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1、探究动点背景下的线段最值问题 图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问 题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法: 1、代数解法 .通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方 程判别式、解不等式来求解. 2、几何方法 .常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如 三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何 公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 一、从动点所在特殊位置入手 图
2、形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中 点等 ;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键 点. 例 1 如图 1，在四边形ABCD中，90A =，3 3AB =，3AD =，点M，N分 别为线段BC，AB上的动点 (含端点，但点M不与点B重合 )， 点E，F分别为DM，MN 的中点，则EF长度的最大值为. 分析DM，MN的长度随点M，N分别在线段BC，AB上运动而变化， 点E，F 分别为DM，MN的中点却保持不变.题设中EF与不变量A，AB，AD无直接数量关 系，但连结DN，则由三角形的中位线定理可知 1 2 EFDN=，
3、如图 1 所示，从而可知DN 最大时，EF最大 .因为N在线段AB上，当点N与其端点B重合时DN最大， 如图 2 所示 . 此时，由勾股定理知 6BD = ，所以EF长度的最大值为 3. 例 2 如图 3，在O中，直径6AB =，BC是弦，30ABC=，点P是BC上的 一个动点，点Q在O上，且OPPQ.求PQ长的最大值 . 分析点P在BC运动时，OP，PQ的位置和大小都变化，但OPPQ，圆的半径 不变，连结OQ，则OPQ?保持直角三角形不变. 在Rt OPQ?中， 2222 3PQOQOPOP=-=-, 所以OP最小时PQ的长的最大.由垂径定理知，此时点P正好是CB的中点，如图4 所示，Q点与
4、C点重合 . 分析连结OQ. OPPQ， OPQ?为直角三角形. 又OP CB ， 1 3 2 OBAB=，30ABC=， 3 2 OP = 由勾股定理，得 22 33 3 3( ) 22 PQ =-= 即PQ长的最大值 3 3 2 . 二、从动点产生的特殊线段入手 在图形中， 点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为 具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会 找到最值的答案. 例 3 如图 5， 在直角ABC?中，90C=，3AC =，4BC =，P为AB上(不与AB 重合 )一动点，过点 P分别作PEAC 于点 E，PFBC
5、 与F，则EF的最小值. 分析因为点P在AB上运动时，PEAC于点E，PFBC与F，90C=， 所以四边形 CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC，则 EFCP= ，要求 EF 的最小值， 就是求CP的最小值 .显然当CDAB， 即CD是斜边AB的高时，CD最小 .又由勾股定理， 得 5AB = ，根据三角形面积不变，得 ACBCCDAB= ，解得 12 5 CP =，所以EF的 最小值为 12 5 . 例 4 如图 6， 在圆O上有定点C和动点P位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线， 与PB的延长线交于点 G.已知 :圆O半径为 5 2 ， 4 tan 3 ABC=，则CG的最大值是
6、( ). (A)5(B) 15 4 (C) 25 3 (D) 20 3 分析点P在AB上运动时， PC的位置和大小会随之变化，但CABCPG= ， 90ACBPCG= =保持不变，故有 ABCPGC?， BCAC CGPC =，即 BC CGPC AC =i， 由 3 tan 4 AC ABC PC =，知 4 3 CGPC=，当PC最大时，CQ取到最大值 易知，当 PC经过圆心，即PC为圆O的直径时，PC最大 (此时CG是圆O的切线 ). 圆O半径为 5 2 ， PC的最大值为 5, 315 5 44 CG = =. CG的最大值 15 4 ，故选 B. 三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图
7、形入手 某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应 联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形， 然后借助特殊图形的性质将问题进行有 效转化 . 例 5 如图 7，ABC?中，45B=，60BAC=，2 2AB =. D是BC上的一 个动点以 AD为直径画圆与AB，AC相交于E，F两点，求EF的最小值 . 分析点D在BC上运动，AD的位置改变引起圆O的位置和大小变化，而所求EF的 值与不变量B，BAC以及AB的关系不明显. 连结OE，OF，构造含120角的特殊等腰三角形，如图 8 所示，过O点作OHEF 垂足为H，由圆周角定理可知 1 60 2 EOHEOF
8、BAC= =. 在Rt EOH?中，由垂径定理可知23EFEHOE=.所以当OE最小时，EF的值 最小，而 1 2 OEAD=，由垂线段的性质可知，当AD为ABC?的边BC上的高时， 直径AD 最短，此时线段EF最小 . 在Rt ADB ? 中， 45ABC=，2 2AB =， 2 ADBD= ，即此时圆的直径为2. 在Rt EOH?中， 33 sin1 22 EHOEEOH= = 23EFEH=， 即EF的最小值为3. 四、从图形运动中相对保持不动的点入手 若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加 或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼
9、于图中的相对不变量.相 对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍 是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键. 例 6 如图 9，在ABC?中，90ACB=，3BC =，8AC =，点A，C分别在x轴、 y轴的正半轴上.当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动中OB的最大值 是多少 ? 分析当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，这样改变了ABC?的位置， 点B的位置也随之改变， OB的长度随之发生变化 .虽然 BC、AC的长度不变，但些相对 不变的量与OB没有直接的关系. 仔细观察图9，AC是Rt COA?的
10、斜边，AC长度不变，则点O与其中点D的连线段 OD的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB有关 . 于是，连结DB，则OBDBOD+, 所以，当O、D、B三点共线时OB值最大，即BOODDB=+. 在Rt BCA?中，4CD =，3CB =，5DB =. 则OB的最大值为549+=:. 综上可知， 解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发 考虑 . 1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不 变应万变，动中求静. 2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径 是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以 要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.