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1、1 例谈“韦达定理”在初中代数中的应用 韦达定理在解答初中数学问题中有着极其重要的作用，历年来各地中考试题都有涉 及，现举例谈谈它在初中代数中的应用 一、已知一元二次方程的一个根，求另一根 例 1 已知方程x 26x 1的一个根为 322，求另一个根 分析本题可直接解方程求出另一根，但如果应用韦达定理可更快解决应用时应把 方程化为一般形式ax2bxc0（a0） 根据选择使得到另一根易于计算的原则，酌情 选择用两根之和或两根之积 解原方程变形为x 2 6x1 0，设方程的另一根为 x1， 已知一根为322，则由韦达定理，得 x1（ 322） 6， x1322，即方程另一根为 3 22 二、一元二
2、次方程根、两根关系及字母系数的互求 例 2 已知关于x 的一元二次方程x 26x a0（a 为常数）的一个根为 113，求 a的值 分析本题可直接把方程的已知根代入原方程，求出 a 的值，但由于已知根为无理数， 代入计算比较繁可由已知一根为113，设另一根为x1，则应用韦达定理中两根和的 关系，可得 x1 6（113） 311 再应用两根之积的关系，得 a（ 311） （ 311） 2 解略 例 3 设关于 x 的一元二次方程x 2px80(p 为常数 )的两根为 x1、x2，问 p 取何值 时， x1： x21：2 分析本题可用求根公式先求出关于x 的一元二次方程的两根，再根据两根之比，求
3、出 p 的值，但解法较繁琐可由已知两根的关系得x22x1，再应用韦达定理，得 1 2 1 3 28 xp x 2 容易解得p 6 解略， 三、求两根和、积及其代数式的值 例 4 已知方程x 2x40 的两根为 x1、x2，试求（ x123x14） （x223x 2 4） 的值 分析本题可先用求根公式求出方程的两根，再代入所求式子求出它的值，但计算量 比较大可应用韦达定理，先把（x123x14） （x223x 24）适当变形，就可求出它的 值 解由韦达定理，得 四、检验某两数是否为已知一元二次方程的两根， 例 5 试检验 4 32与 432是不是方程x 28x40 的两根 分析本题可分别把两数代
4、入检验，但计算量大，如果应用韦达定理，可只检验两数 之和是否为8，两数之积是否为4，若都符合则为原方程两根，否则不是 解略 五、已知两数和与积，求此两数， 例 6 已知两数和为5，积为 1，求此两数 分析本题可用设元列方程求解但应用韦达定理的逆定理，可直接写出方程求解， 解依韦达定理的逆定理，可知此两数是一元二次方程x 25x10 的两根，解得 x1 521 2 ，x2 521 2 六、求作方程使其根为已知数或满足某种条件 例 7 求作一个一元二次方程，使其两根和为1，积为 3 分析本题可用列方程方法求出一元二次方程但如果应用韦达定理求解，会更方便 解设所求一元二次方程为x 2pxq0（p、
5、g 为常数）由一元二次方程的根与系 数关系，可知 p1，g 3， 从而得方程x2x3 0 例 8 已知 x1、x2为一元二次方程 3x 27x30 的两根，求作一个新的一元二次方 3 程，使它的两根为2x11， 2x21 分析本题可先解一元二次方程，求出它的解，再代入新方程两根的代数式，用列方 程方法可求出新的一元二次方程，但方法很繁琐，如应用韦达定理，相对简单 解设所求一元二次方程为x 2px q0（p、q为常数）由韦达定理，可知 七、在解方程组）中的应用 例 9 解方程： 2 2 1 2 1 xx xx 分析本题直接解方程出现高次方程比较难，而利用韦达定理，会更容易 八、在证明等式或不等式
6、中的应用 例 10 若实数 a、b、c 满足 ab c0，abc1求证： a、b、c 有一个大于 3 2 分析本题用常规方法证明比较难，利用韦达定理，会利索些 证明 abc 0，abc1， a、6、c 中必有一个正数，两个负数，不仿设a0 4 九、简化有理系数多项式的求值 例 11 已知 x43，求分式 432 2 621823 815 xxxx xx 的值 分析本题用代入法可求出所求代数式的值，但计算量大可应用韦达定理先得到一 个一元二次方程，然后把所求代数式适当变形，可容易求出 解x43，可得 x 28x130 用 x 2 8x13 去除所求式子的分子与分母，得 432 2 621823
7、815 xxxx xx 22 2 8132110 8132 xxxx xx 5 十、结合一元二次方程根的判别式判定一元二次方程实根的符号 例 12m 为何值时，关于x 的一元二次方程(m3)x 2mx10 的两个根， (1)均为正数； (2)一正一负； (3)均为负数， 分析本题用常规方法有一定难度利用一元二次方程根的判别式与韦达定理相结 合，比较容易确定两根的符号 解设方程 (m3)x 2mx1 0的两根为 x1、x2 (1)要 x1，x2均为正，必须有 5 12 12 2 0 3 1 0 3 430 m xx m x x m mm 解得 m 6； (2)要两根异号，必须有 12 2 0 3 430 m xx m mm 解得 m 3； (3)要 x1，x2均为负，必须有 12 12 2 0 3 1 0 3 430 m xx m x x m mm 解得 3m 2