BPAB= =, 90AA BPA CAA CPA B+ = += +. 由90A CBACBPCA= += + , 得AA BPA CACBPCA+ = + . PA CPCA= Q, AA BACB= . 故可知A、A、C、B四点共圆 . 由90AA C=，知AC为该圆的直径，可得90ABC=，则tanBCk=. 评注与启示解法 1 利用了“四点共圆” ，解答过程干净、利落，实为非常巧妙的解答. 判定四点共圆有两个基本方法:1.若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角， 则这四点共圆
3、;2.若点C、D在线段AB的同侧，且ACBADB= ，则A、B、C、D 四点共圆 . 解法 2 “补全”图形，巧用相似 如图 2， 在图 1的基础上分别延长AA，BC相交于点Q.如解法 1得到AA BACB= , 此时，这两个角的补角相等，即QA BQCA= . 这样QA BQCAV: V， 于是有 QAQB QCQA = ，进而 QAQC QBQA = , QA CQBA V: V. 而90QA C=, 于是90QBA=，从而tanBCk=. 评注与启示解法 2 的生成得益于图形的“补全”.这一点在2015 年上海中考题中也有 所体现 : 已知在ABCV中，8ABAC=，30BAC=.将AB
4、CV绕点A旋转，使点B落在 原ABCV的点C处，此时点C落在点D处.延长线段AD，交原ABCV的边BC的延长线 于点E，那么线段DE的长等于. 简析如图 3 所示 此题虽为三角形的旋转问题，但由于所旋转的角度恰为该等腰三角形的顶角度数，实质 我们还是可以看成是ABCV沿边AC所在直线翻折，得到ADCV.图 3 中，分别延长AD、 BC相交于点E，类似于将不完整的图形进行了“补全” .就本题而言， 过点B或点C向AD 作垂线段，我们很容易得到结果为4 34-，只要学生可以将图3 的图形“迁移”过来，那 么解法 2 的图形“补全”;就可以自然生成了.另外，我们将解法2 中两对相似三角形的图形 分离
5、出来 .我们会发现这是典型的相似三角形中“两高”型基本图形的运用，如图4、图5 所示 . 如图 5，这是相似三角形中“两高”型基本图形，即: 若ADBQ，BEAQ， 则QDEQABV: V. 正是基 于这样一种基本图形的分离，所以我 们在 图4 中才可以比较容易得 到 QA CQBAV: V. 解法 3 “共边共角”基本图形的运用 在图 3 中，我们容易得到ECDEACV: V，这两个三角形形成的是“共边共角”型相 似基本图形，可以得到 2 ECED EA=g，问题是要求ED长，8EAED=+，那么只需要求 出EC长或者用ED表达出EC.如图 6,易知4CG=， 从而4 2EC =.设EDx=
6、.我们可以 得到方程 2 (42)(8)x x=+，解得4 34x=-(负限舍去 ). 上述解法的思维方法值得鉴赏，尤其“共边共角” 型基本图形的运用，还是大有可为之 处. 评注与启示解法 3 从分析己知条件出发，在原图中构造出“共边共角”型基本图形 . 得到 2 BCBD BA=g的关系式，通过设未知数的方法最终得到相关方程.将“共边共角”型 基本图形利用好、发挥好，就一定可以得到问题的解答.这在 2016 年上海中考题中也有所体 现: 如图 7 所示，梯形ABCD中，/ABDC，90B=，15AD=，16AB=，12BC=， 点E是边AB上的动点，点F是射线 CD上一点，射线ED和射线AF
7、 交于点 G，且 AGEDAB= 二. (1)略;(2)略; (3)如果点F在边CD上 (不与点C、D重合 )，设AEx=，DFy=，求y关于x的 函数解析式，并写出x的取值范围 . 简析 (3) 易知EGAEADV: V.从而有ADEGAEAFD= = .这样， 在ADFV中 就可以形成“共边共角”型基本图形 ADGAFDV: V ，得 2 ADAG AF=g.利用比例关系 有 x AGAF xy = + ，所以 22x ADAF xy = + .只要表达出 2 AF，很容易就可以得到问题的 答案为 22625 18(9) 2 yx x =-. 综上可见，我们在实际教学中，应当将学生容易接受的、最优的解法教授给学生，一题 多解仍然值得我们去追求.虽然，有些解法较为简洁，有些解法较为繁杂，但当我们站在不 同的角度也同样可以欣赏到不同的美景.