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1、1 抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略 动态问题是近几年来中考数学的热点题型，常与存在性问题结合，这类问题综合性较 强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程中的 不变量、不变关系和特殊关系本文以中考题为例，对二次函数背景下，一些特殊三角形 存在性问题的解题策略进行探究 一、探究等腰三角形的存在性 例 1 如图 1，已知抛物线yax 2bx c 经过 A（ 1，0） 、B(3，0)、C(0，3)三点， 直线 l 是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； (3)在直线
2、l 上是否存在点M，使 MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合 条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由 解(1)易得 y x 22x3； (2)分析由图知， A，B 两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据对称性以及两点之 间线段最短可知，若连结BC，那么 BC 与直线 l 的交点即为符合条件的P 点 易求得 BC 的函数关系式为y x 3，当 x1 时， y2，所以 P(1，2)； 2 评注例 1(3)中，由于 MAC的腰和底不明确，因此要分上述三种情况来讨论可先设 出 M 的坐标，然后用M 点纵坐标表示MAC 的三边长，再分别按三种情况列式求解 同学们可根据上述解题思路分析解决下题：
3、 如图 2，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点 A、B 分别落在坐标轴上O 为原点，点A 的坐标为 (6，0)，点 B 的坐标为 (0，8)动点 M 从点 O 出发沿 OA 向终点 A 以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点N 从点 A 出发，沿AB 向终点 B 以每秒 5 3 个单 位的速度运动当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N 运动 的时间为t 秒(t0) (1)当 t3 秒时，直接写出点的坐标，并求出经过O、A、N 三点的抛物线的解析式； (2)在此运动的过程中，MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若 不存在，请说明理由； (3)当 t 为何值时， MNA 是一个等腰三角形？ 3 二、探究直角三角形的存在性 例 2 如图 3，已知抛物线y x 2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点（ A 点在 B 点左侧）， 与 y 轴交于点C(0， 3)，对称轴是直线x1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点D (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线 BC 的函数表达式； (3)点 E 为 y 轴上一动点， CE 的垂直平分线交CE 于点 F，交抛物线于P、Q 两点，且 点 P 在第三象限 当线段PQ 3 4 AB 时，求 tanCED 的值； 当以点C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标