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1、直角坐标系中平行四边形存在性问题 解决平面直角坐标系中平行四边形的存在性问题，既要考虑多种平移情况，又要进行画 图分析，对于学生难以掌握.笔者通过探究，发现有更简洁的方法，供大家参考. 预备知识 1 若在平面直角坐标系中， 12 (,0),(,0)A xB x，则AB的中点为 12 (,0) 2 xx+ . 预备知识 2 若在平面直角坐标系中， 1122 (,),(,)A xyB xy，则AB的中点为 1212 (,) 22 xxyy+ . 由此可知，若ABCD是平行四边形，则AC与BD的中点为同一点，所以，若在平面 直角 坐标系中，ABCD是平行四边形，且 1122 (,),(,)A xyB
2、 xy， 3344 (,),(,)C xyD xy,则有 1324 22 xxxx+ = 1324 xxxx+=+ 1324 22 yyyy+ = 1324 yyyy+=+. 由此可得结论:平行四边形每条对角线的两个顶点的横坐标之和与纵坐标之和分别相等. 根据这个结论就可简洁地解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题. 例1已知平面直角坐标系内三点(2,1),(3, 1), ( 2,2)ABC-，在平面内求一点D,使 A、 B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，写出点D的坐标 . 解设( , )D x y，分三种情况: (1)若AB为对角线， 则根据平行四边形每条对角线的两个顶点的横(纵)坐标
3、之和分别相 等，可得232x+= -+, 解得7x =, 1( 1)2y+ -=+, 2y = -. (7, 2)D- (2)若AC为对角线，则有223x-=-, 解得3x = -, 121y+= -+, 4y =. ( 3,4)D-. (3)若AD为对角线，则有232x+=-, 解得1x = -, 112y+= -+, 0y =. ( 1,0)D- 综上所述，满足条件的点D有三个，坐标分别为: 1(7, 2)D-, 2( 3,4) D-, 3( 1,0) D-. 方法归纳若在平面直角坐标系中，已知一个四边形为平行四边形，则只要把四个顶点 的坐标写出来(可以有两个未知数)，再根据 “平行四边形
4、每条对角线的两个顶点的横(纵) 坐标之和分别相等” ，可以列出两个等式，组成方程组，从而把问题转化为解方程组，不 需要画图分析，也不需要分动点的个数讨论 例2如图 1，在坐标系xoy中，ABC?是等腰直角三角形，90BAC=，(1,0)A， (0,2)B，抛物线 21 2 2 yxbx=+-过点C. (1)求抛物线的解析式; (2)平移该抛物线的对称轴所在直线l,当移到何处时，恰好将ABC?的面积二等分; (3)点P是抛物线上一动点，问是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形?若存在， 求出P点的坐标 ;若不存在，请说明理由 图 1 解(1),(2) 略; (3)由(1)可求得抛物线的解析式
5、为: 2 11 2 22 yxx=-，故可设 2 11 ( ,2) 22 P xxx-. 因为(1,0)A，(0,2)B，(3,1)C，且四边形PACB为平行四边形， 310x +=+, 2 11 2102 22 xx-+=+. 解得2x = -,得( 2,1)P -. 故存在( 2,1)P -，使四边形PACB为平行四边形. 例3如图 2，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，C在y 轴的正半轴上，OA=4, OC=3.若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、 A两点，直线AC交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)求点D的坐标 ; (3)若点M在抛物线上，
6、点N在x轴上，问是否存在以A、D、M、N为顶点的四 边形是平行四边形?若存在，求出N点的坐标 ;若不存在，请说明理由. 图 2 解(1),(2) 略; (3)由(1)知 23 3 4 yxx= -+;由(2)知点D的坐标 9 (1, ) 4 . 设 23 (,3 ) 4 M mmm-+,( ,0)N n. (4,0)A, 9 (1, ) 4 D,所以当AD为对角线时 : 41mn+=+, 解得1m =, (舍去 ) 3m =， 293 003 44 mm+=-+. 4n =; 2n =. 当AM为对角线时 : 41mn+= +, 解得1m =, (舍去 ) 3m =, 239 300 44 m
7、m-+=+. 4n =; 6n =. 当AN为 对 角 线 时 : 41nm+=+, 解 得27m =+, ( 舍 去 ) 27m =-, 239 003 44 mm+= -+. 17n = -+17n = -. 所以，N点的坐标为(2,0),或(6,0),或(71,0)-,或(71,0)-. 例 4 如图 3， 在平面直角坐标系xoy中， 抛物线 22 11 () 44 yxmmm=-+的顶点为A, 与y轴的交点为B.连结AB，作ACAB,AC交y轴于点C,延长CA到点D，使 ADAC=;连结BD，作AE/x轴，DE/y轴，AE,DE交于E. 图 3 (1)当2m =时，求点B的坐标 ; (
8、2)求ED的长 ; (3)设D的坐标( ,)x y，求y关于x的函数解析式; 过点D作AB的平行线， 与第 (3)题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值 时，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形? 解(1),(2) 略; (3)略 ; 由已知，顶点A的坐标为 21 (,) 4 mmm-+，与y轴交点B的坐标为(0,)Bm. 由(3)知 21 (2,4) 4 Dmmm-+, y与x的函数解析式为 211 4 162 yxx= -+,故可设 211 ( ,4) 162 P xxx-+. 因为PD/AB，所以以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形有两种情况: 1)AP为对角线，则02mxm+=+, 解得0x =，（舍去）8x = -， 21 4 4 mmm-+, m=-8；m=0 . 22 111 4 4162 mmxx= -+-+. 2)AD为对角线， 则20mmx+=+, 解得0x =, （舍去）24x =, 2 11 4 162 xxm-+, m=8; .m=0 2211 4 44 mmmm= -+-+. 所以当 8m = 或一 8 时，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.