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1、平面直角坐标系中相似的存在性问题 【高瞻远瞩】 在平面直角坐标系中寻求满足条件的等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、 平行四边 形、特殊梯形等存在性问题，常常出现在中考的压轴题中。这类知识的考察对学生思考、解 决综合问题的能力要求较高。所以，即便是接受能力较强的学生接触这类问题也不易完全掌 握！为突破这类难点，提高学生的能力得分，萌生了要讲相似存在性专题的念头。确立专题 后，就如何通过专题的讲解让学生掌握此类问题的解题密码成为问题关键。为了突出重点， 直击难点， 采取了在综合题中抽离难点，组成题串的方式进行授课。帮助学生寻找知识的共 性与个性，掌握分类讨论的标准，形成可贵的有序思维，从而提升
2、解决问题的能力。 【胸有成竹】 1. 基本功解读好点的坐标 (1) 借助点的坐标可求出已知三角形的边和角抓出已知三角形个性，为探求未知点的 存在提供方法 (2) 依据已知三角形个性定出寻求未知三角形的分类标准 2. 相似的对应性相似的几种常见问法： （ 1）使得 ACB AOC （明确了对应性） （ 2）使得 CBD与 ABE相似（对应性不明确） （ 3）使得以点PBQ， ，为顶点的三角形与ABC相似（对应性不明确） 【解题密码】 引例 1、如图，P是 RtABC的斜边BC上异于B、C的一点， 过P点作直线截ABC， 使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线一共有_条，请分别在图中画 出
3、来 【分析】 “过P点作直线截 ABC ”未明确怎样截， 故要分过 P点作直线与边 AB相交和过P点作直线与边AC相交两种情况； “截得的三角形与ABC 相似”未明确对应性，故要分类讨论。讨论的分类依据由已知 ABC 的个性 直角来决定。 A B P C 解：若过P点作直线与边AB相交：分BDPBPD、为直角两种情况（如图） 若过P点作直线与边AC相交：分CPD为直角一种情况（如图） 【点拨】 此题要学生学会抓准分类依据，进而不重不漏拿出所有情况。此题还可进行变式：即P 点在边AB上会怎样？ 例 1、如图，在平面直角坐标系中，)0, 1(A)2,0(B)0 ,2(C)3, 1(D在坐标轴上找一
4、点 E，使得 CBD 与 ABE 相似（不包括全等） ，求出 E 点坐标 . 【分析】 由)2,0(B)0 ,2(C)3, 1(D三点坐标解读出已知CBD 是以 CBD为直角的三角形。 故寻找未知三角形就抓住直角的位置进行 分类即分别以PBA、三点为直角顶点。由于待确定三角形已知 一边AB, 就分别过BA、点作AB边的垂线，垂线与坐标轴的交点即为P点；再以AB边 为直径画圆，圆与坐标轴的交点即为 P点。然后通过相似三角形对应变成比例的知识求出 和P点相关的经纬线段，再将经纬线段的长转化成P点坐标。 解：RtCOARtBCE，此时点P1（0，0） 过 A 作 AP2AC 交 y 正半轴于P2，由
5、 RtCAP2 RtBCE，得) 2 1 ,0( 2 P 过 C 作 CP3AC 交 x 正半轴于P3，由 RtP3CA RtBCE，得 P3（4， 0） P A B C D P A B C D P A B C D 故在坐标轴上存在三个点P1（0，0） ，) 2 1 ,0( 2 P，P3（4，0） ，使得以 P、A、C 为顶点的三 角形与 BCE 相似 【点拨】 分析 真问题： 1画出关键句？ 2. 点的坐标在此有怎样的作用？ 3. 在哪里找点？ 4. 怎么找？ 以上问题之所以说是真问题，是因为回答问题的同时也就是破解问题的过程。问题 1 是指导 学生学会审题； 问题 2 要学生解读好点的坐标
6、，抓住已知三角形的个性，为后续分类提供依 据；问题3、4 引领学生学会找出满足条件的点。 ：例 2、 点 A(一 1，0)、B(4，0)，D(1，-3 )，E（6，7） 若点 P 在 x 轴上，以点 P、B、D 为顶点的三角形与AEB 相似， 求点 P 的坐标 【分析】 由 A(一 1，0)、E（6，7）两点坐标解读出EAB=45,故 已知 AEB 是含 45特殊角的三角形。由于待确定三角形已知 一边DB, 由 B(4，0)，D(1，-3 ) 两点坐标解读出ABD =45故 两相似三角形的A、B 两点是对应的。 分类就分两种情况：AB E BDP、ABE BPD; 然后通过相似三角形对应变成比例的知识求出和P点相关的经纬线段，再将经纬线段的长 转化成P点坐标。 解：由 B(4，0)，D(1，-3 )知ABD=45，BD= 23 由 A(一 1，0)、E（ 6，7） 知EAB=45，BD=27 )0, 7 13 (, 7 15 , 2327 5 1 PBP BP BD BP AE AB 时，当 )0, 5 22 (, 5 42 , 23 27 5 2 PBP BPBP BD AE AB 时，当