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1、知识点、重点、难点 在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幂定理。 1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的 比例中项。 2.切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与 圆交点的两条线段长的比例中项。 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的 两条线段的积相等。 3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定 理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为
2、等积式比 例式中间比相似三角形。 圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着 密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。 例题精讲 例 1：如图，已知 1 O与 2 O相交于 A、B 两点，过点A 作 1 O的切线， 交 2 O于点 C，过点 B 作两圆的割线分别交 1 O、 2 O于点 D、E，DE 与 AC 相交于点P.当 AD 与 2 O相切，且PA = 6，PC=2，PD =12 时，求 AD 的长。 解 连结 AB.因为 CA 切 1 O；于点 A，所以 1 =D 又 1= E， 所以 D=E.又 2=3， 所以 APD CPE，所以 PAPD PCPE ， 即 PA
3、PE = PC PD 因为 PA=6， PC=2， PD =12， 得 6PE=212，得 PE =4.由相交弦定理得PEPB=PAPC，所以 4PB=6 2，得 PB=3.所以 BD = PD PB=9，DE =DP PE =124=16.因为 DA 切 2 O于点 A，所以 DA 2 = DBDE，即 AD 2 =916，得 AD12. 例 2：如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长 AB、DC 交于 E，延长 AD、 BC 交于 F，EM、FN 为圆的切线，分别以E 和 F 为圆心、 EM 和 FN 为半 径作弧，两弧交于K，求证： EKFK 证明连结 EF，过 B、C、E 三点作圆交E
4、F 于 H， 连结 CH .因为 B、C、H、E 共圆，所以1=2.因为 A、B、C、D 共圆，所以1=3，于是 2 =3，故 D、C、H、F 共圆由切割线定理得EM 2 =ECED =EH EF，FN 2 = FC FB=FH FE，所以EM 2 FN 2 =(EHFH ) EF =EF 2 又因为 EM=EK ， FN=FK ， 所以 EK 2 FK 2 =EF 2 故 EKF 为直角三角形，且 EKF =90，即 EKFK. 例 3：如图， 1 O与 2 O相交于 P、Q 两点，在公 共弦 QP 延长线上取一点M，过 M 作两圆割线分别 交两圆于A、B、C、D. 求证：. AD BDDM
5、 AC CBCM 证 明由 切 割 线 定 理 得MA MB= MP MQ =MC MD ， 所 以 A、B、D、C 四点共圆，可得ADB= ACB.又 11 sin,sin 22 ADBACB SAD BDADB SAC BCACB，所以 . ADB ACB SAD BD SAC BC 过 C 作 CGMB，垂足为 G，过 D 作 DH MB，垂足为 H.所以CG DH ，得MGC MHD ，得. A DB A CB SDHDM SCGCM 所以 AD BD AC BC =. DM CM 例 4：如图，两个同心圆的圆心为O，大圆的弦AD 交小圆于B、C，大 圆的弦 AF 切小圆于E，经过 B
6、、E 的直线交大圆于M、N，求证： (1) AE 2 = BNEN；(2)若 AD 经过圆心O，且 AE = EC，求 AFC 的度数。 证明(1)因为 AE、ABC 分别是小圆的切线和割线，所以 AE 2 =ABAC 作 OHAD 于 H，则 AH = DH ，BH = CH，所以 AB = CD.同理得 BM=EN.由相交弦定理得AB BD = MB BN. 所以 ABAC = ENBN. 由得 AE 2 = ENBN. (2)连结 OE，因为 AF 是切线，所以OEAF 于 E， 所以 AE = EF.因为 AE = EC = EF，所以易证得ACF = 90.因为 AD 过圆 心 D，
7、所以 FC 是小圆的切线。所以FC=FE=EC，所以 AFC = 60. 例 5：从圆外一点P 作 O 的切线，切点为Q，割线PBC 与圆交于B、C 两点， QPC 的平分线分别交QC、QB 于 E、D，求 DBEC QBQC 的值。 解 在 QPC 中，由 PE 平分 QPC，得. QEPQ ECPC 同理，在 QPB 中有. QDPQ DBPB 于是得 2 . QE QDPQ EC DBPB PC 又 PQ 为圆的切线，PBC 为圆的割线，故 2 PQ= PBPC. 把代入得QEQD = ECBD，所以 (QCEC)(QBDB）=ECBD， 即 QBECQCBD QBQC，从而1. ECB
8、D QCQB 例 6：如图，已知 1 O经过 2 O的圆心 2 O，且与 2 O相交于 A、B 两点， 点 C 为 2 AO B上的一动点 （不动至A、B），连结 AC 并延长交 2 O于点 P， 连结 BP、BC. （1）先按题意将图156 补完整，然后操作、观察。图156 供操作观察 用，操作时可使用量角器与刻度尺，当点C 在 2 AO B上运动时，图中有哪 些角的大小没有变化； （2）请猜想 BCP 的形状，并证明你的猜想（图157 供证明用）； （3）如图 158，当 PA 经过点 2 O时，AB4，BP 交 1 O于 D，且 PB、 DB 的长是方程 2 100xkx的两个根，求 1
9、 O的半径。 解(1)按题意将图补完整；ACB、 APB、 CBP 的大小没有变化； (2) BCP 是等腰三角形。证明：连结 2 O A，则 2 BO A=ACB， 2 BO A=2P，所以 ACB = 2P.又 ACB P PB C，所以 P=PBC，即 BCP 是等腰三角形； (3)连结 21 O O，并延长交AB 于 E，交 1 O于 F.设 1 O、 2 O的半径 分别为 r、R，所以 2 O F AB，EB= 1 2 AB = 2.因为 PDB、 2 PO A是 1 O的 割线，所以 PD PB = 2 POPA=2R 2 因为 PB、 BD 是方程 2 100xkx 的两根， 所
10、以 PBPD=10因为 PDPB = (PB BD) PB=PB 2 PBBD PB 2 10，所以 PB 2 102R 2 . 因为 AP 是 2 O的直径，所以PBA=90，所以PB 2 = PA 2 AB 2 ，所 以 PB 2 = 4R 2 16 由得R=13，在 Rt 2 O EB中， 22 22 134O EO BBE=3. 由相交弦定理得EF 2 EOAE BE， 所以 EF= 4 3 ， 所以 1413 (3), 236 r 所以 1 O的半径为 13 . 6 A 卷 一、填空题 1.如图，已知PT 切 O 于 T，PAB 为经过圆心O 的割线 如果 PT=4，PA =2，那么
11、 cosBPT 的值 等于。 2.如图， PA 是 O 的切线， A 为切点， PBC 是 O 的 割 线 ， 且PB= 1 2 BC ， 则PA ： PB 的值 为。 3.已知 O的半径为 4 cm， P是圆外一点， 经过圆心的割线PAB的长是 12 cm. PT 是切线， T 为切点，则切线PT 的长是。 4.如图，已知O 的半径 OA =5， P 是 OA 上一点，且 AP =2，弦 MN 过 P 点，且 MP：PN=1：2，那么弦心 距 OQ 的长为。 5.如图， AB 为半圆的直径，C 为半圆上一点，CD AB 于 D；若 CD=6，AD ：DB=3：2，则 AC BC 等 于。 6
12、.如图，AB 为 OD 的直径，弦 AC、 BD 相交于点P 若 AB = 3，CD =1，则 APD 的正弦值为。 7.如图，已知 O 的弦 AB、CD 相交于点P， PA =4cm， PB=3 cm， PC =6cm， EA 切 O 于点 A， AE =2 5cm， 则 PE 的长为。 8.如图， PA、PB 是 O 的两条切线，A、B 是切点， APB=60，点 P 到圆心的距离PO=4，则点 P 到 O 的切线长为。 9.如图， PA 是 O 的切线， A 是切点， PBC 是 O 的割线。若 PA=20， PC = 40， 弦 BC 的弦心距OD=8， 则 O 的半径为。 10.如图
13、， AB 是半圆的直径，O 为圆心， P 是 AB 延长线上的一点，PC 切圆于 C，CDAB 于 D.已知 AD：DB=4：1，PC =2， 则 BP 的长为。 二、解答题 11.如图，设 C 为线段 AB 的中点， BCDE 是以 BC 为边的正方形，以B 为圆心， BD 为半径的圆与 AB 及延长线分别交于点H 及 K，求证： （1）HCCKAC 2 ；（ 2） AHAK2 AC 2 12.如图，已知ABC 为锐角三角形，以BC 为直径 作圆 O，AD 为 O 的切线， AE=AD，过 E 作 AB 的 垂线交 AC 的延长线于F. 求证：（ 1） ABAE AFAC ；（ 2）. AB
14、CAEF SS 13.如图， 已知 AB 是圆的直径， AD 为圆的切线， FB 和 DB 是圆的割线， 分别交圆于E、 C， 求证：BE BF = BCBD. 14.如图， ABC 内接于 O ，P 为 O 外的一点，作 CPD = A，使 PD 交 O 于 D、E 两点， 并与 AB、 AC 分别交于点M、N. 求证： DN NE = MNNP. B 卷 一、填空题 1.如图， AB 是 O 的直径，点C 在 O 上， ABC 的 平分线交 O 于 D，交 AC 于 E.若 O 的半径为5，BC =6，那么 DE 的长为。 2.如图， PT 是 O 的切线， T 为切点， PA 是割线，交
15、 O 于 A、B， 与直径 CT 交于点 D.已知 CD =2， AD =3， BD=4，那么 PB 的长是。 3.如图，过半径为1 的圆上一点C 作圆的切线与该圆 直径 AB 的延长线交于点P，CDAB 交 AB 于 E，交 圆于 D 如果 APC = 30，则 AC 的长是。 4.如图， O 的半径 OA 上一点 P，使 AP = 2，弦 MN 过 P 点，且 MP：PN=1：2.若弦心距OQ =7，则 O 的半径长是。 5.如图， AB 为 O 的直径， CB 切 O 于 B，CD 切 O 于 D，交 BA 的延长线于E.若 AB = 3，ED =2， 则 BC 的长为。 6.如图， A
16、E 切 O 于 D，并和弦CB 的延长线交 于 A，CD 平分 BDE，CD = 7 ，AD =12，则 AC 的长是。 7.如图，在 ABC 中，ABAC， C72， O 过 A、 B 两点且与BC 切于 B，与 AC 交于 D，连结 BD若 BC =51，则 AC = 。 8.如图， AB 和 AC 分别是 O 的弦和切线， A 为切点， AD 为 BAC 的平分线，且交O 于 D、BD 的延长线与 AC 交于 C.若 AC=6，AD=5，则 CD= 。 9.如图， 1 O和 2 O相交于 A、B 两点， P 在 BA 的延长线上， 过点 P 作 1 O的割线交 1 O于 C、D， 作 2
17、 O的切线 PE 切 2 O于 E.若 PC =4，CD =8， 则 PE 的长是。 10.如图，已知AD 是圆的弦， BD = CD，DE 是 圆的切线且与弦AB 的延长线相交于点E.若 AD =10，则 ACAE = 。 二、解答题 11.如图， 1 O和 2 O外切于 P 点，一外公切线分别切两圆于A、C 两点， AB 为圆的直径，过B 作 2 O的切线 BQ，切点为Q，求证 BQ=AB 12.如图， 自圆 O 外一点 P 向圆 O 作切线 PA，切点为 A，再由 PA 的中点 M 作圆 O 的割线和圆O 交于 B、C 两点，PB、PC 分别交圆O 于 D 点和 E 点， 求证： DE
18、PA. 13.如图，圆的三条弦 1 PP、 1 QQ、 1 RR两两相交，交点分别是A、B、C. 已知 AP =BQ=CR ， 1 AR 1 BP= 1 CQ，求证： ABC 是正三角形。 14.如图， PA、PB 切圆 O 于 A 和 B，PO 交 AB 于 M，过 M 任作一弦CD， 求证： APC=BPD. C 卷 一、填空题 1. PA 切 O 于 A，AB 是 O 的弦。若 O 的半径 R=1， PA =1，AB=2， 那么 PB 的长为。 2.如图，ABC 内接于 O ，且 ABC = 60，AD 是 O 的直径， 过 D 点作 O 的切线交AC 的延长 线于 E.若 CE 6 3 ，AB=2，则 AC= 。 3.如图， 1 O与 2 O交于 A、B 两点，CA 是 2 O的 直径，延长CA、CB 分别交 1 O，于 D、E.若 CA = 6，BE =11，且 DA = BC，则 AB 的长是。 4.如图，已知 AB 是 O 的直径，AC 是 O 的切线， A 为切点，割线 CDF 交 AB 于 E， 且 CD： DE： EF=1： 2：1.若 AC=4，则 O 的直径 AB= 。 5.如图，已知CD 是 O 的切线，切点为D，CA 是过圆心的割线， 过 B 作 O 的切线交 CD 于 E， DE：EC=1：2，则 CD ：CA= 。