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1、1 巧用等积法解题 等积法是初中数学中常见的一种解题方法，利用这一方法解决某些问题，能化难为易， 化繁为简下面举例供参考 一、求三角形的高 例 1 网格中的每个小正方形的边长都是1， ABC 每个顶点都在网格的交点处，则 sin A_ 解析如图 1，作 AD BC 于点 D，CEAB 于点 E，由勾股定理，得 点评本题要求 A 的正弦值，根据定义，即要求A 对边与斜边的比，关键就是求 对边 CE 的长，而CE 不能通过网格直接求出，这就需要利用ABC 的面积构建相等关系 才能得到 CE 的长，这是解决本题的关键 二、求三角形内切圆的半径 例 2 如图 2，圆 O 是 ABC 的内切圆，切点分别
2、是D、E、F又 AB AC10，BC 12，求圆 O 的半径 r 解析连结 AO ，O 是内切圆心， 就是角平分线的交点，AO 的延长线与BC 的交点为 E 点评本题要求三角形内切圆的半径，而三角形内切圆的半径与三角形各边垂直，所 2 以想到利用三角形的面积构建相等关系，即大三角形的面积等于三个小三角形的面积之 和，从而解决问题这也是处理三角形内切圆问题的一种常见的方法 三、求阴影部分的面积 例 3 如图 3，点 B、C、D 都在半径为6 的 O 上，过点 C 作 AC BD，交 OB 的延长 线于点 A，连结 CD，已知 CDB OBD30 (1)求证： AC 是 O 的切线； (2)求弦
3、BD 的长； (3)求图中阴影部分的面积 解析(1)(2)略 点评本题中，直接计算阴影部分的面积比较麻烦，故连结OC、OD、OB，并证得 ODBC，此时便可发现DPC 和 OBC 同底等高，即DBC 的面积和 OBC 的面积相 等，因此阴影部分的面积可转化为扇形的面积求解 四、探究线段之间的关系 例 4 如图 4，在边长为10 的菱形 ABCD 中，对角线 BD16，点 O 是直线 BD 上的动 点， OE AB 于点 E，OF AD 于点 F (1)对角线 AC 的长是 _，菱形 ABCD 的面积是 _； (2)当点 O 在对角线BD 上运动时， OEOF 的值是否发生变化？请说明理由； (
4、3)如图 5， 当点 O 在对角线BD 的延长线上时， OEOF 的值是否发生变化？若不变， 请说明理由，若变化，请探究OE、 OF 之间的数量关系，并说明理由 3 解析(1)对角线 AC 的长是 12，菱形 ABCD 的面积是96； (2)OEOF 的值不变 如图 4，连结 AO (3)OEOF 的值发生变化， 如图 5，连结 AO 整理得 OEOF9.6 OE、OF 之间的数量关系为 OEOF 9.6 点评本题中 (2)要求 OEOF 的值是否发生变化，而OE、OF 分别是 AB 、CD 边上 的两条高，由此可以想到通过ABD 的面积相等，即ABD AOB AOD ，就可以 求出 OEOF
5、 的值；本题中(3)在点 O 运动到 BD 的延长线时，探究OE、OF 之间的数量 关系，由于OE、OF 依然是 AB、 CD 的两条高，还是通过ABD 的面积相等，即ABD AOB AOD 这样就可以找出OEOF 的值 五、求函数的解析式 例 5 在平面直角坐标系中（如图7） ，已知抛物线y 2 3 x 2bxc 与 x 轴交于点 A （ 1，0）和点 B，与 y 轴交于点C(0， 2) (1)求该抛物线的表达式，并写出其对称轴； (2)点 E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F在对称轴上， 四边形 ACEF 为梯形，求点F 的坐标； (3)点 D 为该抛物线的顶点，设点P(t，0)，且 t3，如果 BDP 和 CDP 的面积相等，求t 的值 解析(1)，(2)略； 4 (3)由(1)和(2)题可得，点B(3，0)，点 D(1， 8 3 )若 BDP 和 CDP 的面积相等， 则 DPBC， 直线 BC 的解析式为y 2 3 x2， 直线 DP 的解析式为y 2 3 x 10 3 ， 则当 y0 时， x5， t 5 点评第 (3)题中，已知 BDP 和 CDP 的面积相等， 可得 BDP 和 CDP 等底同高， 即 DPBC，根据待定系数法得到直线BC 的解析式，再根据两条平行的直线k 值相同可 得直线 DP 的解析式，进而得到t 的值