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1、知识点、重点、难点 四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题与圆有 关的问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来是数学竞赛 的热点内容。 在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出 辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单， 从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆的方法很重要。 判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D 四个点到 定点 O 的距离相等，即OAOBOCOD，那么 A、B、C、D 四点共圆 由此，我们立即可以得出 1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶 点共圆。 将上述判定推广到一
2、般情况，得： 2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共 圆。 4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那 么这两个三角形的四个顶点共圆。 运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出： 正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。 其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为 我们提供了另一些证明四点共圆的方法这就是： 1. 相 交 弦 定 理 的 逆 定 理 ： 若 两 线 段AB 和CD相 交 于E， 且 AEEB=CEED，则 A、B、C、D 四点共圆。 2割线定理的逆定理：若相交
3、于点P 的两线段PB、PD 上各有一点A、 C，且 PAPB =PCPD，则 A、B、C、D 四点共圆。 3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD 中， ABCDBC DA= ACBD，则 ABCD 是圆内接四边形。 另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四 点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然 后判断这些圆实际是同一个圆。 例题精讲 例 1：如图，P 为 ABC 内一点， D、E、F 分别在 BC、 CA、AB 上。已知P、D、C、E 四点共圆， P、E、A、 F 四点共圆，求证：B、D、P、F 四点共圆。 证明连 PD、PE、PF由于 P、D
4、、C、F 四点共圆，所以BDP = PEC又由于 A、E、P、F 四点共圆，所以PEC =AFP于是 BDP= AFP，故 B、D、P、F 四点共圆。 例 2：设凸四边形ABCD 的对角线AC、BD 互相垂直，垂足为E，证明：点 E 关于 AB、BC、CD、DA 的对称点共圆。 证明以 E 为相似中心作相似变换，相似比为 1 2 ，此变换把E 关于 AB、 BC、CD、DA 的对称点变为E 在 AB、BC、CD、DA 上的射影P、Q、R、S （如图） .只需证明PQRS 是圆内接四边形。 由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR 及 ERDS 都是圆内接四边形（每个四边形都有一组对角 为直角），
5、由E、P、B、Q 共圆有 EPQ = EBQ.由 E、Q、C、R 共圆有 ERQ=ECQ， 于是 EPQ ERQ = EBQ ECQ=90. 同理可得 EPS ERS =90.从而有 SPQ QRS =180，故 PQRS 是圆内接四边形。 例 3：梯形 ABCD 的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作 一圆，点K 位于这两个圆之外，证明：由点K 向这两个圆所作的切线长度 相等。 证明如图， 设梯形 ABCD 的两腰为 AB 和 CD， 并设 AC、BD 与相应二圆的第二个交点分别为 M、N.由于 AMB 、 CND 是半圆上的圆周角， 所以 AM B=CND = 90从而 BMC
6、 = BNC=90，故 B、M、N、C 四点共圆，因此 MNK = ACB又 ACB =KAD ，所以 MNK =KAD .于是 M、N、D、A 四点共圆，因此KM KA = KNKD .由切 割线定理得K 向两已知圆所引的切线相等。 例 4：如图， A、B 为半圆O 上的任意两点，AC、 BD 垂直于直径EF， BHOA，求证： DH =AC. 证法一在 BD 上取一点A，使 AD= AC，则 ACDA 是矩形。连结AH、AB、OB.由于 BDEF、 BHOA，所以 BDO =BHO=90.于是 D、B， H、O 四点共圆， 所以 HOB =HDB .由于 AHB =AAB = 90，所以
7、A、 H、A、B 四点共圆。 故 DAH =OAB，因此 DHA =OBA.而 OA = OB ， 所以 OBA=OAB，于是 DHA =DAH. 所以 DH =DA ，故 DH = AC. 证法二设圆 O为点 D、B、H、O 四点所共的圆，过H 作 HGDH， 与圆 O交于 G(如图 )，则 AOC=HBD =DGH ， GD = OB = OA. 因此 RtOACRtGDH ，故 DH = AC. 证法三因为 D、B、H、O 四点共圆，且直径 为 OB而 RtAOC 的斜边为OA，利用正弦定义 及正弦定理，得,. sinsin ACDH OAOB AOCDBH 由于OA =OB， AOC=
8、 DBH，所以 DH = AC. 例 5：如图，已知锐角三角形ABC，以 AB 为直径的圆与AB 边的高线CC 及其延长线交于M、N，以 AC 为直径的圆与AC 边的高线BB及其延长线 交于 P、Q，求证： M、N、P、Q 四点共圆。 证明设 BC 上的高为AA， ABC 的垂心为H，则 A在以 AB 为直径 的圆上，从而AH HA=MH HN.同理 AH HA=PHHQ.于是 MHHN = P HHQ，故 M、N、P、 Q 四点共圆。 说明另证：在RtABM 和 RtACP 中， AM =ACAB，AP 2 = ABAC.又 ABB ACC，有 ACAB =ABAC于是 AM 2 = AP
9、2 ， 即 AM =AP但 M、N 关于 AB 对称， P、Q 关 于 AC 对称，故AM=AN，AP=AQ .因此 M、N、 P、Q 在以 A 为圆心的圆上。 也可由 MH HN=BHHB =CH HC=PH HQ 推出 M、N、 P、Q 四 点共圆。 例 6：如图， ABCD 是圆内接四边形，AD、BC 的延长线交于P，PAB 与 PCD 的外心、垂 心分别是 1 O、 2 O和 1 H、 2 H，求证： 1 O、 2 O、 1 H、 2 H 四点共圆。 证 明因为 1 H是 PAB 的垂心，所以 1 H PB ABP = 90 . 又 因 为 2 O是 PCD的 外 心 ， 所 以 2
10、1 2 O P CC D P90.而 2 1 2 CDPCO P，所以 2 OPCCDP=90.因为 A、B、C、D 四点共圆， 所以 CDP=ABP， 所以 12 H PBO PC，所以 2 H、 1 O、P 三点共线同理可证 2 H、 2 O、 P三 点 共 线 。 显 然 PAB PCD ， 因 此 11 22 PHPO PHPO ， 即 1221 P HP OP HP O，故 1 O、 2 O、 1 H、 2 H四点共圆。 例 7：两个等圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同 一条直线上的四个点，试证：这四个点必在同一个圆周上。 证明如图，设过两圆的对称中心O 的二条射
11、线为 11 AB、 22 A B， 1 A、 2 A位于第一个圆周上，而 1 B、 2 B位于第二个圆周上。 设点 3 A、 3 B和 4 B分别是点 2 B、 1 A和 2 A 关于点O 的对称点，根据相交弦定理有 3 B O 1 OB= 2 B O 4 OB.因为 3 B O= 1 OA， 4 OB= 2 OA，从而 1 OA 1 OB= 2 OB 2 OA， 故 1 A、 1 B、 2 A、 2 B四点必在同一个圆周上。 例 8：如图， AB 为定 O 中的定弦，作O 的弦 11 C D、 22 C D、 20002000 CD，对其中每一i（i1，2，2000） ii C D都被弦 A
12、B 平分于 i M 点，过 ii CD、分别作 O 的切线，两切线交于 i P，求证： 122000 PPP、 、 、必在同一个圆周上，并指出圆心是什么点。 证明连结 i OC、 i OD对每一个i（i = 1，2， 2000），因为 ii C D 均被AB平分于 i M，所以 iiiiii C MM DAMM B.又 ii PC、 ii PD分别 切 O 于 ii CD、，故知 iii OCPD、 、四点 共 圆 ， 且 i OP通 过 ii C D的 中 点 i M， 所 以 iiiiii C MM DPMM O，所以 iii AMMBPMMO.故 A、O、B、 i P四点共圆， 即 12
13、2000 PPP、 、必 在同一个圆周上。因为O、A、B 为定点，所以圆心即为OAB 的外心。 A 卷 一、填空题 1.如图，在 O 的内接四边形ABCD 中，AD 是直径， C=128，则 ADB 等于。 2.如图，已知AB 是半圆 O 的直径， BAC = 30， D 是AC上任意一点，那么D 的度数是。 3.如图，在 O 中 A、B、C 分别为圆周上的三点ABC 的外角的度数为n，那么 AOC 的度数为。 4.如图， ABC 中， BEAC 于 E，CF AB 于 F， AEF = 45， EFC=10，则 ABE= 。 5.四边形ABCD为 O 的内接四边形，BOD=110，那么BCD
14、等 于。 6.如图， 四边形 ABCD 内接于 O，延长 AD、BC 相 交于点 M，延长 AB、DC 相交于点N， M=40， N = 20，则 A 的度数是。 7.如图， ABC 中， A60， BC4，以 BC 的 直径作半圆O 交 AB 于 D，交 AC 于 E，则 DE 的长是。 8.如图， O 中，直径 AB弦 CD 于 E，弦 DF 交 AB 于 G，H 是 FC 延长线上一点， BCH = 80， 则 BCG 的度数是。 9.如图，等边ABC 的边长为a，以 AC 为直径作 O 交 BC 于 D，作 DEAC，交 O 于 E，则 AE 的长是。 10.如图， ABC 内接于直径
15、为d 的圆，设BC =a， AC=b，则 ABC 的高 CD 的长为。 二、解答题 11.两圆相交于P、Q 两点，过 Q 任作一直线交两圆于A、B，自 A、B 两点 各引所在圆的切线，两切线交于C，求证： A、B、C、P 四点共圆。 12.如图， 1 O、 2 O相交于 A、B 两点， P 是 BA 延长线上一点，割线PCD 交 1 O于 C、D， 割线 PEF 交 2 O于 E、F，求证： C、D、F、E 四点共圆。 13.如图，梯形ABCD 的两条对角线AC、BD 交于点 K，分别以梯形的两腰AB、CD 为直径 各作一圆， 点 K 位于这两个圆之外，证明：由 点 K 向这两个圆所作的切线长
16、度相等。 14.如图，在凸四边形ABCD 的 BC 边上取 E 和 F（点 E 比 F 更靠近点B）. 已知 BAE =CDF 及 FAF = FDE ，证明： FAC =EDB. B 卷 一、填空题 1.如图，正方形ABCD 的面积为2 cm 2 ，E、F 分别 为 CD、DA 的中点， BE、CF 相交于 P，则 AP 的长 是cm. 2.如图，ABBCCD，且 P= 40，则 ACD 的度数是。 3.如图，在以O 为圆心， AB 为直径的半圆上，有C、 D 两点，点 P 在 OB 上，并且 OCP ODP 10. 如果 AOD = 40，则 BOC 的度数是。 4.如图， AB 是半圆
17、O 的直径， E20， CBD40， 则 BDC 的度数是。 5. AD、BC 是过圆的直径AB 两端点的弦， 且 BD 与 AC 相交于 E.若 AB=10， 则 AEACBEBD 的值是。 6.如图，已知MN 切 O 于 A，弦 BC 交 OA 于 Q， BPBC 交 MN 于 P， CAN=25，则 APQ 的 度数是。 7.如图，已知 ABC 的外接圆的圆心O 在 AB 上，AC =4， CD 为边 AB 上的高， G 为 CD 上的一点， AG 的延长线交 O 于 H，则 AGAH 的值是。 8.如图，已知ABC 的边 BC 的垂直平分线交 ABC 的外接圆 O 于 D、E，交 AB
18、 于 F， 交 CA 的延长线于P，过 P 作 O 的切线 PT. 若 PT=5，则 PF PO 的值是。 9.如图，已知O 内切于 ABC，切点分别 是 D、E、F， DF 的延长线和BC 的延长线 相交于 G，BO 的延长线与DF 相交于 K若 EC =1， CG = 3， 则 GF GK 的值是。 10.四边形 ABCD 内接于圆， 另一圆的圆心O 在边 AB 上且与其余三边相切。 已知 AB=6，DC =3，则四边形ABCD 的周长是。 二、解答题 11.如图，两圆相交于P、Q 两点，过点P 作两割线APB 与 CPD，直线 AC、 DB 相交于 S， 求证： Q、S、C、D 四点共圆
19、。 12.如图， 设四边形ABCD 的两组对边AB、DC 及 AD、BC 的交点分别为E、 F.若 E、 F 的平分线互相垂直，则A、B、C、D 四点共圆。 13.如图， 已知 O 中，弦 ACBD 于 E，过 A、B、 C、D分别作O 的切线，两两相交成四边形 ABCD ，求证： A、B、C、D 四点共圆。 14.已知三个圆两两相交，则三条公共弦所在的直线或交于一点或互相平行。 C 卷 一、填空题 1.如图，四边形ABCD 的边 BA 与 CD 的延长线交于P 点， PA = 5，AB3，PD4，DC6， ACB 30， 则 ADB 的度数是。 2.如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O， 且 OA：OB：OC：OD=3：4： 8：6， ABC=80， ACD45，则 DBC 的度数是。 3.如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =AC=AD， AHCD 于 H， CPBC 交 AH 于 P.若 AB =3，