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1、旋转正方形常见题型例析 一、常规旋转，梳理研究方法 问题 1 如图 1， 已知正方形ABCD与正方形DEFG如图位置摆放， 线段AE与CG有 何关系 ?并说明理由 . 问题 2 如图 2，正方形ABCD不动，将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转任意 角度，线段AE与CG有何关系 ?并说明理由 . 解析这两个问题中，AE与CG的关系都是 : AECG且AECG. 问题 1 中， 要证AECG， 只需要证明ADECDG.因为四边形ABCD和DEFG 是正方形，所以,90ADDC DEDGADECDG，所以ADECDG.延 长GC交AE于点H， 要证AECG， 只要证明90CHE即可 .由ADEC
2、DG得 到，AEDDGC.在DCG和HCE中， 易证90CHECDG(基本图形“ 8” 字模型 ). 问题 2 的方法与问题1 完全类似，可仿照完成. 规律点拨正方形旋转的过程中，正方形的位置虽然不断发生变化，但正方形的边相等 和角为90的条件始终不变，因此构造成的三角形始终全等，从而对应的线段和对应角始 终相等 .在探究线段位置关系的过程中，利用基本图形求角的度数也是常用的方法，解题中 要学会从复杂的图形中找出基本图形，并灵活利用基本图形解决问题. 二、变式旋转，玩出新的高度 1.抓住定量，玩转线段关系 玩法 1 如图 3，已知正方形ABCD，点E是线段AC上一动点， 以DE为边在DE的 右
3、侧作正方形DEFG，线段,CE AC与CG有什么关系 ?请证明 . 玩法 2 如图4，已知正方形ABCD，点E是线段AC延长线上一动点，以DE为边 在DE的右侧作正方形DEFG，线段,CE AC与CG有什么关系 ?请证明 . 玩法 3 如图 5，已知正方形ABCD，点E是线段CA延长线上一动点，以DE为边在 DE的右侧作正方形DEFG，线段,CE AC与CG有什么关系 ?请证明 . 玩法 4 上述图 3图 5 中，AE与CG有何位置关系 ?为什么 ? 解析玩法1 中 3 条线段的关系是: ACCECG;玩法2 中 3 条线段的关系是: CGACCE;玩 法3 中3 条 线 段 的 关 系 是C
4、ECGAC.分 析 发 现 ， 只 要 证 ADECDG即可 .因为四边形ABCD和DEFG是正方形，所以,ADDC DEDG， 易 证A D EC D G， 所 以A D EC D G， 所 以A EC G. 玩 法1中 因 为 ACAECE， 所 以A CC GC E; 玩 法2中 ， 因 为AEACCE， 所 以 C GA CC E;玩法 3 中，因为CEAEAC，所以CECGAC. 玩 法4 ， 可 以 用 求 角 度 法 . 图3 、 图4都 易 证45ACD. 由 全 等 得 到 45DCGDAE，从而454590ACG.图 5 中，易证 135DCGDAE，从而1354590AC
5、G.也可以利用基本图形(“8”字 模型 )，由ADECDG得到DGCDEA.图 4 和图 5 中，由基本图形DGCE易知 90GCEGDE.在图3 中，易证CGFCEF,由基本图形ECGF，易知 90GCEGFE. 规律点拨图 3图 5 貌似并非两个正方形简单旋转得到的，但是在解题过程中，我们 仍然可以用旋转的思想去研究.类比两个正方形的常规旋转，联想解决常规旋转问题时的方 法和固有规律，从而解决复杂图形的问题.同时，这3 幅图之间可以进行横向类比.虽然图形 的形状和位置发生了一点变化，但是正方形的边和角的关系始终不变，两个全等的三角形始 终存在 .解题中只要紧紧抓住这些定量，便很容易发现这3
6、 个问题的解法是一样的. 2.揭示本质，玩转面积定值 玩法 1 如图 6，正方形ABCD不动，将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转任意 角度，连结AG和CE，判断ADG与DCE面积的大小关系，并说明理由. 玩法2 如图7，正方形ABCD不动，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转度， (090)交CD与点M， 交AD于点N， 求四边形OMDN的面积与正方形ABCD面 积的数量关系，并说明理由. 解析玩法 1 中，很容易发现ADG和DCE中，它们有一组边相等，很容易想到把 这组边作为底，作出底边上的高来解决.如图6，分别作AD边上的高GM，作CD边上的 高EN，只要证明GMEN即可，也就是只要证明D
7、GMDEN. 玩法 2 中，四边形OMDN是个不规则四边形，很容易想到用“割补法”将其转化成规 则图形 .由正方形的性质，易证OCMODN，从而将ODN补在OCM处.于是四 边形OMDN转化成OCD，从而得到四边形OMDN的面积是正方形ABCD面积的 1 4 . 规律点拨研究两个正方形旋转过程中，三角形或者四边形面积的不变性问题，实际上 是转化成研究线段之间的关系，采用了转化的思想.解题过程中要紧紧抓住面积的本质，灵 活地将面积和线段进行适当的转化. 3.化动为静，玩转最值问题 玩法1 如图8，正方形ABCD不动，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转度 (090)，交CD与点M，交AD于点N.在旋
8、转的过程中，求MON面积的最小 值;并求出此时的度数，以及此时MN与AC的关系 . 玩法 2 如图 9，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转度(0360)，交CD于 点M，交AD于点N.若正方形ABCD的边长为1，四边形OEFG的边长是2，在正方形 OEFG旋转的过程中，求线段AF的最小值和最大值. 解析玩法1 中，易知OCMODN,从而得到OMON始终成立.又因为 90MON，所以MON是等腰直角三角形，所以当腰长OM最小时，MON的面 积最小，即此时OMCD.画出符合条件的图形， 如图 9， 易知此时旋转角为45， 此时MN 是ACD的中位线，从而/MNAC且 1 2 MNAC. 玩法 2 中
9、，连结,AF OF，在正方形OEFG旋转的过程中，点A保持不动，AO的长 不变，而点F始终绕着点O旋转，但OF的长不变，变化的是点F的位置、AO与FO的 夹角以及线段AF的长度 . 方 法 一 ， 用 三 角 形 三 边 关 系 进 行 分 析 .在AOF中 ， 由 三 角 形 三 边 关 系 可 知 AFAOFO，所以当AO与FO在同一条直线时，也就是当AO与FO的夹角为180 时(如图 10) , AF最大 .同理，在AOF中，由三角形三边关系可知AFAOFO，所 以当AO与FO在同一条直线时，也就是当AO与FO的夹角为0时 (如图 11) , AF最小 . 方法二，用圆的知识来解释.点在
10、以点O为圆心，OF长为半径的圆上，AF线段的最 值问题就是点A到圆上的点的距离最值问题.如图 12，连结AO并延长， 与圆O的交点就是 使AF最大的点F，连接AO，反向延长AO，与圆O的交点就是使AF最短的点F. 规律点拨旋转正方形的过程中产生的面积最值问题，本质上是线段的最值问题.而求 解线段的最值问题，最常用的是:(1)两点之间线段最短，(2)垂线段最短， (3)三角形的三边关 系.玩法 1 中面积最值的本质是线段OM的最值， 实际上是利用垂线段最短来解决问题.把旋 转中的动图，经过分析转化成符合题意的静图，化动为静，简化问题.玩法 2 中，AF的最 值问题是利用三角形三边关系来寻找临界状态，从而画出符合条件的图形，进而解决问题.