中考数学解法探究专题：相似三角形的存在性问题.pdf

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1、中考数学解法探究专题相似三角形的存在性问题 考题研究： 相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题解相似 三角形的存在性问题，一般分三步走， 第一步寻找分类标准，第 二步列方程， 第三步解方程并验根。难点在于寻找分类标准，分 类标准寻找的恰当， 可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使 得列方程和解方程又好又快 解题攻略： 相似三角形的判定定理有3 个，其中判定定理1 和判定定理2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题， 一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角， 分两种情况列比例方程，解方程并检验。 应用判定定理1 解

2、题，先寻找一组等角， 再分两种情况讨论另外 两组对应角相等 应用判定定理3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方 程（组） 解题思路： 相似三角形存在性问题需要注意的问题： 1、若题目中问题为，则对应线段已经确定。 2、 若题目中为与相似， 则没有确定对应线段， 此时有三种情况： ,、 3、若题目中为与,并且有、（或为 90） ，则确定了一条对应的 线段，此时有二种情况：、，、需要分类讨论上述的各种情 况。 例题解析 1如图，已知抛物线y=（x+2） （xm） （m0）与 x轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧 （1）若抛物线过点 G（2，2） ，求实数

3、 m 的值； （2）在（ 1）的条件下，解答下列问题： 求出 ABC的面积； 在抛物线的对称轴上找一点H，使 AH+CH最小，并求出点 H 的坐标； （3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点 A、B、M 为顶点的三角 形与 ACB相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由 2图甲，四边形 OABC的边 OA、OC分别在 x轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点 的抛物线交 x 轴于点 A、D， 交 y 轴于点 E， 连结 AB、AE 、 BE 已知 tanCBE= ， A（3，0） ，D（1，0） ，E（0，3） （1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标； （2）求证： CB是 ABE外

4、接圆的切线； （3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以 D、E 、P 为顶点的三角形与 ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 3如图，抛物线 y=x2+bx+c过点 B（3，0） ，C（0，3） ，D为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标； （2）如果点 C关于抛物线 y=x2+bx+c 对称轴的对称点为E点，连接 BC ，BE ， 求 tanCBE的值； （3）点 M 是抛物线对称轴上一点，且DAM 和BCE相似，求点 M 坐标 4在平面直角坐标系xoy 中，一块含 60 角的三角板作如图摆放，斜边 AB在 x 轴上，直角顶点 C在 y 轴正半轴上，已知点A

5、（1，0） （1）请直接写出点B、C 的坐标： B（，） 、C（，） ；并求经 过 A、B、C三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中 EDF=90 ，DEF=60 ） ， 把顶点 E放在线段 AB上（点 E是不与 A、B 两点重合的动点），并使 ED所在直 线经过点 C此时， EF所在直线与（ 1）中的抛物线交于第一象限的点M连接 MB 和 MC，当 OCE OBC时，判断四边形 AEMC的形状，并给出证明； （3）有一动点 P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点 P为圆心作圆 能和直线 AC和 x 轴同时相切？若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请

6、说明 理由 5如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以 OC 、OA所在的直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系， 点 D（3，10） 、E （0，6） ，抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 O， D，C三点 （1）求抛物线的解析式； （2）一动点 P从点 E出发，沿 EC以每秒 2 个单位长的速度向点C运动，同时动 点 Q 从点 C出发，沿 CO以每秒 1 个单位长的速度向点O 运动，当点 P运动到点 C时，两点同时停止运动设运动时间为t 秒，当 t 为何值时，以 P、Q、C为顶 点的三角形与 ADE相似？ （3）点 N 在抛物线对称轴上， 点 M 在抛物线上，是否存在这样

7、的点M 与点 N， 使四边形 MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点 N 的坐标（不写 求解过程）；若不存在，请说明理由 6如图，抛物线 C1：y=ax 2+bx+4 与 x 轴交于 A（3，0） ，B两点，与 y 轴交于 点 C，点 M（，5）是抛物线 C1上一点，抛物线C2与抛物线 C1关于 y 轴对 称，点 A、B、M 关于 y 轴的对称点分别为点A 、B 、M （1）求抛物线 C1的解析式； （2）过点 M 作 M E x 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，在 x 轴上是否存在点P， 使得以 A 、D、P为顶点的三角形与 AB C 相似？若存在，请求出点P的坐标； 若不存

8、在，请说明理由 7如图，已知抛物线 y=x2+2x 的顶点为 A，直线 y=x2 与抛物线交于 B，C两 点 （1）求 A，B，C三点的坐标； （2）作 CDx 轴于点 D，求证： ODC ABC ； （3）若点 P为抛物线上的一个动点，过点P作 PMx 轴于点 M，则是否还存在 除 C点外的其他位置的点，使以O，P，M 为顶点的三角形与 ABC相似？若存 在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由 8如图（1）所示，E为矩形 ABCD的边 AD 上一点，动点 P、Q 同时从点 B 出发， 点 P以 1cm/秒的速度沿折线 BE EDDC运动到点 C时停止，点 Q 以 2cm/秒的 速度沿

9、 BC运动到点 C时停止设 P、 Q同时出发 t 秒时， BPQ的面积为 ycm 2 已 知 y 与 t 的函数关系图象如图（ 2） （其中曲线 OG为抛物线的一部分，其余各部 分均为线段） （1）试根据图（ 2）求 0t5时， BPQ的面积 y 关于 t 的函数解析式； （2）求出线段 BC 、BE 、ED的长度； （3）当 t 为多少秒时，以 B、P、Q 为顶点的三角形和 ABE相似； （4）如图（ 3）过 E作 EF BC于 F，BEF绕点 B按顺时针方向旋转一定角度， 如果 BEF中 E、F 的对应点 H、I 恰好和射线 BE、CD的交点 G 在一条直线，求 此时 C、I 两点之间的距

10、离 9如图，已知抛物线y=ax 2x+c 的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为A （1，0） ，顶点为 B点 C（5，m）在抛物线上，直线BC交 x 轴于点 E （1）求抛物线的表达式及点E的坐标； （2）联结 AB，求 B 的正切值； （3） 点 G为线段 AC上一点， 过点 G作 CB的垂线交 x轴于点 M （位于点 E右侧） ， 当CGM与ABE相似时，求点 M 的坐标 10如图，已知抛物线经过原点O，顶点为 A （1，1） ，且与直线 y=x2 交于 B， C两点 （1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标； （2）求 ABC的内切圆半径； （3）若点 N 为 x 轴上的一个动点

11、，过点N 作 MNx 轴与抛物线交于点M，则 是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，请求出点N 的坐 标；若不存在，请说明理由 11如图，抛物线 y=ax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（3，0）两点， 与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）设点 P是位于直线 BC下方的抛物线上一动点， 过点 P作 y 轴的平行线交直 线 BC于点 Q，求线段 PQ的最大值； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线BC交于点 M，问是否存在点 P， 使以 M、P、Q 为顶点的三角形与 CBO相似？若存在，请求出点P的坐标；若 不

12、存在，请说明理由 12已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（3，0）和点 B（1，0） ，与 y 轴相交于 C （0，3m） （m0） ，顶点为点 D （1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）； （2）如图，当 m=2 时，点 P为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC的 面积为 S ，试求出 S与点 P的横坐标 x 之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图，当 m 取何值时，以 A、D、C三点为顶点的三角形与 OBC相似？ 13如图，已知抛物线y=x 2+bx+3 与 x 轴相交于点 A 和点 B（点 A 在点 B的左 侧） ，与 y 轴交于点 C，且 OB=OC ，点

13、D是抛物线的顶点，直线AC和 BD交于点 E （1）求点 D 的坐标； （2）连接 CD 、BC ，求 DBC余切值； （3） 设点 M 在线段 CA的延长线上，如果 EBM和ABC相似， 求点 M 的坐标 14如图，抛物线 y=ax 2+bx+3 与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y 轴 交于 C点，抛物线的对称轴l 与 x 轴交于 M 点 （1）求抛物线的函数解析式； （2）设点 P是直线 l 上的一个动点，当PA +PC的值最小时，求 PA +PC长； （3）在直线 l 上是否存在点 Q，使以 M、O、Q为顶点的三角形与 AOC相似？ 若存在，请求出点Q 的坐标；若不

14、存在，请说明理由 15如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax 2+bx+4 与 x 轴的正半轴相交 于点 A，与 y 轴相交于点 B，点 C在线段 OA上，点 D 在此抛物线上， CD x 轴， 且DCB= DAB ，AB与 CD相交于点 E （1）求证： BDE CAE ； （2）已知 OC=2 ，tanDAC=3 ，求此抛物线的表达式 2017 年 07 月 30 日 045 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共15小题） 1如图，已知抛物线y=（x+2） （xm） （m0）与 x轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧 （1）若抛物线过

15、点 G（2，2） ，求实数 m 的值； （2）在（ 1）的条件下，解答下列问题： 求出 ABC的面积； 在抛物线的对称轴上找一点H，使 AH+CH最小，并求出点 H 的坐标； （3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点 A、B、M 为顶点的三角 形与 ACB相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 HF ：二次函数综合题 【分析】 （1）把点 G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m 的值； （2）根据（ 1）中的 m 值写出抛物线的解析式，分别求抛物线与x 轴和 y 轴 的交点坐标，根据坐标特点写出AB 和 OC 的长，利用三角形面积公式求ABC 的面积； 由对称性可知：

16、 x=1，点 A 和 B关于抛物线的对称轴对称，所以由轴对称的最 短路径可知：连接 BC与对称轴的交点即为点H，依据待定系数法可求得直线BC 的解析式，将 x=1代入得： y=，则点 H 的坐标为（ 1， ） ； （3）在第四象限内，抛物线上存在点M，使得以点 A、B、M 为顶点的三角形与 ACB相似，根据ACB与ABM 为钝角，分两种情况考虑：当 ACB ABM 时；当 ACB MBA 时，利用相似三角形的判定与性质，确定出m 的值即 可 【解答】 解： （1）把点 G（2，2）代入抛物线 y=（x+2） （xm）中得： 2=（2+2） （2m） ， m=4； （2）由（ 1）得抛物线的解析

17、式为：y=（x+2） （x4） ， 当 x=0时，y=（0+2） （04）=2， C （0，2） ， OC=2 ， 当 y=0时，（x+2） （x4）=0， x=2 或 4， A（2，0） ，B（4，0） ， AB=2 +4=6， SABC= AB?OC= 62=6； 则ABC的面积是 6； A（2，0） ，B（4，0） ， 由对称性得：抛物线的对称轴为：x=1， 点 A 和 B 关于抛物线的对称轴对称， 连接 BC与对称轴的交点即为点H， 此时 AH+CH为最小， 设直线 BC的解析式为： y=kx+b， 把 B（4，0） ，C（0，2）代入得：， 解得：， 直线 BC的解析式为： y=x+

18、2， 当 x=1时，y=， H（1，） ； （3）存在符合条件的点M， 由图形可知： ACB与ABM 为钝角， 分两种情况考虑： 当 ACB ABM 时，则有，即 AB 2=AC?AM， A（2，0） ，C（0，2） ，即 OA=OC=2 ， CAB=45 ，BAM=45 ， 如图 2，过 M 作 MNx 轴于 N，则 AN=MN， OA+ON=2+ON=MN， 设 M（x，x2） （x0） ， 把 M 坐标代入抛物线解析式得：x2=（x+2） （xm） ， x0， x+20， m0， x=2m，即 M（2m，2m2） ， AM= =2（m+1） ， AB 2=AC?AM ，AC=2 ，AB=

19、m+2， （m+2） 2=2 ?2（m+1） ， 解得： m=22， m0， m=2+2； 当 ACB MBA 时，则，即 AB2=CB?MA ， CBA= BAM，ANM=BOC=90 ， ANMBOC ， ， OB=m，设 ON=x， =，即 MN=（x+2） ， 令 M x，（x+2） （x0） ， 把 M 坐标代入抛物线解析式得：（x+2）=（x+2） （xm） ， 同理解得： x=m+2，即 M m+2，（m+4） ， AB 2=CB?MA ，CB= ，AN=m+4，MN=（m+4） ， （m+2） 2= ?， 整理得：=0，显然不成立， 综上，在第四象限内，当m=2 +2 时，抛物

20、线上存在点M，使得以点 A、B、 M 为顶点的三角形与 ACB相似 2图甲，四边形 OABC的边 OA、OC分别在 x轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点 的抛物线交 x 轴于点 A、D， 交 y 轴于点 E， 连结 AB、AE 、 BE 已知 tanCBE= ， A（3，0） ，D（1，0） ，E（0，3） （1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标； （2）求证： CB是 ABE外接圆的切线； （3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以 D、E 、P 为顶点的三角形与 ABE 相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 HF ：二次函数综合题 【分析】 （1）设抛物线的解析式为y=

21、a（x+1） （x3） ，将点 E （0，3）代入抛物 线的解析式求得 a 的值，从而可得到抛物线的解析式； （2）过点 B 作 BFy 轴，垂足为 F先依据配方法可求得点B 的坐标，然后依 据点 A、B、E三点的坐标可知 BFE和EAO为等腰直角三角形，从而可证明 BAE 为直角三角形，接下来证明BFE EOA ，由相似三角形的性质可证明 =，从而可得到 CBE= EAB ，于是可证明 CBA=90 ，故此 CB是ABE 的外接圆的切线； （3）过点 D 作 DP DE，交 y 轴与点 P ，过点 E作 EP DE ，交 x 轴与点 P 然 后证明 DEO 、PDO、EP O均与 BAE相似

22、，然后依据相似三角形的性质分 别可求得 DO、OP 、OP 的长度，从而可求得点P 的坐标 【解答】 解： （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1） （x3） 将点 E（0，3）代入抛物线的解析式得：3a=3， a=1 抛物线的解析式为y=（x+1） （x3）=x2+2x+3 y=x2+2x+3=（x1） 2+4， B（1，4） （2）如图 1 所示：过点 B作 BF y 轴，垂足为 F A（3，0） ，E（0，3） ， OE=OA=3 OEA=45 E （0，3） ，B（1，4） ， EF=BF FEB=45 BEA=90 AB为ABE的外接圆的直径 FEB= OEA=45 ，EOA= BF

23、E ， BFE AOE tanEAB= tanCBE= ， CBE= EAB EAB +EBA=90 ， CBE +EBA=90 ，即 CBA=90 CB是ABE的外接圆的切线 （3）如图 2 所示： 且DOE= BEA=90 ， EOD AEB 当点 P与点 O 重合时， EPD AEB 点 P的坐标为（ 0，0） 过点 D 作 DP DE，交 y轴与点 P PED=DEO ，DOE= EDP ， EDP EOD 又 EOD AEB ， EDP AEB ODP +OP D=90 ，DEP +OP D=90 ， ODP = DEP =，即 OP = 点 P 的坐标为（ 0，） 过点 E作 EP

24、 DE ，交 x 轴与点 P EDP = EDO ，EOD= DEP ， EDO PDE 又 EOD AEB ， EDP AEB EP O= BAE tanEP O=，即= OP =9 P （9，0） 综上所述，点 P 的坐标为（ 0，0）或（ 0，）或（ 9，0） 3如图，抛物线 y=x2+bx+c过点 B（3，0） ，C（0，3） ，D为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标； （2）如果点 C关于抛物线 y=x2+bx+c 对称轴的对称点为E点，连接 BC ，BE ， 求 tanCBE的值； （3）点 M 是抛物线对称轴上一点，且DAM 和BCE相似，求点 M 坐标 【考点】

25、HF ：二次函数综合题 【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线，然后把解析式配成顶点式，从而得到D 的坐标； （2）先利用抛物线的对称性得到E（2，3） ，作 EHBC于 H，如图 1，易得 OBC为等腰直角三角形得到 OCB=45 ，BC=OB=3，接着判断 CHE为等腰 直角三角形得到CH=EH=CE=，所以 BH=2，然后利用正切的定义求解； （3）直线 x=1 交 x 轴于 F，如图 2，解方程 x2+2x+3=0得 A（1，0） ，再利 用正切定义得到tanAD= ，所以 CBE= ADF ，根据相似三角形的判定方法， 当点 M 在点 D的下方时，设 M（1，m） ，当=时，DAMB

26、CE ；当 =时，DAMBEC ，于是利用相似比得到关于m 的方程，解方程求出 m 即 可得到对应的 M 点的坐标；当点 M 在 D 点上方时，则 ADM 与CBE互补，则 可判断 DAM 和BCE不相似， 【解答】 解： （1）抛物线 y=x2+bx+c 过点 B（3，0） ，C（0，3） ， ，解得， 抛物线解析式为y=x2+2x+3， y=x2+2x+3=（x1） 2+4， 顶点 D 的坐标为（ 1，4） ； （2）抛物线的对称轴为直线x=1， 点 C与 E点为抛物线上的对称点， E （2，3） ， 作 EH BC于 H，如图 1， OC=OB ， OBC为等腰直角三角形， OCB=45

27、 ，BC=OB=3， ECB=45 ， CHE为等腰直角三角形， CH=EH=CE=， BH=BC CH=2， 在 RtBEH中，tanEBH=， 即 tanCBE的值为； （3）直线 x=1 交 x 轴于 F，如图 2， 当 y=0时， x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=3，则 A（1，0） A（1，0） ，D（1，4） ， AF=2 ，DF=4 ， tanADF=， 而 tanCBE= ， CBE= ADF ， AD=2，BE=，BC=3， 当点 M 在点 D的下方时，设 M（1，m） ， 当=时， DAMBCE ， 即=，解得 m=， 此时 M 点的坐标为（ 1，） ； 当=时， DAMBEC ， 即=，解得 m=2， 此时 M 点的坐标为（ 1，2） ； 当点 M 在 D点上方时，则 ADM 与CBE互补，则 DAM 和BCE不相似， 综上所述，满足条件的点M 坐标为（ 1，） ， （1，2）